Главная страница >  Цитатник 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Некоторые принципиальные положения, используемые при расчете спутника

ПРИЛОЖЕНИЕ

m — массу спутника;

Для того чтобы искусственный спутник вращался вокруг земного шара по круговой орбите и не падал бы на ее поверхность, необходимо на основании начала Даламбера, чтобы его вес на заданной высоте орбиты был равен центробежной силе. Обозначив через:

R0 — радиус земного шара;

Vкр — его окружную скорость, направленную по касательной к орбите;

g и g0 — ускорение силы тяжести соответственно на высоте h = r — r0 и у поверхности Земли, — получим, пренебрегая притяжением Солнца и планет, сопротивлением атмосферы и нецентральностью потенциала земного тяготения, простое математическое выражение сформулированного выше условия:

r — радиус орбиты спутника;

.

Из этого равенства нетрудно определить скорость Vкр, которой должен обладать спутник для того, чтобы вращаться вокруг Земли на высоте h:

,

Подставляя в это выражение величину

.

так как ускорение силы земного тяготения по мере удаления от ее поверхности убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли, получим окончательно:

,

В общем случае при движении спутника вокруг Земли по эллиптической траектории скорость его в любой точке этой траектории будет определяться равенством:

Следовательно, чем выше над поверхностью Земли будет располагаться траектория спутника, тем меньшую окружную скорость Vкр ему надо будет иметь. Наибольшее значение окружной скорости получим у поверхности Земли, когда r = r Подставляя численные значения:

где а является большой полуосью эллипса.

м/сек.

g0=9,81 м/сек2 и r0=6,378*106 м, получим:

По мере подъема на высоту плотность земной атмосферы довольно быстро убывает. Так, например, на высоте 50 км плотность ее составляет всего лишь одну тысячную долю значения плотности у поверхности моря, а на высоте 100 км — менее одной миллионной.

Если бы у поверхности Земли при этом отсутствовала атмосфера, то, сообщив некоторому телу горизонтальную скорость 7912 м/сек, можно было бы получить искусственный спутник Земли, вращающийся по круговой орбите у самой ее поверхности. Эту скорость иногда называют «первой космической скоростью». Но в реальных условиях плотные слои атмосферы у поверхности Земли, разумеется, немедленно затормозят движение такого спутника, и он, потеряв скорость, неизбежно упадет на поверхность Земли.

Если представить себе спутник, выполненный в виде шара, с нагрузкой на площадь миделя (миделем называется наибольшее поперечное сечение осесимметричного тела), равной 200 кг/м*2, то на высоте 200 км он сумеет продержаться всего лишь около двух с половиной суток, после чего скорость его станет значительно меньше требуемой для круговой орбиты, спутник начнет снижаться в более плотные слои атмосферы и там, быстро потеряв скорость, упадет на Землю.

Однако, как показывают соответствующие расчеты, даже одной миллионной доли ее значения у земной поверхности достаточно для того, чтобы заметно тормозить свободный полет спутника Земли на высотах порядка 100 км.

На высотах же порядка 100 км придется, очевидно, осуществлять спутники с очень небольшой дополнительной (маршевой) тягой, уравновешивающей сопротивление среды. Такие спутники с небольшой тягой предложено называть «сателлоидами».

Поэтому можно предполагать, что создание искусственных спутников Земли будет целесообразно лишь на высотах более чем 200 км.

Эту работу подъема Th можно определить как разность потенциальной энергии тела при нахождении его у поверхности Земли и потенциальной энергии этого тела на высоте h.

Для того чтобы запустить искусственный спутник Земли, необходимо будет не только сообщить ему окружную скорость Vкр, определяемую вышеприведенным равенством, но и затратить некоторую работу на подъем его с поверхности Земли до заданной высоты h.

Тогда на поверхности Земли потенциальная энергия тела, обладающего массой m, будет равна mg0r0, а на высоте h=r-r0 определится равенством:

Мерой потенциальной энергии в этом случае (в поле гравитационных сил) будет служить произведение веса mg тела на данном уровне на его удаление r от центра Земли.

