Уравнения Кирхгофа для схемы после коммутации:

-(-f II-f 4 = 0; (1)

rl -f L dlildi = E; (2)

I. dt + и (0) = E.

или после дифференцирования (3)

г di/dt -f UIC = 0.

Из системы уравнений (I), (2), (4) дифференцированием (1) и (4) и подстановкой и из (2) и (4) в (1) исключаем токи h и k и получаем уравнение:

ri ! 1 di de rC dt

LC LC r

Частное решение этого уравнения, т. е. установившийся ток в схеме после коммутации, iy- =Е/г\ А.

Характеристическое уравнение

-f р/гС + 1/LC = О

имеет решение:

Pj 2==-l/2-C± j/ l/irC-i/LC:

-200 с

Pj, =- 800 с

Общее решение однородного уравнения, или свободный ток, имеет два слагаемых:

Ток I переходного процесса

i = у -f г-дв = 1 -f AePf + AePt (5)

Для определения постоянных интегрирования составляем систему уравнений. Полагая в (5) t=0, получаем:

( (0) = 1 -f Л, -f Аг.

Дифференцируя (5) и полагая >-0, получаем:

\t=o

-2001 -8оол2.

При помощи законов коммутации находим i(0) и di/di=-Q. Для этого сначала определим ii и в схеме до коммутации:

sin (at -f il) - 90°);

a=E sin {at + iy. Отсюда при t=0 (в момент коммутации)

деляем из (4), полученного дифференцированием (3), подставляя t=0:

h (0)

=-940 A/c.

= 0.

При найденных началы1ых значениях t(0) и dldt (J находим A\ и Лг, решая совместно (6) н (7): 4]=-2,23 и Л2=1,73. Теперь в формуле (5) все неизвестные величины определены:

. = 1-2,23.- 4i.73-°°a.

Уравнения цепи можно составлять также при помощи метода контурных токов и других методов расчета цепей.

Характеристическое уравнение проще получить без совместного решения системы дифференциальных уравнений, если составить согласно методу контурных токов определитель из сопротивлений в комплексной форме для схемы после коммутации, заменить /ш на р и приравнять определитель нулю.

Пример (рнс. 4-30):

гЛ-pL -pL

-PL PL + 1/рС

Это уравнение дает те же корни, что и найденные выше.

Корни характеристического уравнения одинаковы для любого тока или напряжения данной цепи (кроме схем, содержащих ветви с идеальными источниками ЭДС и без других элементов). Корни могут быть найдены из уравнения

Z(p) = 0,

где Z(p)--=Z(j(i)) при замене /со на р, а Z(j(i)) - комплексное сопротивление или вообще коэффициент пропорциональности между гармонической ЭДС (которую можно считать включенной в любую ветвь) н любым током (или напряжением) для схемы после коммутации.

Пример (рис. 4-30):

Z (р) =

pL +1/РС

если комплексное сопротивление Z(/co) есть входное сопротивление при гармонической ЭДС, включенной в левую ветвь (вместо ЭДС Я), или

гЛ/рС

Z(p)=pL + -

с + 1/рС

=0.

h (0)=

sin dl) - 90°) =-0,44 A;.

u (0) = £з!пф=5 В.

Подставляем найденные значения 1,(0) и

С (0) в уравнения Кирхгофа для схемы после коммутации (I)-(3) для момента t=0:

- I (0) -f it (0) -Ь г (0) = О или

£ (0)=-0,44-f 22(0); (!)

n(0) + LdUIdt\=E; (2)

ri (0) Н- и (0) = £ или lOi (0) 5 = Ю. (3)

Из (3) находим г(0)=0,Б А, а из (!) находим <2(0)=0,94 А; производную di/dt\( опре-

Z (р) =

-fp£

Любое из полученных уравнений дает те же корни, что и найденные выше.

Z(p) можно рассматривать как полное операторное сопротивление; pL индуктивное операторное сопротивление; 1/рС - емкостное.

Метод неременных состояния

Метод переменных состояния основан на решении уравнений состояния - дифференциальных уравнений первого порядка.

При расчете переходного процесса в линейной цепи с постоянными параметрами из уравнений Кирхгофа получается дифференциальное уравнение п-го порядка, записанное выше для тока I, а в общем случае для переменной х (ток, заряд, напряжение, магнитный поток и т. д.);

d -x d ~ X

...+af,x = F{t),

которое сводится к системе я уравнений первого порядка введением я переменных состояния: Xi-x; X2=dx/dt; ...; Xn = ==d-xldt-, т. е. переменными состояния служат искомая величина л: и ее производные. Уравнения состояния:

dxjdt = 62 х; dxjdt = 63 ...

... ; dx Jdt = bx,

dxjdt CiXi + cXz + ... +CnXn +

Для решения задачи надо знать еще п начальных значений Xhifi), которые зависят от независимых начальных условий. В качестве переменных состояния могут быть выбраны также токи в индуктивных и напряжения на емкостных элементах.

