х\/х=\; хл: = 0; xyy = yS/x; ху = ух; xV (у V2) = (х у у)\/ г; X (уг) = (ху) г; х(у\/ г)=ху\/ хг;

х\] у=-ху; x\fy=xy.

На основании приведенных тождеств можно производить минимизацию логических выражений.

примеры:

1. а у~аЬ = а (Ь V Ь) \/ab=abV abVab =

= ofc V obv оЬ V = о (Ь V Ь) V Ь (о V о) = = о V Ь.

2- {X Vv) W V г) = ху V хг V У V цг = = у (XV IV г) \/ хг==у\/ хг.

Наборы аргументов, сведенные в таблицу или представленные в виде карты Карно, дают возможность определять различные логические функции. Так, на рис. 15-35, а показана функция И, принимающая значение единицы на наборе 3 (заштрихован) и О - на всех остальных наборах, на рис. 15-35, б показана функция ИЛИ.

На четырех наборах двух аргументов х и у можно определить 2=16 различных фукций (табл. 15-10). Каждая функция / записана в одной из строк таблицы, пронумерованных числами от О до 15. В верхних двух строках записаны все возможные наборы двух переменных х я у: 00, 01, 10, 11. Каждому набору может соответствовать одно из двух значений функции =0 или f=l. В таблице записаны все возможные комбинации значений функции на всех четырех

Таблица 15-10 функции двух аргументов

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 10

0 0 11

хуху у

ху = х\1 у

наборах в виде последовательности четырехразрядных двоичных чисел от 0000 до 1111. В правом столбце даны аналитические значения функции \.

Из этих функций две тривиальны - это константы /о=0 и fi6=l, четыре функции зависят только от одного аргумента (/з=л:,

\ь-у, fio=y, fi2=x), а из оставшихся десяти наиболее употребительны:

fi = xy - конъюнкция (И) ;

fu = ху- отрицание конъюнкции (НЕ-И); f7 = x Уу- дизъюнкция (ИЛИ); fg = xV J/-отрицание дизъюнкции

(НЕ-ИЛИ); fg=xyyxy- неравнозначность; fs=xy\/ху- равнозначность (сумма по модулю 2);

= Щ - запрет х (функция повторяет значение х, если отсутствует сигнал запрета у);

= ху-запрет у.

С увеличением числа аргументов т множество различных функций быстро растет (2 ). Однако их удается выразить через комбинацию тех же зависимостей И, ИЛИ, НЕ, как это сделано в табл. 15-10.

Минимизация логических выражений

Логические функции можно задавать с помощью таблиц соответствия или карт Карно. Они служат удобным средством для формального описания логических задач, выявления любой неоднозначности или неполноты в постановке. Заданную таким образом логическую функцию можно минимизировать, т. е свести к минимуму число букв б аналитическом выражении формулы, а затем построить принципиальную схему с использованием типовых логических элементов.

Таким образом, операции над логическими функциями являются составной частью синтеза логических схем.

Примеры описания и минимизации логических выражений

1. Построить схему, выполняющую функцию мажорирования 2 из 3 . Схема имеет три входа и один выход; выход повторяет логический сигнал, который присутствует на большинстве входов (2 или 3). Табличная запись логической зависимости (табл. 15-11) делит все наборы аргументов на две группы: наборы О, 1, 2, 4, на которых функция принимает нулевое значение, и наборы 3, 5, 6, 7, где функция равна 1. Эта функция изображена на карте Карно (рис. 15-36).

Аналитически функцию мояно описать б дизъюнктивной или конъюнктивной канонических формах (ДКФ или ККФ). В ДКФ функцию записывают как логическую сумму конъюнкций всех аргументов

Таблица 15-11

Таблица 15-12

Рис. 15-36. Минимизация мажоритарной функции 2 из 3 .

тех наборов, на которых f=l. Если аргумент принимает значение 1 в данном наборе, его записывают без знака инверсии, в противном случае - с инверсией:

fj = аЬс У tibcy аЬс V <Лс.

Полученное выражение можно минимизировать:

fl = abc у abc\J аЬс\/ аЪс V 6 с V аЪс= = be (а V ) V (б V 6) V аЬ (с V с) = = Ьс у ас S/ аЬ.

В ККФ функцию записывают как логическое произведение дизъюнкций всех аргументов тех наборов, на которых f=0. Если аргумент принимает значение О в данном наборе, его записывают без знака инверсии, в противном случае - с инверсией:

ff = (а V Ь V с) (а V 6 V с) (а V & V с) X

X (а V & V с).

Полученное выражение также можно минимизировать:

fi=: (а\/ Ь\/ с) (а\/ b Vc) (а у Ь\/ с) X

Х(а V~6 V с) (а V 6 V с) (а V 6 V с) = = (а V Ь) (а V с) (Ь \/ с) аЬ W be V ас.

