Эвуковое поле, создаваемое плоской гармоййческой волной, кроме параметров р, р, о, можно характеризовать также колебательным смещением из положения равновесия . Если считать, что v=v ?,\r\ (<at-kx), то

1 od = - o co-icos (со - Ах) = Ooco~i sin (со/ - kx-п]2), (1.10)

откуда следует, что отстает по фазе от v на я/2. Для ускорения имеем

dvldt = СОО = сооо cos (со/-kx) соОд sin (со/ - Ах + я/2), (1.11)

т. е. ускорение опережает v по фазе на я/2.

Для энергетической характеристики звукового поля плоской волны вводят понятие интенсивности звука I (средняя плотность потока звуковой энергии), которая дается формулой

/ = р;/2роС-ср о§/2, (1.12)

или, используя эффективные значения рэфф = ур, Уэфф = / у% имеем

1 = рэфф/РоС = Фоэфф, (1.13)

где чертой сверху обозначено среднее значение за период Т.

Приведем для справок одномерное волновое уравнение в лагранжевых координатах (см. § 1 гл. 1). Для баротропного движения р=р{р) и, учитывая, что др/да=с% др!да, получим

Та--Poli+Ta

Из (1.9) следует

l-fl+i) S = 0. (1.14)

дЧ [рсудЧ г. ,

Это уравнение отличается от волнового уравнения в эйлеровых координатах тем, что вместо с здесь присутствуют локальная скорость звука Сд и сжатие р/рд. В случае, если среда подчиняется уравнению Пуассона, формула (1.14) преобразуется к виду

§ 2. Скорость звука и поглощение в газах и жидкостях

Остановимся сначала на определении скорости звука в газах. Формула для адиабатической скорости звука (лапласова скорость) с = \ур/р*), хорошо оправдывающаяся на опыте, получена в

*) Индексы О , обозначающие, что для величин р и р берутся их равновесные значения, для простоты будем опускать в тех случаях, когда смысл р н р очевиден.

Предположении адиабатичности процесса распространения. При этом считается, что между участками сжатия и разрежения в волне температура не успевает выравниваться.

В первом приближении значение с не зависит ни от частоты звука, ни от его амплитуды, хотя при определенных условиях такие зависимости имеются; об этом подробно будет идти речь в §§ 3 и 4 этой главы и в гл. 3. Зависимость скорости от температуры для идеальных газов можно найти, используя соотношение р/р = /?Гр, откуда с - YyRTj, с -~ YT, где Т - абсолютная температура, R - газовая постоянная, а j.i - молекулярная масса. Для воздуха с возрастает примерно на 0,6 м/с при увеличении Т на 1°С; значение с при нормальном атмосферном давлении и температуре 0°С составляет с=3,33-10-м/с. В рамках принятых предположений скорость звука не зависит от давления, поскольку в формулу для с давление и плотность входят в виде отношения pip. Приведенная выше формула для <? получена феноменологически, на основе термодинамического уравнения состояния газа и уравнений гидродинамики; еще раз подчеркнем, что она выведена при условии идеальности среды и при числе Маха Mjl. Отметим, что из кинетической теории газов следует, что v~/o, т. е. что кинематическая вязкость имеет порядок произведения длины волны свободного пробега молекул / на среднюю скорость их теплового движения v. Поскольку скорость звука имеет величину порядка средней скорости движения молекул газа c~v, то v=/t;~/c. Это соотношение представляет собой акустическую интерпретацию длины свободного пробега. Естественно, что говорить о распространении звука имеет смысл только при 1<.] при гидродинамические уравнения не допускают осциллирующего решения и необходимо микроскопическое, а не феноменологическое рассмотрение.

Вычисление с на микроскопическом уровне на основе кинетической теории проводилось многими авторами, с чем подробно можно ознакомиться в [1, 2J. В случае одноатомного идеального газа (когда взаимодействием молекул можно пренебречь) еще Лоренц [1] на основе кинетического уравнения Больцмана нашел уравнение для скорости распространения малого возмущения функции распределения в первом приближении, ограничиваясь членами первого порядка по На (/ - длина свободного пробега молекул газа и а - засстояние, на котором плотность изменяется заметным образом). 1ри этом для скорости распространения этого возмущения им была получена формула c=/RT/n, что совпадает с выводами макроскопического рассмотрения.

Даже для одноатомного газа теоретическое нахождение с представляет собой сложную задачу, которая решается лишь приближенно. При нахождении с для двухатомного газа на основе газокинетического рассмотрения следует пользоваться модельным представлением. При решении задач по теоретическому вычислению с нужно, кроме учета теплового движения, сделать определенные предположения о характере столкновений молекул, учесть распределение

скоростей в тепловом движении, нецентральные удары, вращение молекул при соударениях и т. д. Такого рода задачи относятся к молекулярной и статистической физике; по этим вопросам имеется обширная литература [1, 2].

Жидкости занимают промежуточное положение между твердыми телами и газами, обладая, в отличие от твердых тел, лишь ближним порядком. Теория жидкого состояния не разработана в такой степени, как для газов и твердых тел (кристаллов). По этой причине теоретические расчеты скорости звука в жидкостях, основанные на молекулярных представлениях, оказываются в еще меньшей степени обоснованными, чем для реальных газов. Имеются только эмпирические и полуэмпирические выражения для с в жидкостях, дающие связь между с и такими макроскопическими параметрами, как р, Т.

Представляет интерес нахождение с для смесей жидкостей и определение с для растворов. Все эти вопросы достаточно подробно изложены в монографиях по молекулярной акустике [1-3].

Поскольку скорость звука с определяется структурой среды и взаимодействием между молекулами, измерение с дает существенные сведения о равновесной структуре газов или жидкостей. Измерения с представляют собой важный метод определения термодинамических величин - адиабатической ф,=(др/др)р=1/рс) и изотермической (Риз=тРад) сжимаемостей (в последнем случае при дополнительном измерении! еплоемкости при постоянном объеме Су).

Отметим также, что по данным измерений с оказывается возможным судить о составе газовых смесей (ультразвуковые газоанализаторы) и смесей жидкостей, в том числе растворов. При наличии потоков смесей точность измерения с понижается благодаря турбулентному характеру движения. Однако определение флуктуации скорости звука можно использовать для изучения турбулентного движения, о чем будет, в частности, идти речь в гл. 7.

По мере распространения звуковой волны амплитуда ее уменьшается. Это связано с рядом причин: с убылью плотности энергии волны вследствие увеличения поверхности, занимаемой фронтом волны (сферические, цилиндрические и вообще расходящиеся волны), поглощением энергии волны вследствие диссипативных процессов, вызываемых вязкостью и теплопроводностью среды, рассеянием на неоднородностях. Для плоской бегущей волны убыль ее амплитуды из-за процессов диссипации характеризуется коэффициентом поглощения а, который показывает, на каком расстоянии амплитуда волны (например, звуковое давление р) убывает вераз, т. е.

р==Роехр{-ах). (2.1)

Относительная убыль амплитуды на единицу расстояния будет

a = -p~dp/dx (2.2)

(амплитудный пространственный коэффициент поглощения). Величина а может быть определена также как убыль энергии волны,