В однородной среде с относительной диэлектрической проницаемостью Вт

Если в объеме V, ограниченном поверхностью S, распределен объемный заряд с плотностью р, поверхностный заряд (на электродах) с плотностью а, линейный заряд с плотностью X (например, на проводах линии), то

jiereEdSjpdV+jodS+jxdl.

Напряженность электростатического поля (поля неподвижных зарядов) или поля постоянных токов в проводящей среде (вне источников энергии) может быть представлена кйк градиент скалярной функции ф-потенциала.

Е = - grad ф = - Уф.

Таблица 4-10

Декартовы, цилиндрические и сферические координаты. Операции векториого анализа

Декартовы х, у, г

Цилиндрические г, а, г

Сферические R, 6, а

dl = idx-\:!dy+kaz

jc = г cos а; д = гЛпа: г -г

Элемент длины dl = dr + earda + e dz

х= i? sin 8.cos а; / = i?3ine-3Jna; 2 = i?cose

dl = ej dR + e R de + + eRsmeda

grad ф =

dx du

dm , 1 dm ,

dR R дв

+ ea - r

1 Йф

да. dz

Rsinb da

dF dF dF

d (Fe sin 6)

dFg dF

da dz SFa

1 амад J

LfsineU.

R dR i? sin 6 56 V dQ ] R sin в da div rot f = V (V> - 0; rot grad ф = уф = 0= div (AxB) = V {AxB) = В rot Л - Arot B; rot rot = vX (vX) = grad div F - vf ; §FrfS== jdivFdV; §Fdl = TotFdS.

Разность потенциалов между точками Ml и М2 электростатического поля или поля постоянных токов в проводящей среде не зависит от пути /:

Ms

f/12 = Ф1 - Фа = \ Edl к - d(f = E dl;

I £ d/ = О и rot £ = О

(потенциальное поле).

Уравнение электрической (силовой) линии / поля:

Е X d/ = 0.

Уравнение эквипотенциали; EdlQ.

Например, для точечного заряда q или заряженной сферы с суммарным зарядом q поле вне сферы:

Е = -

4я8ео7??

4л8;. бо R

где R - расстояние от точечного заряда или центра сферы до точки наблюдения; = R ? -единичный вектор, направленный из центра в точку наблюдения; потенциал ф принят равным нулю в бесконечно удаленной точке.

Для диполя с зарядами ± и плечом / (вектор направлен от -q к -Ь) в сферической системе координат (табл. 4-10) с началом в центре диполя и с отсчетом угла 6 от оси, направленной вдоль плеча /:

2£/cose ql sin 6

£ ==0; ф = 9/со8е/4л8ец7?2

где потенциал ф принят равным нулю в бесконечнр удаленной точке.

Для одиночного прямолинейного провода-достаточно длинного, чтобы можно было пренебречь влиянием краев, заряженного с линейной плотностью т (на единицу длины) - в цилиндрической системе - координат (см. табл. 4-10), ось z которой совпадает с осью провода, поле вне провода

т т с

£ = £г = 7-: Ф =-in - .

где С - постоянная, зависящая от выбора начала отсчета потенциала.

Для двухпроводной линии с зарядами ±т (на единицу длины), расстоянием между осями проводов d и радиусом проводов ro<d потенциал вне проводов

2пег 8о г+

где г и г+ - соответственно расстояния до точки наблюдения от осей отрицательно и положительно заряженных проводов; потенциал ф принят равным нулю в центре между проводами.

Для коаксиального кабеля с зарядом жилы на единицу длины +х и оболочки -т, напряжением между жилой и оболочкой и, радиусом жилы п и внутренним радиусом оболочки Г2 в цилиндрической системе координат (см. табл. 4-10) с осью г, совпадающей с осью кабеля, поле в диэлек трике

Е-Е- -

т . С --In -

2л бц г

где С - постоянная, зависящая от выбора начала отсчета потенциала.

Поляризованность, смещение

Вектор поляризованности равен объемной плотности электрических моментов дн полей (момент в единице объема):

Р= Ит (2 p/V),

где p=ql - электрический момент диполя поляризованной среды; q - заряд диполя; /-плечо диполя (его направление от отрицательного заряда к положительному). В случае одинаковых моментов

Р=рп,

где п - число диполей в единице объема.