Минимизацию удобно выполнять с помощью карт Карно, где эта операция становится предельно наглядной.

Логическая функция, которая принимает значение О на одной группе наборов аргументов и 1 на другой группе, записывается в соответствующих клетках карты Карно. Соседние клетки карты, на которых функция принимает одно значение, например 1, можно объединять ( склеивать ) попарно

(при этом выпадает один аргумент, принимающий разные значения в склеиваемых клетках) или по 4, 8,16. При этом склеиваемые клетки должны образовать полную строку, полный столбец, квадрат или прямоугольник. Для функции 1 на рис. 15-36 удается склеить пару 6 и 7, следовательно, значение функции на наборах 6 и 7 можно записать как аЬ (выпадает с), при склеивании пары 7 и 5 значение функции запишется как ас (выпадает 6), при склеивании 3 и 7 значение функции запишется как be (выпадает а); логическая сумма (дизъюнкция) всех наборов, на которых функция принимает значение 1, дает, как и ранее:

fi = ab\/ асуЬс.

2. Пусть логическая зависимость формулируется следующим образом: генератор можно включать в систему методом точной синхронизации, т. е. при наличии возбуждения, равенстве частот и совпадении фаз, а также методом самосинхронизации, т. е. при отсутствии возбуждения и при равенстве частот. Условие, при котором допускается включение генератора в сеть, можно описать логической зависимостью.

Пусть сигнал наличия возбуждения а= = 1, сигнал равенства частот 6=1, сигнал совпадения фаз с= 1, сигнал сОвнадеиия на-пряжений d=\. Все возможные наборы аргументов сведем в табл. 15-12. Их можно разделить на три группы:

1) наборы аргументов, на которых функция /г принимает значение 1, т. е, включение разрешается. Это наборы 4 и 15, соответствующие самосинхронизации и точной синхронизации;

2) наборы аргументов, на которых /2=0, т. е. включение ие разрешается. Это наборы О, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14;

3) наборы аргументов, которые внутренне противоречивы, а потому никогда не могут быть реализованы: 1, 2, .3, 5, 6, 7. Мож-

но считать, что функция на этих наборах не определена.

Запишем функцию в ДКФ:

fa = аЪсй V abed.

Можно убедиться, что h-, если реализуются наборы 4 или 15 аргументов {а- = 0, 6=1, c=d=0 или a=b=c=d=\).

Рис. 15-37. Минимизация неполностью определенной функции четырех аргументов.

Наличие группы наборов, на которых функция не определена, дает дополнительную возможность минимизации. Разместим значения функции в клетках карты Карно четырех аргументов (рис. 15-37).

Доопределим наборы 5, 6, 7 до единицы, а 1, 2 и 3 - до нуля, т.е. припишем соответствующим наборам значения 1 или О для получения наиболее крупных групп склеива-

емых клеток. Тогда оказывается возможным склеить четыре клетки 4, 5, 6, 7 и пару клеток 7 и 15. Полученный результат имеет четкую физическую трактовку, вполне отвечающую постановке задачи:

/а = 6 V bed.

Аппаратурная реализация логических зависимостей

Логические зависимости, полученные в результате описания и минимизации, мож-, 110 реализовать, используя типовые элементы. В каждой серии логических интегральных микросхем содержится функционально полный набор элементов. Так, если в серии содержатся элементы И, ИЛИ, НЕ, то выражения, полученные в примерах 1 и 2, реализуются схемами рис. 15-38, а и 15-39, а. Функционально полный набор представляет единственный тип элемента И-НЕ, а также единственный тип ИЛИ-НЕ.

Двухвходовый элемент И-НЕ реализует функцию f=xy=x\/y.

Если на оба входа подан один и тот же сигнал либо сигнал подан на один вход, а на другой - константа 1, то элемент реализует функцию НЕ: f-xx=x-\=x.

Элемент ИЛИ-НЕ реализует функцию f = *:(/.

Если на оба входа подан один и тот же сигнал либо сигнал подан на один вход, а на другой - константа О, то элемент реа-лизует функцию НЕ: f-xyxxyox.

tto-

&

а о-

Ъ о-

с о-

а о-

Ряс. 16-38. Схема мажоритарной логики, о - иа элементах И, ИЛИ; б -па элементах И-НЕ; в - иа элементах ИЛИ-НЕ.

£tO-

чзнтг :riTi ©фЪ

4lr - s)

Рис. 15-39. Схема пуска генератора, а - на элементах И, ИЛИ; б - иа элементах И-НЕ; в - на элементах ИЛИ-НЕ.

32-288