В матричной форме

-X(0 = AX(0 + BF(/), (а)

где X - матрица-столбец п переменных состояния; F - матрица-столбец т ЭДС и токов источников; А - квадратная матрица порядка я; В - матрица связи размера пХт.

Для искомых (выходных) величин Уи .... yi в матричной форме получается уравнение:

Y(0 = MX(0 + NF(0, (б)

где Y - матрица-столбец искомых величии; М - матрица связи размера 1УСп; N - матрица связи размера /Х; элементы матриц А, В, М и N определяются топологией и параметрами цепи.

Пример (рнс. 4-31). Даиы параметры цепи г, L, С, Е; конденсатор был заряжен до напряжения to. Найти т. u(t).

Дифференциальные уравнения. ri+Ldildt+ -\-и=Е; 1=С duldt. Переменные состояния: ж1=

= и и Xiljl. Начальные значения:: к(0)=-

= t/o: £(0)=г(0)=0.

Уравнения состоянняэ

dXt dt di

В матричной форме: X

Рис. 4-31.

Решение уравнения (а) записывается в виде Х(О=е*Х(0) +

+ е\е- о

BF (В) de.

Для вычисления матричной экспоненциальной функции сначала определяются собственные значения % матрицы А, т.е. корни уравнения

det(A -Я-!) =0, (г)

где 1 - единичная матрица порядка п; собственные значения совпадают с .корнями характеристического уравнения цепи. Если они различны, то

e** = ao(01+ai(0 А + а2(0А2+ ...

... + i(0A -4

где А2=АА; А==ААА и т. д., а функции a.ii(t) определяются из алгебраической системы п уравнений:

ао + 1 1 + ia2+ ...

...+ЛГ 1=е*; ао + 1 + 2+ ...

...+r* i=eV.

пример (рнс. 4-31). Собственные значения определяются из уравнения (г):

-Я 1/С

-1/L -TlL~%

= 0, откуда Я,-

i Т \2L) LC

Из-уравненнй се, Ч- а = а -Ь = е>

получается?

1

Я,-Л, At

1 - 1 -

Здесь

A-Jljl:

Теперь X

-X, 1/С - 1/t -rlL - %s

-К lie

-ML Я.

-Я, 1/С -1/1. Я J

= Aj;

Я,-Я2

Х(0) +

+ [(А.еь.в-А.Лв) О

откуда, например, при U = 0:

.(eUf-еЩ.

Ь Z, (Я. - Я,)

Если в цепи действует одни источник ЭДС F(t)=l(t) и начальные условия нулевые, то

Х(0 = (в*-ОА- В; ¥(/) =

= M(eA* i)A-B-bN:

это переходные функции цепи.

Матричная экспоненциальная, функция по определению представляется бесконечным рядом

еА/ ,д + АгА + АЗ+ ...

При ограничении конечным числом слагаемых вычисление сводится к умножению и суммированию матриц, что выполняется при помощи стандартных программ на ЭВМ.

Уравнения состояния проще всего решаются методом численного интегрирования - методом Эйлера.

Операторный метод

Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений не требует определения постоянных интегрирования (Ль Л2, .... Л ).

Если в дифференциальных уравнениях заменить все известные функЩ1и времени f(t) (оригиналы) их операторными изображениями F(p), найденными при помощи преобразования Лапласа (или Карсона), и все неизвестные токи I, производные di[dt

и интегралы 10-288

их операторными изо

бражениями 1(р), pI(p)-i(Q), 1(р)/р, то из полученной системы алгебраических уравнений (уравнений Кирхгофа в операторной форме) можно найти изображение любого неизвестного тока (или напряжения).

В общем случае изображение функции может быть найдено при помощи преобра-зовашя Лапласа

F(p) = J fit)e-dt

[или преобразования Карсона

<р{р)=р \ f(t)e-*dt]. о

Сокращенно эти преобразования записываются в виде

F (р) -f (0[или ф (р) =* / (/), причем

Ф(р) = р£(р)].

Предполагается, что оригинал f(t) - 0 при /<:0, что он может иметь только конечное число точек разрыва первого рода на любом конечном интервале и при ОО возрастает не быстрее экспоненты:

(/)<Лfe*

где М, So - постоянные.

Изображения наиболее часто встречающихся функций по Лапласу, а также производной от функции и интеграла приведены в табл. 4-4.

Далее все формулы даны для преобразования Лапласа.

По найденному изображению тока (или напряжения) сама функция может быть найдена при помощи табл. 4-4, формулы обращения (интеграл Бромвича) или вычетов:

J S-b/oo

/(0 = - J (6 =

S--/оо

= S res f (p) eP.

при p=p/

Здесь путь интегрирования представляет собой вертикальную прямую Re p=s> >so>0, ориентированную вверх. Сумма вычетов (res) берется по всем особым точкам - корням характеристического уравнения pft.

В простом полюсе (p=Ph - не кратный корень)

res F (р) ePt = Ит [(р - Pk) F (р) e*].

В полюсе порядка ft fp=рй - кратный корень порядка ft)

resF(р) еР =---.Х-

X Ит

(n-iy. Hp-PkrF(p)ePH.