Связанный (в диполях) заряд внутри замкнутой поверхности

Объемная плотность связанного заряда

Рсвяв = -div/

Вектор электрического смещения D определяется как сумма двух векторов:

По теореме Гаусса

UdSm, где Q - свободные заряды; в частности.

Объемная плотность свободного заряда р = div D.

В линейной среде P==t,toE=taE иС=(Ц-х,)ео£ =

где Ег = 1 -f ЗС - - относительная диэлектри ческая проницаемость; Хт - относительная диэлектрическая восприимчивость; %а - абсолютная диэлектрическая восприимчивость; ба - абсолютная диэлектрическая проницаемость.

В нерационализованных системах СГСЭ н симметричной Гауссовой (ео=1)

В=£ + 4яР = (1 + 4пу.д) ЕВгЕ,

где ег= l+4stKs и Кэ - диэлектрическая восприимчивость, которая в 4п раз меньше г. При пользовании таблицами необходимо обратить внимание на то, какое из значений восприимчивости имеется в виду.

Ток, плотность тока

В проводящей среде при постоянном поле с напряженностью Е плотность тока (закон Ома в дифференциальной форме)

JyE,

где Y - удельная проводимость среды. Ток через поверхность S

По закону сохранения заряда

j>JdS=zO и divJ = 0.

По закону Джоуля -Ленца активная мощность в единице объема

р = У£ = Y£? = J?Jy.

Уравнения Лапласа и Пуассона. Граничные условия

Для каждой точки потенциального поля, например электростатического, справедливо уравнение Пуассона

I div grad ф = уФ = ~ р/г Eq,

где ф - потенциал; р - свободный объемный заряд в рассматриваемой точке.

Если в рассматриваемой точке плотность свободных объемных зарядов равна нулю, то

vV = o

- уравнение Лапласа.

На границе раздела двух диэлектриков и и 2)

Est = Ец или ф2 = Ф1; Din = Dm; Ргп - Pin~ сЕяз >

где принято, что нормаль п направлена из первой среды во вторую.

На границе раздела проводника (/) и диэлектрика (2) в электростатическом поле (поля в проводнике нет)

Еы - Ец ~ О или фа = ф1; Dn = о;

Ein = 0; Рт = - Освяз; Рщ = 0.

На границе раздела проводника (/) и Диэлектрика (2) в поле постоянного тока

Ezt = Ец = Jit/у или ф2 = ф1;

2< = 0; /2 = /]; = 0; D2 = a;

Ein = 0; Рп =-- РсЕяз; Рщ == 0.

На границе раздела двух проводников (1 я 2) в поле постоянного тока

Ец = Ец или Фа = ф; Jn = Jm-

Здесь Dn, En, Рп, Jn - нормальные составляющие висторов; Et, Jt - тангенциальные составляющие векторов; а и Освяз - поверхностные плотности свободного и связанного зарядов. Нормаль к границе раздела направлена из среды 1 в среду 2.

Распределение потенциала в системе проводящих заряженных тел

Потенциал любого из п тел фк линейно зависит от зарядов Qi каждого из тел:

Ф1 = 11 Qi + 12 Н-----1- 1л On;

Ч>П = Л1 Q] + /122-1-----h ПП Qn,

где ам - потенциальные коэффициенты; ahi=a4h при кФ1.

Рис. 4-47.

Система уравнений может быть решена относительно зарядов:

Qi = Pii ф1 + Pi2 ф2 -1-----h Pirj фп;

Qn = Pni ф1 + Рп2 ф2 Ч-----h Р/иг ф/j.

где Рл - емкостные коэффициенты; -Ргл= = Pfti при 1фк.

Пример (рис. 4-47). Трехпроводная линия над землей. Влияние земли заменяется зеркальным отображением:

2Я6с/

In 11. ;

2яе /

In

где / - длина линии; ft££-высота подвеса i-ro провода; г - радиус провода; D - расстояние между центром ft-ro провода и центром зеркального отображения i-ro провода; dji - расстояние между центрами ft-ro и i-ro проводов; при вычислении а предполагается r<.d и г< ft;

- 23

K2sa - д., Кзз. А