Схема

Сопротивление

Проводимость

Векторная диаграмма

к о.

Переход от активной g и реактивной Ь проводимостей к активному г и реактивному X сопротивлениям по общим формулам перехода от схемы замещения по рис. 4-5, б к схеме замещения по рис. 4-5, а (с. ИЗ)

1 . -

По рис. 4-4, в

По рис 4-4, б

По рис. 4-4, в

Значения t/a и Up можно найти из векторной диаграммы путем построения треугольника напряжений (рнс. 4-5, в; выполнен для случая ф>0). Подобный ему треугольник, стороны которого в выбранном

\(1р

треугольник, стороны которого в выбранном масштабе равны проводимостям у, g к \Ь\, есть треугольник проводимостей (рис. 4-5, д).

Вычисление g и Ь по известным г и х или наоборот, т. е. переход от схемы замещения по рнс. 4-5, с к схеме замещения по рис. 4-5, б и наоборот, выполняется по формулам

X =-

при x>Q (6>0) элемент, обозначенный на рис. 4-5, а (рис. 4-5, б) прямоугольником и буквой х(Ь),- индуктивный (для этого случая дана диаграмма на рис. 4-5, в), при х<0 (Ь<0)- емкостный.

Иногда принимают Y=g-{-jb, что противоречит ГОСТ 19880-74. Тогда

Рис. 4-5.

масштабе равны сопротивлениям z, г и \х\, есть треугольник сопротивлений (рис. 4-5, г).

Для схемы замещения по рис. 4-5,6

где 1а-gи-активная составляющая тока; /р=-jbU - реактивная составляющая тока.

Значения /а и 1р можно найти из векторной диаграммы путем построения треугольника токов (рис. 4-5, е). Подобный ему 8-288 .

Активные двухполюсники

Источник электрической энергии, когда известны его ЭДС Е или ток короткого замыкания / =/ и внутреннее/сопротивление

ZjT, = r-\-ix или проводимость YKt = g-jb,

может быть представлен схемами замещения с источником ЭДС (рис. 4-6, в) или с источником тока (рис. 4-6, б), причем /= =£/Zbt и Увт=1/£вт, где 2вт=г-Ь/Х 2вт=, =g-jb (переход от/-ил;к§ийи наобо-

рот - см. выше). Если при расчете цепи можно Zbt не учитывать, т. е. положить в схеме рис. 4-6, а Zbt=0, то источник энергии заменяется идеальным источником ЭДС Е; если можно Увт не учитывать, т. е. положить в схеме рис. 4-6, б У.вт=0, то источник энергии заменяется идеальным источником тока /.

Рис. 4-6.

Для схемы рис. 4-6, а: U-Ua6= a- -фб=£-ZZbt. Для схемы рис. 4-6,6: t/=

Эти схемы справедливы и для произвольного активного двухполюсника (рис. 4-6, в). В этом случае £= f)x - напряжение холостого хода на выводах двухполюсника; Zbt=Zbx - входное сопротивление активного двухполюсника, равное сопротивлению соответствующего пассивного двухполюсника (получается, когда ЭДС активного двухполюсника приняты равными нулю, а все ветви с источниками тока разомкнуты).

Взаимная индуктивность

Последовательное включение двух индуктивно связанных катушек (рис. 4-7, а). Общее напряжение

туры, если они имеют индуктивную связь (рнс. 4-7, в):

Ui = /(oLi /i +4(аМ12 = /wi-2 h + -f /иЖ/й

t/з =/oLg/a ~/ИМ/*; UifafLU - - joMIs.

Стрелки на схемах показывают выбранные произвольно положительные направления токов и напряжений. Q После выбора положительных направлений слагаемые вида jatLhlh и jaMIn суммируются, если выбранные токи одинаково направлены относительно одноименных выводов (обозначенных точками), и вычитаются в противном случае. Активные сопротивления катушек учитываются так же, как и при отсутствии индуктивной связи между катушками.

Схему цепи, содержащей две катушкц, обладающие взаимной ирдуктивностью и присоединенные к одному и тому же узлу, можно заменить схемой цепи, не содержащей катушек со взаимной индуктивностью (рис. 4-7. е).

rwi Согласное я . Lt М к

Встречное Уу t

Включение .rrtr.. СГ/

где М - взаимная индуктивность. В комплексной форме

и =(i<i>Li ± jaM + joLi ± jaM) /.

где (оМ==Хм - сопротивление взаимной индукции, или

U = j(oLi,

где L=Li-f L2±2Af.

Знак плюс ставится при согласном соединении катушек, знак минус - прн встречном.

Согласное соединение получается, когда магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке суммируются, что указывается на схеме одинаковым направлением тока относртельно одноименных выводов (рис. 4-7,6). рбдзца-чаемых точками.