Разность этих двух значений потенциальной энергии будет равна:

,

Выражая работу Th через некоторую скорость Vh, определяемую равенством

Следовательно, такую работу Тh надо будет затратить на то, чтобы поднять спутник, обладающий массой m, с поверхности Земли на высоту h.

получим:

,

Таким образом, полная затрата энергии Тх на то, чтобы поднять спутник, обладающий массой m, с поверхности Земли на высоту h и сообщить ему там скорость Vкр будет равна сумме:

.

Если эту суммарную работу Тх выразить также через некоторую характеристическую скорость Vx, определяемую аналогично скоростям Vкр и Vh выражением:

.

то после сокращения написанного равенства на m:2 и подстановки значений скоростей Vкр и Vh получим:

,

или, подставляя в первый радикал численные значения постоянных величин g0 и r0, окончательно будем иметь:

,

При r=r0 скорость Vx становится равной (Vкр)0 у поверхности Земли, то есть 7912 м/сек — «первой космической скорости», так как при этом условии никакой работы на подъем спутника не расходуется. При r стремящемся к бесконечности скорость Vx стремится к 11 190 м/сек.

.

Промежуточные значения Vкр и Vx для различных высот h представлены в таблице 2 и показаны на рис. 13.

Тело, получившее такую скорость у поверхности Земли, способно будет удалиться от нее на бесконечно большое расстояние. Эту скорость именуют иногда «второй космической скоростью».

Так, например, для того чтобы получить спутник, вращающийся вокруг Земли на высоте 200 км, ему необходимо сообщить, как минимум, работу, определяемую характеристической скоростью Vx=8031 м/сек. В реальных условиях разгона спутника ракетой потребуются еще некоторые дополнительные затраты энергии на преодоление силы сопротивления воздуха в плотных слоях атмосферы, на преодоление силы земного тяготения в период разгона спутника ракетой и, наконец, на последовательное изменение направления скорости полета спутника. Таблица 2

кр полета спутника Земли и его характеристической скорости Vх в зависимости от высоты расположения круговой орбиты над поверхностью Земли" width="300" height="316" Рис. 1 График изменения круговой скорости Vкр полета спутника Земли и его характеристической скорости Vх в зависимости от высоты расположения круговой орбиты над поверхностью Земли

Скорость и отброса топлива из ракеты определяется обычно опытным путем.

Высота h, км Круговая скорость Vкр, м/сек Характеристи- ческая скорость Vx, м/сек период обращения час. мин. сек. 0 7912 7912 1 24 25 200 7791 8031 1 28 25 300 7732 8088 1 30 27 400 7675 8142 1 32 29 500 7619 8194 1 34 32 1000 7356 8431 1 45 02 2000 6903 8806 2 07 09 4000 6203 9312 2 55 17 6000 5679 9640 3 48 18 и — скорость отброса частиц топлива из ракеты или, как ее было предложено называть, «эффективная скорость» истечения, а величина z, стоящая под знаком натурального логарифма, есть отношение начальной массы ракеты к ее конечному значению, именуемое обычно «числом Циолковского».

Это первостепенной важности соотношение показывает, сколько килограммов тяги на протяжении одной секунды может дать ракетный двигатель на каждый килограмм расходуемого им топлива.

Измеряя на огневом стенде одновременно тягу Р ракетного двигателя и потребляемое им количество топлива W, расходуемого из ракеты ежесекундно, находят их соотношение или так называемую удельную тягу:

Умножив Руд на ускорение земного тяготения g0=9,81 м/сек2, получим скорость в м/сек отброса топлива из ракеты, которую необходимо подставить в формулу Циолковского. На рис. 14 приведен график, показывающий связь между Руд, величиной z и скоростью Vz.

z полета ракеты, определенной по формуле Циолковского от отношения z (числа Циолковского" width="400" height="509" Рис. 1 Зависимость скорости Vz полета ракеты, определенной по формуле Циолковского от отношения z (числа Циолковского

Для одноступенчатой ракеты это означает, что начальный вес ее с топливом должен быть в 40 раз больше веса пустой ракеты, после того как из нее израсходуется все топливо. Конструктивно пока это еще не удается осуществить. В лучшем случае удается сделать предельно облегченную конструкцию одноступенчатой ракеты с отношением z~ При этом вес полезного груза ракеты получается обычно порядка 2% от ее начального (стартового) веса.

