распространяющейся со скоростью с за единицу времени:

а = £-(2с£)-1 = -(2/)-1, (2.3)

где Ё - плотность энергии волны, поглощаемой за единицу времени, E-[ivll2 - полная энергия звуковой волны, усредненная за период времени Т; двойка в знаменателе (2.3) появляется из-за квадратичной зависимости энергии от амплитуды.

Для того чтобы определить, от каких параметров среды и волны зависит коэффициент поглощения а, следует учесть все диссипатив-ные процессы, происходящие при распространении звука в среде [4, 5]. При учете вязкости и теплопроводности в волновое уравнение (1.3) должен быть добавлен диссипативный член. Для его нахождения мы должны использовать уравнения гидродинамики вязкой теплопроводящей жидкости. Выпишем эти уравнения для случая распространения звука, когда скорость v есть акустическая скорость и когда квадратичными членами р, р, можно пренебречь, т. е. будем рассматривать линейный случай.

Эти уравнения, согласно (1.2.1), (1.2.8) и уравнению состояния р=р(р, S), будут

dt ~ Ро Ро Ро V 3

+ p d\vvO, pJ,==kAT, (2.4)

/др\ .

Два последних уравнения можно свести к одному уравнению для р, в которое, кроме члена ср, войдет также член, определяемый теплопроводностью х. Воспользуемся тем, что Т = {дТ1др)р, где Т=Тд+Т, и, принимая во внимание уравнение (1.2) и то, что V=y(f, получим, согласно третьему уравнению системы (2.4), для изменения (приращения) энтропии s соотношение

При подстановке s в четвертое уравнение системы (2.4) появится необходимость вычислить коэффициент T~{dp/ds)p{dT/dp)s. Для его вычисления воспользуемся некоторыми термодинамическими соотношениями, справедливыми для идеального газа. Так, используя уравнение состояния для идеального газа pV=RTm/[i, можно вычислить {dp/ds)p=n~pR(dT/ds)p=pRT/Cy[i (здесь использовано равенство {ds/dT)p=CyT~). С другой стороны, как известно из термодинамики, (dT/dp)s=T(dV/dTyCp и так как (dV/dT)p=Rm/p[i, то {dT/dp)s=TRm/Cpp[i. Используя эти соотношения, получаем для р (четвертое уравнение системы (2.4) с учетом равенства Rm/[i=Cp-Су) выражение

рсу-yi(l/Cv-llCp) div V. (2.6)

Заметим, что имеется некоторая непоследовательность в наших рассуждениях - занимаясь изучением влияния вязкости и теплопроводности на поглощение звука, мы, тем не менее, пользуемся соотношениями, которые справедливы для идеальной среды. Использование этих соотношений возможно лишь при малом влиянии вязкости и теплопроводности на распространение звука, т. е. когда поглощение звука на расстоянии, равном длине волны X, мало и а>1<1. В большом числе акустических задач это условие выполняется.

Пользуясь полученным выражением (2.6) и считая по-прежнему, что rott>=0, можно показать, что уравнение Навье - Стокса примет вид

р аг /а/ = -cvp-f Ьуг , (2.7)

Ь = */з11 + 11 + (1/Су-1/ф. (2.8)

Из уравнений (2.4), (2.7) получим уравнение, которое для потенциала скорости можно записать в виде

5-Vф-~vф-0. (2.9)

Это волновое уравнение описывает распространение волн бесконечно малой амплитуды в среде с диссипацией, но без учета дисперсии; диссипативный коэффициент b считается здесь не зависящим от частоты.

Будем рассматривать случай плоской гармонической волны и искать решение этого уравнения в виде ф=фоехр[/(со-kx)]. Подставляя это значение в (2.9), получим для волнового числа k следующее выражение:

Полагая k=ki-jAj и принимая во внимание, что

ехр [г (со/ - kx)] = ехр (Ш) ехр (-гАх), ехр (-/Ах) = ехр (-ikix) ехр (-А,х),

приходим к выводу, что величина А , или мнимая часть волнового числа А, представляет собой коэффициент поглощения волны. Таким образом, получаем для волны, бегущей в положительном направлении X (принимая во внимание (1.7)),

р = р ехр [ - -2xj ехр [г (со/ -Ах)], (2.11)

т. е. амплитуда звукового давления р для плоской волны убывает с расстоянием х в соответствии с коэффициентом поглощения

6(0 2 (0

а = -

2рос2 2роС= 49

Подчеркнем, что коэффициент поглощения пропорционален квадрату частоты звука и диссипативным коэффициентам т], г\ и к. Впервые эта формула была получена Стоксом без учета теплопроводности X, влияние которой затем учел Кирхгоф. Хотя Стоке и понимал роль и значение объемной вязкости т), тем не менее включение ее в (2.8) впервые было сделано, по-видимому, только Рэ-леем [51. Поэтому обычно формулой Стокса - Кирхгофа называют формулу для а без учета ц:

4 , f I i

(2.13)

Выражение для а получено нами на основе волнового уравнения (2.9). Это же выражение для а можно получить другим путем, используя уравнение (1.2.12). Для этого следует воспользоваться известными термодинамическими соотношениями - для приращения температуры Т в звуковой волне, распространяющейся в жидкости со скоростью с и имеющей колебательную скорость v: T=cvT/Cp (здесь = {dV/dT)p/V - коэффициент теплового расширения), и выражением для разности теплоемкостей Ср-Су= = ТсСу/Ср. В случае плоской гармонической волньг (и= = v s,in {(i>t-kx)) £=-rs легко находится, и поскольку £=ри§/2, то с помощью третьего уравнения (2.4), используя определение коэффициента поглощения (2.3), получаем формулу (2.12) [6].

При взгляде на формулу (2.12) или (2.13) возникает вопрос: как получается, что при распространении плоской звуковой волны, когда, казалось бы, сдвиговые напряжения отсутствуют, проявляется сдвиговая вязкость? Дело здесь заключается в том, что в плоской акустической волне нет чистой деформации всестороннего сжатия. Сжатие происходит только по одной координате, вследствие чего отдельные элементы среды, кроме сжатия, испытывают еще и сдвиги. В результате и получается, что в компоненту тензора вязких напряжений ох, которая определяет а в случае плоской продольной волны, в соответствии с формулой (1.2.4) входит сдвиговая вязкость охх={ЧзЦ+г\)ди/дх.

§ 3. Дисперсия и поглощение звука. Экспериментальные исследования

Уже первая попытка провести экспериментальную проверку формулы Стокса - Кирхгофа для коэффициента поглощения, сделанная по предложению П. Н. Лебедева его учеником Н. П. Не-клепаевым в 1911 г. [7], показала, что для воздуха в диапазоне частот 120-4000 кГц поглощение звука в два с лищним раза больше, чем это следует из формулы (2.13). В 1925 г. Пирс [8] в США, используя разработанный им точный метод измерения скорости и поглощения ультразвука в газах (известный ультразвуковой интерферометр Пирса), обнаружил в углекислом газе заметную диспер-