Поскольку пространственная пелокальность обычно проявляется лишь на очень высоких частотах, мы ие будем здесь на ией останавливаться и перепишем (4.22) в виде

(4.23)

Здесь учтено, что для стационарных средх(/, -I). Для среды, описывае-

мой уравнением реакции (4.7), из (4.21) и (4.23) следует, что

yiit-t) = cl8(l~n~

ехр

(4.24)

Важные заключения о процессах, происходящих в среде, можно получить и непосредственно из (4.23), не обращаясь к конкретному виду %{t-t). В частности, можно показать, что распространение звуковых волн в любой неограниченной среде, описываемой уравнением вида (4.23), всегда сопровождается и поглощением, и дисперсией. Более того, последние оказываются связанными весьма общими интегральными соотношения.ми, которые принято называть дисперсионными соотношениями типа Крамерса - Кронига.

Действительно, вводя обозначение Р=<-f и переходя к фурье-образам в (4.23), получим

р((й)=и((й)р(ю). (4-25)

X (05) = X ф) ехр ((Юр) dP

(4.26)

(используется временная зависимость ехр (-(top)). Функция x((fl), представляющая собой характеристику среды, имеет смысл величины, обратной комплексной

сжимаемости, умноженной на плотность. Нетрудно убедиться, что x{ci)) аналитична в верхней полуплоскости комплексного переменного ш. В самом деле, подстановка co=Re со + + г Im со в (4.26) показывает, что мнимая добавка к м только улучшает сходимость интеграла в этом выражении. Воспользуемся теперь теоремой Коши для аналитической функции /(co)=x((fl)-х(оо). Согласно этой теореме интеграл

Рис. 2.4. Контур интегрирования при вычислении интеграла (4.27).

равен нулю, если интегрирование производится по замкнутому контуру С, изображенному иа рис. 2.4. Устремляя радиус дуги контура в интеграле (4.27) к бесконечности и учитывая, что при этом функция /((й)=[х(со)-х(оо)]-.-0, получим

\ -i --/(co)=0.

(4.28)

Взятие действительной и мнимой частей от (4.28) дает следующие дисперсионные соотношения, связывающие Ref(co) и Imf(co):

Re/(co) = l \ iHLdco. 1шЯ(со) = -1 I -iiidco, (4.29) я О со-со я со-со

где интегралы Понимаются в смысле главного значения. Поскольку комплексная фазовая скорость плоской волны, распространяющейся в рассматриваемой среде с памятью, связана с х((й) простым дисперсионным уравнением

с И = >х(57, (4.30)

то дисперсионные соотношения Крамерса - Кронига (4.29) и (4.30) остаются справедливыми и для величин с (со)-соо и 1/с(со)-1/соо. С учетом симметрии функции 1/с(со), а именно 1/с(-a))=[l/c((fl)] * (звездочкой обозначено комплек-ное сопряжение), вытекающей непосредственно из условия вещественности х(р), интересующие нас дисперсионные соотношения для функции ф(со)=1/с(со)- - 1/с(оо) можно переписать с помощью интегралов по физической области частот (О, 00) 128}

2 I ю 1т[1/с(ш)]

Re [I /г (to)- 1/f ()] =4 J ;/Г

(4.31)

Im[l/c(co)] = --l.

Re[l/c(co)-l/C()],

Соотношения (4.31) показывают, что в неограниченной среде, описываемой уравнением состояния (4.23), распространение звуковой волны всегда сопровождается поглощением (мнимая часть 1/с(со)) и дисперсией (действительная часть l/c((fl)), которые связаны между собой. Подчеркнем тот факт, что приведенный вывод дисперсионных соотношений (4.29) опирается только на аналитичность и ограниченность функции х(со) в верхней полуплоскости со, которые обусловлены условием причинности и стремлением среды к состоянию термодинамического равновесия. Справедливость соотношений (4.31) для функции ф(со)= 1/с(со)-1/соо, характеризующей волновой процесс в среде, кроме того, обусловлена наличием достаточно простой связи (4,30) между с(со)и >с(со), не приводящей к нарушениям аналитичности с (со) или 1/с(со). В более сложных случаях, например для электромагнитных волн в анизотропной плазме [29] или для нормальных звуковых и электромагнитных волн в слоистых средах [30], связь между параметрами среды и волновыми параметрами приводит к нарушению аналитичности последних, и дисперсионные соотношения в общем случае не имеют места.