Современные ракетные двигатели обеспечивают Руд порядка 250 [кг сек/кг]. Поэтому для получения скорости 9 км/сек необходимо у ракеты обеспечить число Циолковского z~40.

На рис. 14 вертикальные линии с односторонней штриховкой указывают реальные в настоящее время границы областей применения ракет с различным числом ступеней.

Таким образом, стремясь получить большие скорости полета ракет, приходится, как это и предсказывал К.Э.Циолковский, неизбежно переходить к конструкции ступенчатых (составных) ракет.

Существует много методов расчета ступенчатых ракет, однако большинство из них страдает сложностью, отсутствием наглядности, запутанностью терминологии и определений. Недавно в журналах Британского межпланетного общества была опубликована методика расчета ступенчатых ракет, предложенная голландским инженером Вертрегтом, которую следует признать наиболее удачной. Он предложил построить методику расчета составной ступенчатой ракеты всего лишь на определении четырех весов такой ракеты и трех соотношениях между ними, которые оказываются достаточными для выполнения большинства основных расчетов различных типов ступенчатых ракет.

Рис. 1 Схема ступенчатой ракеты [по Вертрегту]

По этой схеме ракета разбивается на полезный груз, ступени и субракеты.

На рис. 15 представлена схема ступенчатой ракеты по Вертрегту и показаны обозначения принципиальных составных частей ее.

Ступень ракеты состоит из топлива, расходуемого ракетой в период действия данной ступени до ее отделения; емкостей (баков), содержащих это топливо; двигателей; арматуры и приборов управления, если таковые имеются в отделяющейся ступени, а также из оболочки и ее несущей силовой конструкции. Субракетой называется такое сочетание полезного груза и ступеней ракеты, в котором одна из ступеней является рабочей (действующей), а все остальные ступени, продолжающие полет вместе с полезным грузом составной ракеты, являются как бы «полезным грузом» для данной субракеты. Предложено нумеровать ступени и субракеты в восходящем порядке, начиная от вершины схемы, изображенной на рисунке, к ее основанию.

Полезный груз ракеты может состоять из инструментов или людей, включая сюда также несущую конструкцию и оболочку, поддерживающую и предохраняющую их в полете.

Такое разграничение определений и обозначений отдельных основных частей составной ракеты очень просто; оно легко запоминается и позволяет избежать целого ряда ошибок, которые всегда возможны при отсутствии подобной четкой систематизации.

Тогда для субракеты 1 рабочей ступенью будет ступень 1, а «полезным грузом» ее — полезный груз составной ракеты; для субракеты 2 рабочей ступенью будет ступень 2, а «полезным грузом» ее — субракета 1 (то есть ступень 1 вместе с полезным грузом составной ракеты). Для субракеты 3 рабочей ступенью будет ступень 3, а «полезным грузом» — субракета 2 и так далее.

q — вес полезного груза ступенчатой ракеты.

Четыре основных веса ступенчатой ракеты, подлежащие определению, будут следующие:

у ракет «Викинг» — от 4,7 для первых образцов до 6,85 для последних типов этой ракеты № 9—1 У ракеты «Викинг-12» s=7,05 и, наконец, для ракет «Аэроби» и «Аэроби-Хи» ее значение, судя по опубликованным данным, достигает 10 и более единиц.

