токов. Каждый диагональный элемент (или собственная узловая проводимость) Yii матрицы YW) равен сумме комплексных проводимостей всех ветвей, присоединенных к этому узлу (0; каждый внедиагональный элемент (или общая узловая проводимость) Yij-Yji равен сумме комплексных проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы i и /, и записывается со знаком минус. Элемент/ратрицы узловых токов равен алгебраической сумме токов источников тока, эквивалентных источникам ЭДС в ветвях, присоединенных к узлу i. Направленные к узлу (от узла) токи записываются со знаком плюс (минус). Знаки элементов всех матриц не зависят or ориентации ветвей графа.

Пример. Для схемы рис. 4-8, а, принимая

Пример. Для схемы рис. 4-8. а матрица соединений была получена при составлении уравнений Кирхгофа:

0-1 0 10 -1 1 10 0 о 0-1 0-1-

Y(b)=

Диагональная матрица проводимостей вет-

-f !a>Li) .00 ООО

О 1 -2 О ООО

О О lljaita ООО

О 0 0 l toL., О О

О ООО /(bCj о

О 0 0 о о 1 -

Произведение

AY =

Lii-

/COL,

. l + J--L

/cola r - шСв

-Е,-

--E,

Если в какой-либо ветви известен ток, например ток источника тока, то в левых частях уравнений слагаемое с проводимостью этой ветви должно отсутствовать. В правых частях уравнений нужно добавить известный ток со знаком плюс (минус), если он направлен к узлу (от узла).

Матрицу узловых проводимостей W) можно получить и при помощи матрицы соединений А:

где Y= - диагональная матрица проводимостей ветвей.

-L о

ri+j(oL, О

о -

/coLs 1

/coL, О

о -

Транспонированная матрица

О - /соСз--

и для yW=ay( А получается ранее записанная матрица.

Матрицу-столбец узловых токов также можно получить при помощи матрицы соединений А:

= Aj<-AYC E=,

где J() - матрица-столбец токов источников тока; - матрица-столбец ЭДС в ветвях.

Пример. Для схемы рис. 4-8, а, в которой источники тока отсутствуют, произведение А было уже получено и для

J<y>= AY(>E

получается ранее записанная матрица.

Для цепей, содержащих индуктивно связанные ветви, матрица проводимостей ветвей Y(=> недиагональная и определяется

как обратная матрица сопротивлений ветвей ZC), т. е.

У матрицы ZC) элементы главной диагонали - сопротивления ветвей, а остальные элементы - сопротивления индуктивной связи между соответствующими ветвями (равны нулю, если между соответствующими ветвями нет индуктивной связи). Эти сопротивления /шМт записываются со знаком плюс (минус), если токи в ветвях т и п направлены одинаково (противоположно) относительно одноименных выводов.

Применение топологических методов расчета

При определении потенциалов из узловых уравнений необходимо вычислить определитель Dt ) матрицы узловых проводимостей Y(y). Расчеты упрощаются, если применяется разложение определителя. Разложение по ветви применяется для любой ветви, соединяющей какой-либо узел / с базисным,

где минор Dj получается вычеркиванием /-й строки и У-го столбца определителя нижний индекс у минора 1-го слагаемого означает, что /-я ветвь закорочена; определитель Di получается из Г ) при Yj-0, т. е. верхний индекс у 2-го слагаемого означает, что та же ветвь разомкнута; так как проводимость Yj входит в элемент £)(у), стоящий на главной диагонали, то минор равен алгебраическому дополнению (положительному) .

Пример. Для схемы рис. 4-8, с при ф4=0 определитель матрицы узловых проводимостей составляется так же, как матрица узловых про водимостей (см. Метод узловых потенциалов). Разложим определитель относительно ветви с Lt, присоединенной к базисному узлу 4\

+

-L-ь

Гг iesL.

y>L, )

\ Гг Гв ;

и аналогично можно проделать дальнейшие раз ложения.

