из этих выражений, г >с , и, следовательно, имеется изменение скорости звука с частотой, т. е. дисперсия.

Можно также качественно показать, что процессы обмена энергией между поступательными (внешними) и колебательными и вращательными (внутренними) движениями молекул, приводят не только к дисперсии, но также и к потере энергии звуковой волны, т. е. вызывают дополнительное так называемое молекулярное поглощение звука.

Отмеченные здесь релаксационные процессы - это процессы колебательной и вращательной релаксации; их часто называют кнезеровскими процессами или термической релаксацией возбуждения внутримолекулярных колебаний. В газах возможен также ряд других процессов. Это так называемая трансляционная релаксация установления максвелловского распределения скоростей молекул газа (как это следует из кинетической теории газов, она происходит всего за несколько столкновений частиц). Это также химические релаксационные процессы диссоциации и ассоциации в газах под действием звука, когда число частиц непостоянно. Возможен и ряд других релаксационных процессов.

Здесь мы не будем рассматривать различные виды релаксаций в газах на микроскопическом уровне, поскольку эти вопросы скорее относятся к молекулярной физике н кинетической теории, чем к физической акустике, а сконцентрируем свое внимание на макроскопическом (феноменологическом) подходе. Такой подход возможен не только для газов (где можно, используя более или менее простые модели, рассматривать вопрос об акустической релаксации и микроскопически), но и для жидкостей, для которых микроскопическое рассмотрение (из-за сложного строения жидкости и отсутствия разработанной теории жидкого состояния) чрезвычайно затруднено и может осуществляться только на основе сложных модельных представлений.

Укажем здесь только, что в жидкостях могут происходить разнообразные и весьма сложные релаксационные процессы: термическая релаксация (кнезеровские эффекты, возбуждения колебательных и вращательных степеней свободы молекул), поворотно-изомерная релаксация, химическая релаксация. В акустической волне может возникать под действием деформаций сжатия и сдвига так называемая структурная релаксация. Под этим понимают изменение ближнего порядка в расположении молекул, что приводит к некоторой перестройке структуры жидкости. Все эти типы релаксаций связаны в основном с объемной вязкостью, хотя структурная релаксация может происходить и под действием сдвиговой волны в маловязких жидкостях - на очень высоких частотах. В жидкости могут наблюдаться сразу несколько различных релаксационных процессов.

Обсудим основные положения феноменологической релаксационной теории объемной вязкости, не обращаясь к каким-либо модельным представлениям, а основываясь лишь на законах гидродинамики и законах неравновесной тер.модинамики; такая теория была

Построена йпервые Л. И. Мандельштамом и М. А. ЛеонтовиЧем [23, 24].

Положим, что в релаксирующей среде возникла объемная деформация. Эта деформация нарушает термодинамическое равновесие жидкости (или газа). При этом модуль объемной упругости /С=КА/7/АК, или модуль всестороннего сжатия (величина, обратная сжимаемости), изменяется, поскольку К (имея в виду возможные релаксационные процессы в системе) зависит от скорости деформации. Подчеркнем, что здесь мы рассматриваем процессы релаксации, вызванные только объемной деформацией, а не деформацией сдвига. Изменение К происходит от максимального динамического значения (быстрые деформации) когда установление равнове-

сия не успевает следовать за изменением объема, до минимального (статического) значения модуля объемной упругости /Со (медленные деформации), когда установление равновесия полностью следует за изменением объема. Согласно принципу Ле-Шателье, если система внешним воздействием выведена из состояния равновесия, так что объем ее уменьшается (сжатие), то в ней начинаются процессы восстановления равновесия, которые приводят к уменьшению давления, т. е. давление р будет противодействовать деформации и dpidp будет уменьшаться. В равновесном состоянии {др/др)=с1 будет меньше, чем в неравновесном состоянии; при быстрых деформациях (высокие частоты) {dp/dp)=ci>ct С этим результатом мы уже познакомились выше при обсуждении формул (4.1) и (4.2). Мы можем записать для изменения давления р, противодействующего объемной деформации в случае быстрых деформаций, формулу

где e=AWV - объемная деформация. Во втором случае для медленных деформаций р=р=Кг. Теперь рассмотрим сам процесс восстановления равновесия; он приводит к уменьшению давления, противодействующего деформации. В состояниях, близких к равновесию, скорость уменьшения давления можно считать пропорциональной разности р-где р - равновесное приращение давления при данной деформации. Тогда

др р~р1 р~Кое /44ч

dt т ~ т

где т - время релаксации. Это уравнение часто называют уравнением реакции (уравнением релаксации).

Теперь объединим (4.3) и (4.4), считая, что имеет место (вследствие малости отклонения системы от равновесного состояния) аддитивность изменения давления в среде для быстрых и медленных изменений. Тогда можно записать:

dp/dt = K de/dt-(p~KoB)/x. (4.5)

Мы получили так называемое уравнение Кельвина - Фойгта для вязкоупругой среды.

Это уравнение можно тйкже записать в другом виде, если ввести обозначение т= (cl,-с)/со, где ci=KJp и с1=Кор-

уравнение (4.6) - линеаризованное уравнение состояния, дающее связь между приращением давления и приращением плотности.

Более строгий вывод этого уравнения состоит в следующем [6]. В релаксирующей среде уравнение состояния можно записать в виде

РР(р, S, I),

где Н - некоторая внутренняя координата; это может быть степень возбуждения молекул, концентрация компонент в химической реакции и т. д.

Считая отклонение от положения равновесия малым, изменение со временем можно представить в виде разложения в ряд по этому малому отклонению

I - - а-У/т + S а-1У/х +... (4.7)

Это уравнение, так же как и (4.4), называют уравнением реакции. Поскольку 1=0 при =0. то нулевого члена в разложении (4.7) не будет; считая, далее, процесс линейным, второй член разложения в (4.7) отбрасываем. Представляем далее р=р{р, s, ) в виде разложения

Мы пренебрегли в этом разложении малыми членами порядка fi и выше, где fi~o/c, р7р, (-?о)/о- В (4.8), кроме того, опущен член с изменением энтропии s, поскольку это изменение представляет собой величину третьего порядка малости по сравнению с изменением давления (см. 1.1.19) *). Следует обратить внимание далее на то, что соответствует текущему значению плотности, т. е. что равновесное состояние 0 само есть функция плотности: (=2 (р). Отсюда, если обозначить через loo значение в отсутствие возмущения (предельно быстрые возмущения, когда отклонение от равновесного состояния не успевает происходить), то

- (4-9)

dp До V Ф /и V 91 Ур Ф Из (4.8), имея в виду очевидное соотношение Со= {др/др), полу-

dp .dp , I dp\ dl

Заменяя в (4.8) (-! ) на-xddt, используя уравнение реакции,

*) В [26] учтены члены порядка ц.