Под этот вес проектируется и строится вся ракета. Поэтому он является наиболее важным весом в расчетах. Как уже указывалось выше, полезный груз состоит из инструментов или живых существ, помещаемых в ракету, силовой конструкции, несущей их, и оболочки, предохраняющей в полете.

Тогда для сообщения полезному грузу q скорости Vz =5060 м/сек, такой одноступенчатой ракете потребуется иметь число Циолковского:

Пусть у нашей ракеты, кроме того, имеется достаточно совершенный ракетный двигатель, способный обеспечить эффективную скорость истечения u=2400 м/сек.

а, следовательно, ее относительный начальный вес будет равен:

,

Посмотрим теперь, как изменится начальный вес этой ракеты, если ее сделать двухступенчатой. Предположим сначала, что конструктивная характеристика ступеней ракеты и скорость истечения и останутся без изменений.

Таким образом, на каждый килограмм полезного груза данной ракеты придется иметь 367 кг начального веса.

Z=z1*z2.

Тогда

,

Откуда, принимая z1=z2, получим

.

а, следовательно:

Однако здесь необходимо отметить, что сохранить конструктивную характеристику s при переходе от одноступенчатой ракеты к многоступенчатой вряд ли удастся.

Следовательно, начальный вес двухступенчатый ракеты, способной обеспечить тому же полезному грузу q эту же скорость Vz=5060 м/сек, будет меньше почти в 25 раз.

Таким образом, есть все основания предполагать, что у составной, ступенчатой ракеты конструктивные характеристики ee ступеней будут всегда хуже, чем у одноступенчатой.

В конце работы двигателя каждой ступени ракеты будут возникать большие продольные ускорения движения всей ракеты, которые обязательно потребуют увеличения прочности баков в тех ступенях, которые еще не работали и где баки залиты топливом полностью. Кроме того, в ступенчатой ракете потребуются еще некоторые дополнительные узлы, соединяющие между собой ступени ракеты, механизмы разъема и т.п.

Тогда получим величину относительного веса двухступенчатой ракеты:

Пусть в данном случае у нашей двухступенчатой ракеты конструктивные характеристики s1 и s2 будут меньше на целых 4 единицы, чем у одноступенчатой ракеты, то есть они будут почти в 2 раза хуже и равны 4,4 вместо 8,4 единицы.

Следовательно, даже и в этом случае начальный вес двухступенчатой ракеты все же будет в 9 раз меньше, чем вес одноступенчатой ракеты, хотя и обладающей значительно более высоким конструктивным совершенством.

.

Для большей простоты расчета примем для всех ступеней этой ракеты одинаковые значения u=2400 м/сек и s=4,7.

Пример Необходимо определить основные характеристики четырехступенчатой ракеты, предназначенной для сообщения искусственному спутнику Земли весом q=300 кг скорости Vz =9000 м/сек. Такая скорость, как мы видели ранее, в состоянии обеспечить спутнику потребную характеристическую скорость V=8000 м/сек для полета его по круговой орбите на высоте порядка 200 м над уровнем моря и, кроме того, компенсировать дополнительные потери скорости на преодоление силы сопротивления воздуха и гравитационных потерь.

.

Для скорости Vz=9000 м/сек при u=2400 м/сек полное отношение масс (число Циолковского) должно быть равно

.

Тогда, согласно приведенному выше равенству

,

Следовательно, полный начальный вес такой четырехступенчатой ракеты в соответствии с данным ранее определением составит:

«Сухой вес» z2;…zn для каждой ступени в отдельности. При произвольном выборе чисел Циолковского по ступеням может получиться весьма существенное перетяжеление начального веса ракеты по сравнению с его минимальным значением.

что является вполне приемлемым и реальным, так как наибольший двигатель четвертой ракеты должен будет иметь тягу около 220 т, а стенды для испытания таких двигателей уже построены и функционируют в США,

Пример Предположим, что у двухступенчатой ракеты первая ступень (ближайшая к полезному грузу) имеет: u1 =2000 м/сек, а вторая — u2 =2400 м/сек. Конструктивные характеристики обеих ступеней одинаковы и равны s1=s2= Скорость Циолковского осталась прежней Vz=5060 м/сек.