§ 5. Релаксация сдвиговой вязкости в жидкостях

При сдвиговых деформациях вязкой жидкости в ней возникают вязкие напряжения а, подчиняющиеся закону Ньютона (ньютонова жидкость):

ди д fdl\ д /д1\ дг ,г ,s

Здесь ъдУду - изменение угла, т. е. деформация сдвига, - перемещение точки с вертикальной координатой у по направлению оси X, а dvldy - изменение скорости v с координатой у. Вспомним, что по закону Гука 0=[Г8, где [г - модуль сдвига. Таким образом, для ньютоновой жидкости напряжения пропорциональны не самой деформации, как это имеет место для твердых тел, а скорости изменения деформации, и, следовательно, сколь угодно малые силы могут вызвать сколь угодно большие деформации, если продолжительность действия силы достаточно велика.

В § 3 гл. 1 рассматривалась задача о гармонических колебаниях погруженной в жидкость плоской стенки (с частотой со=2я/ в своей

fiJiockocTii). Выло покйзаИо, что внутрь }кИДкости распрострйНяШТСй вязкие, или сдвиговые, волны, скорость которых Сд = \2ц(й1р, поглощение ав=2л/Яв и для которых a=fcoTie (при гармонических колебаниях стенки).

Комплексный вязкий или сдвиговый импеданс Zb такой ньютоновой жидкости определяется выражением

4=рСв = Р /Ав, (5.2)

где Ав-Ав]-/Ав2=Ав1-/ в - волновое число для вязких, или сдвиговых, волн, а по (1.3.7) k - V-шр1у\. Подставляя значение кв в (5.2), получаем

гв = {1+1)фц = Яв + 1.- (5.3)

Таким образом, для чисто ньютоновой жидкости действительная и мнимая части импеданса Zb совпадают.

Реальные жидкости, однако, далеко не в полной мере являются ньютоновыми жидкостями, т. е. не полностью текучи. Даже такая относительно мало вязкая жидкость, как вода, при приложении к ней резких напряжений (удар быстро двигающимся стержнем по струе воды [31] или попадание в струю пули) становится хрупкой и раскалывается , т. е. имеет большую упругость формы. С другой стороны, стальной шарик, падающий на кусок вара, упруго отскакивает от него, а если его положить на тот же кусок вара, он медленно в него погружается. Эти простые факты наглядно показывают наличие сдвиговых напряжений даже в маловязких жидкостях и их зависимость от скорости, с какой происходят деформации; с другой стороны, длительные деформации, приложенные к некоторым телам, кажущимся твердыми, приводят к образованию медленного течения.

Измерения на ультразвуковых частотах сдвигового импеданса в ряде вязких жидкостей, растворах полимеров, жидких кристаллах и т. д и его зависимости от частоты также не дают согласия с представлением об этих жидкостях как о ньютоновых жидкостях, для которых Rb=Xb. Из экспериментов следует, что при повышении частоты мнимая часть импеданса Хв становится меньше, чем Rb, и, имея на некоторой частоте максимум, Хв при дальнейшем росте со обращается в нуль, т. е. в пределе на высоких частотах импеданс становится действительным, как и в упругой среде.

Впервые Максвелл, занимаясь вязкоупругими свойствами газа, предсказал релаксационный характер сдвигового поведения жидкости. Он предположил, что на низких частотах сдвиговая упругость на фоне текучести почти не играет роли, т. е. что жидкость практически не имеет упругости формы. На высоких частотах, по теории Максвелла, основную роль играет упругость формы, а текучесть имеет меньшее значение. Сейчас можно считать установленным, что скорость, с которой рассасываются (релаксируют) сдвиговые напряжения, возникающие в жидкости под действием внешних сил, на низких частотах пропорциональна величине этих