Обобщая, получим общее выражеииие для разложения определителя по всем ветвям, присоединенным к базисному узлу, т. е. разложение по узлу:

D(y> = 2:F.D. + 2K.F.D. +

где т - число ветвей, присоединенных к базисному узлу; верхние индексы, указывающие номера разомкнутых ветвей, опущены, так как нижние индексы определяют и закороченные, и разомкнутые ветви. Например, слагаемое YiDi соответствует схеме с г-й закороченной ветвью и с разомкнутыми остальными ветвями; число таких слагаемых равно т. Слагаемое шрз. YiYjDij соответствует схеме с двумя закороченными ветвями Yi и Yj и остальными разомкнутыми; число таких слагаемых равно числу сочетаний по 2 из ш и т. д.

При вычислении определителя D <) матрицы контурных сопротивлений ZC) можно пользоваться аналогичными разложениями для диагональных элементов матрицы:

D =ZD + ,

где минор Di получается вычеркиванием /-й строки и /-Г0 столбца и соответствует электрической схеме, в которой ветвь с сопротивлением 2; разомкнута; определитель £ получается из Dw при Zi=0.

/ Из

+

Гг 1

f i-+

1

Ге 1

( ie,L

Ге J

Можно далее разложить, например, В* относительно проводимости 1-й ветви

\ Гг Ге J 1

Гг 1

\ Гг Г J

L ( 1

Ге V /coLs

-У7юСе Ге 1

\ Гг /C0L3 )

+

/C0L3

Пример. Для схемы рис. 4-8, а определитель D составляется так же, как матрица контурных сопротивлений (см. Метод контурных токов). При разложении относительно ветви с сопротивлением Гб

(Г1 -f jaLi Г2 -J- iati) ~ 1-2

- n (Гг + /rats Ч-Гв)

(n + -Ь Ts /oLj) - Гг

(Га -1- /ю£в -Ь Ге)

двухполюсника, т. е. сопротивление всей цепи, кроме ветви, в которой определяется ток, измеренное на выводах аб, когда все ЭДС приняты равными нулю, а все ветви

- Гг

дальнейшие разложения аналогичны.

Взаимная эквивалентная замена источников тока и ЭДС

В любой ветви д, соединяющей два узла i и 2, ЭДС Еа можно заменить узловым током (током источника) Л Ток источника

Рнс. 4-13.

направлен к тому из узлов {!), в сторону которого действует ЭДС (рис. 4-13): /=

= УаЁа, где Уа=1 Да -проводимость ВбТ-

ви а.

Метод активного двухполюсника

1. Ток в любой ветви (рис. 4-14, а)

= ix/(i+?Bx).

где Z-сопротивление ветви; иОаб-

=фо-Фб-напряжение при отключении ветви с сопротивлением Z, в которой определяется ток; Zbx -входное сопротивление

В д)

а. I

га. в

- -о п

Рис. 4-14.

= ГеОе-ЬД :

с источниками тока разомкнуты. При Z=0

>=/K = ix/?Bx; £вх = х к.

где /к - ток короткого замыкания ветви.

Пример (рис. 4-14,6). Определяется ток и. Сначала находим Uxrpg-фнри разомкнутом, участке ав (рис. 4-14, е). Чтобы найти Фд, вычислим ток:

пусть фд=0. тогда 4>б=0-/х(-/Сс)

Входное сопротивление относительно точек ав и ток /г;

Z =-;-, /г =---

2. Параллельные, содержащие источники ЭДС ветви могут быть заменены одним источником ЭДС и одним сопротивлением по формулам

эк =

где k=l, 2, ...,н (я - число параллельных ветвей).

ЭДС, положительные направления которых совпадают с выбранным положительным направлением эквивалентной ЭДС, записываются в формуле со знаком плюса имеющие противоположное направление,- со знаком минус.

Пример (рнс. 4-14,6 н г). Заменяются две ветви с ЭДС е, и ej:

Ё./г - EliaL

iesL

Метод наложения

Ток в каждой ветви рассчитывается как алгебраическая сумма токов, возникающих в этой ветви от действия каждого из источников ЭДС или тока в отдельности. Оставляя каждый раз один источник ЭДС или тока, необходимо сохранять все сопротивления (во всех ветвях):

+ft 4+.p-p+--+ :s.