Покажем это сначала на примере только что разобранной выше двухступенчатой ракеты.

,

Тогда, задаваясь произвольно значением r2=3,3 из уравнения Циолковского для двухступенчатой ракеты получим:

z1=3,0.

откуда

.

Следовательно, относительный начальный вес ее при этих условиях будет равен:

u1=2400 м/сек; u2=2000 м/сек; s1 = 4,4 и s2=3,6,

Если теперь мы несколько изменим характеристики ступеней ракеты и примем их, например, следующими:

Однако, если бы мы вместе с изменением характеристик ступеней ракеты, изменили бы и z2, приняв его не 3,3, а, например, 2,8, то в этом случае г, стало бы равным 3,48, а вес Р ракеты — 119 кг вместо 220, то есть даже меньше, чем в первом случае.

то, при том же значении z2 =3,3, получим z1 =3,05, а начальный вес ракеты возрастет почти в 2 раза по сравнению с только что найденным и будет равен 220, в чем не трудно убедиться, проделав расчет, аналогичный только что приведенному.

Поэтому в каждом конкретном случае расчета следует находить оптимальное соотношение чисел Циолковского по ступеням ракеты, исходя из заданной скорости и из индивидуальных характеристик ее ступеней

Отсюда видно, что весьма незначительные изменения в характеристиках ступеней ракеты (не превышающие 10% от их среднего значения) способны иногда привести к весьма существенным изменениям начального веса составной ракеты.

При произвольном числе n ступеней ракеты определение оптимальных значений чисел Циолковского по ее ступеням можно осуществлять следующим приближенным методом, дающим достаточно хорошие результаты.

* * *

.

Обозначив, например, через Y1 отношение z1:s1; находим сначала нулевое приближение Y0, справедливое лишь для случая, когда все значения ui равны u1:

.

Затем ищем следующее приближение, которое, по предложению профессора Станюковича, принимаем за окончательное:

,

Здесь поправка

.

где

z1=s1Y1.

Таким образом, находим

Применим данный метод к только что разобранному примеру двухступенчатой ракеты.

Далее, последовательно принимаем Y, равное отношениям и аналогичным образом находим значения z2; z3;… zn, которые в этом случае будут достаточно близкими к их оптимальным значениям.

Тогда для первой ступени

Для нее будем иметь: n=2; u1=2400; u2=2000; Vz =5060; s1=4,4 и s2=3,6.

Далее будем иметь:

.

Следовательно,

.

z1=0,87 4,4=3,55.

Y1=Y0(1+0,1203)=0,722 1,12=0,87,

.

При этом значении z1, исходя из скорости Vz=5060 и u2=2000, найдем z2 =2,74 Тогда наименьший начальный вес двухступенчатой ракеты будет:

* * *

Ранее, при z1=3,48 и z2=2,8, мы получили близкое к нему значение Р=119.

Так, например, нетрудно показать, что описанный выше проект американской трехступенчатой ракеты «Авангард», предназначенной для запуска 10-килограммового искусственного спутника Земли, мог бы быть существенным образом облегчен, если бы несколько перераспределить у него числа Циолковского по ступеням ракеты, сохраняя имеющиеся у степеней конструктивные характеристики и эффективные скорости и отброса топлива из двигателей. Таблица 3

Еще в большей степени сказывается неправильное распределение чисел Циолковского по субракетам для таких ступенчатых ракет, у которых имеются три и более последовательно работающих ступени.





Далее:
Освоение невесомости.
Кубасов В.Н. «Прикосновение космоса».
Подготовка.
Механика, Ракетодинамика.
НА ОДНОМ КОРАБЛЕ.
Краткая хронология ракетного двигателестроения в СССР.
Криолитосфера Марса и ее строение.
Глава V.
РАСЧЕТЫ НЕИЗВЕСТНОГО.


Главная страница >  Цитатник