Понятие о согласном и встречном включениях обобщают иа катушки, включенные в разные ветви, и вообще на кон-

--\ЫМ

Рис. 4-7, Мощность

Мгновенная мощность любого участка цепи или двухполюсника определяется как произведение мгновенных значений напряжения м= t/m sin (и+Р) и тока i=ImX Xsin((u-+-a):

p=ui = UJ cos Ф - W cos (2(0 -j- iJ)),

где ф=р-к; i])=34-a.

Среднее значение мощности нлн активная мощность произвольного активного или пассивного двухполюсиикч

f cosq)==

cosq).

Здесь и и / - напряжение и ток на выводах двухполюсника; ф - угол сдвига фаз между напряжением и током. Положительные направления напряжений и тока пассивного двухполюсника должны быть взяты, как на рис. 4-4, а, активного двух полюсника - как на рис. 4-6.

S=UI - полная мощность; P/S- =COS ф -коэффициент мощности; Q = =U1 sin ф - реактивная мощность;

S=Vp + (?; tgq>=Q/P. Мощность в комплексной форме 5 = Р-Ь /Q = 7 /* = У/созф-Ь -f jUI sin ф, где S - полная мощность в комплексной

форме; -а - сопряженный комп-

лексный ток и S = S. Иногда принимают

где U*~UZ -р - сопряженное комплексное напряжение.

Для пассивных двухполюсников и их схем замещения (см. рис. 4-5)

S = UI=zP.ym; Р = Шсо8ф =

= [/а / == и/а = А/? = gUi;

Q = UIsm4, = xIi = bUP, (Q=t/p/ =

= Wp.

при ф>0 (рис. 4-5, в) Q>0, при ф<0 и Q<0.

Закон Джоуля-Ленца. В активных сопротивлениях электрической цепи мгновенная мощность p==n=ui.

Активная мощность

P = UI= = rfj2 = U/r = t 2r.

.- Moui,HOCTb источников Мощность, развиваемая источником ЭДС (рис. 4-6, а).

Мощность, развиваемая источником тока (рис. 4-6,6),

в любом случае (рис. 4-6) мощность, отдаваемая во внешнюю часть цепи,

S=Uf* =:Р+jQ; S=UI,

т. е. одинакова, но мощности, развиваемые источниками ЭДС и тока, различны.

Баланс мощности. Для электрической цепи справедлив закон:

SP нсточников=2Р приемников;

SQ источников=SQ приемников или

11S источников ==SS приемников,-

Указанные равенства являются следствием закона сохранения энергии и могут служить одним из средств проверки правильности расчета.

Активная энергия Ws, и реактивная энергия IFp, определяющая реактивную мощность приемника или источника, в течение времени t:

Схемы электрических цепей и их графы

Схема электрической цепи, состоящей из пассивных и активных двухполюсников, содержит пассивные элементы (резистив-ные, индуктивные, емкостные) и активные элементы (источники ЭДС и тока). Участок электрической цепи, состоящей только из последовательно соединенных элементов (с одним и тем же током), образует ветвь; направление ветви в топологическом смысле совпадает с выбранным положительным направлением тока ветви Точка соединения ветвей образует узел. Например, схема цепи, изображенная на рис. 4-8, а, состоит из шести ветвей, которые соединены в четырех узлах: а, Ь, с и d.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменена отрезком линии, называется графом схемы. Граф тоже состоит из ветвей и узлов и для одной и той же схемы может быть изображен различными способами. Например, для схемы по рис. 4-8, а на рис. 4-8,6 показаны два из различных возможных изображений графа. Топологические (геометрические) свойства для всех изображений одинаковы: существует взаимно однозначное соответствие между узлами и ветвями, т. е. такие графы изоморфные. Например, для всех изображений узлы b я d соединены ветвью /. Часть графа образует подграф: путь, контур, дерево, связь, сечение. Путь - это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем входящие в путь ветви и узлы встречаются только 1 раз (например, иа рис. 4-8,6 ветви 1-3-6). Контур-замкнутый путь, в котором один из узлов - и начало и конец пути (например, на рис. 4-8,6 ветви 1-3-5). У связного графа между любой парой узлов существует путь. Деревом связного графа называется связный подграф, содержащий все узлы, но ни одного контура. Например, на рис. 4-8, в показаны два дерева графа по рис. 4-8,6. Для схем, имеющих форму полного многоугольника с у узлами, число деревьев равно уУ~; например, для мостовой схемы рис. 4-8, а получается 42=16 деревьев. Связи графа дополняют дерево до исходного графа. Для деревьев на рис. 4-8,6 связи даны на рис. 4-8, г.

Если граф (схема) имеет е ветвей и у