и в так:

п=1 + В/Л. (1.14)

Наряду с п часто используют параметр 8=( +1)/2.

В отличие от газов, теория жидкостей еще недостаточно разработана, и мы не имеем уравнения состояния, которое следовало бы из теории. Поэтому для жидкости приходится пользоваться эмпирическим уравнением состояния, так называемым уравнением Тэта:

р-рЛ(р/РоГ-1 (1-15)

где Р: - так называемое внутреннее давление, Г - нелинейный параметр, который характеризует отклонение адиабатической сжимаемости жидкости от линейного уравнения состояния. Если р+ -\-р- полное давление, то тогда (1.15) формально не отличается от (1.10). Обе величины Р: я Т - эмпирические постоянные. Из экспериментальных данных следует, что р имеет порядок 10 Па, а Г для различных жидкостей меняется в пределах от 4 (жидкий азот) до 12 (ртуть); для воды Т7. Адиабатический модуль сжимаемости жидкости

ад = Ро(Ф/Фк Р = р = Г/7* (1.16)

определяет внутреннее давление P:f:, которое возникает из-за взаимодействия молекул. Подчеркнем еще раз, что для жидкостей имеется большое отличие Г от единицы (нелинейность уравнения состояния жидкости значительна). Это обстоятельство, как мы увидим дальше, имеет большое значение в нелинейной акустике жидкостей.

Проведенные рассуждения относятся к случаю, когда изменения давления и плотности малы. Если приращения Ар и Ар испытывают конечный скачок по нормали к некоторой поверхности раздела (прямой скачок уплотнения или ударная волна), уравнение состояния Пуассона заменяется так называемой ударной адиабатой или адиабатой Рэнкина-Гюгонио. Уравнение ударной адиабаты не может быть получено из системы уравнений гидродинамики, которые здесь неприменимы из-за разрывности движения. Оно получается из законов сохранения массы, энергии, импульса и имеет вид

Л/Л = [(7 + 1) Р. - (7 - 1) Pi]/[(7 + 1) Pi - (7 -1) Р Л (1-17)

Здесь индексы 1 и 2 относятся к значениям по обе стороны поверхности ударного фронта. Отметим, что при pipi (сильный разрыв) плотность идеального газа стремится к предельному значению

P2 = Pi(7+l)/(7-l). (1.18)

Так, для двухатомного газа, которым можно приближенно считать воздух, 7=1,40 и предельное значение ра/рлб. При малых значениях pi/pi ударная адиабата переходит в адиабату Пуассона (рис. 1.1). Заметим, что благодаря медленному росту плотности при pPi медленно уменьшается объем газа и произведение pV=RT, где

R - газовая постоянная, растет быстро. По этой причине быстро и до больших значений возрастает температура Т. Этим объясняется, почему на фронте ударной волны возникают высокие температуры. Можно показать, что для слабых ударных волн, с которыми приходится встречаться, например, в нелинейной акустике, когда (/?2-/?i) ?o=f<b (Р2-pi)/Po=f<l. где /7о и ро - давление и плотность в среде в отсутствие волны, также возникают скачки гидродинамических и термодинамических величин, в том числе возникает скачок энтропии (s - Sj). Этот скачок представляет собой величину третьего порядка малости по сравнению со скачком давления:

(8,~-,){АрГ. (1.19)

Замети.м, что при выводе ударной адиабаты Рэнкнна - Гюгонио на основе законов сохранения массы, импульса и энергии ширина разрыва ударной волны б считается равной нулю. В действительности в сильных ударных волнах, когда скачок скорости движения газа по обе стороны фронта -Ау становится сравнимым со скоростью звука с, величина б имеет порядок длины свободного пробега молекул газа, и для рассмотрения вопроса о величине б необходимо привлечение методов кинетической теории газов. Для слабых ударных волн (например, периодических ударных волн, с которыми приходится встречаться в нелинейной акустике) при рассмотрении вопроса о ширине фронта следует учесть в законах сохранения импульса и энергии процессы диссипации за счет вязкости и теплопроводности.

Далее мы будем пользоваться уравнениями как в векторных, так и в тензорных обозначениях. Уравнени.ч (1.1) и (1.2) в компонентах записываются следующим образом:

dv[ . dvi \ dp Со i3p

Рис. I.I Ударная адиабата Рэнкнна - Гюгонио (кривая 1) и адиабата Пуассона (кривая 2).

р dxi

р dxi

ар dt

(1.20)

где с1={др1др)р - скорость звука. Как обычно, в тензорной записи мы условливаемся в том, что по индексам, повторяющимся дважды, производится суммирование. Умножив первое уравнение (1.20) на р, второе - на Vj и сложив их, получим закон сохранения импульса единицы объема идеальной жидкости в дифференциальной форме:

+ щ{рщу,+рЬ )0, (1.21)

где bij - символ Кронекера, бг;=0 при и 6,7=1 при i=j. Это

уравнение запишем такле в виде

= Т./Аб + р.,.,. (1.22)

где Tij есть тензор плотности потока импульса. Интегрируя (1.22) по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью S, имеем закон сохранения импульса в интегральной форме:

J pt;,dV+§ Т.п, dS=l p.,dV-F, = 0. (1.23)

v s v

Здесь n - единичный вектор внешней нормали к поверхности S, а сила, действующая на поверхность S объема F,

Fi = -§T.jnjdS. (1.24)

Закон сохранения энергии идеальной жидкости формулируется следующим образом. Полная энергия единицы объема жидкости (плотность энергии) определяется выражением

£ = ру2/2 + р , (1.25)

где pv-12 - кинетическая энергия и ри - внутренняя энергия, которая для идеальной жидкости совпадает с потенциальной энергией. Из уравнений непрерывности и движения нетрудно получить для изменения плотности энергии

(1.26)

pv (4-+

где W - энтальпия единицы массы жидкости или тепловая функция; для адиабатического процесса \w=dplp. Взяв интеграл по объему от (1.26), имеем

-[EdV=-£pv (~ + w)ndS. (1.27)

Вектоо

/=pv{v/2 + w) (1.28)

называют вектором плотности потока энергии или вектором Умо-ва - Пойнтинга.

§ 2. Вязкая и теплопроводящая жидкость

Переходя к формулировке уравнений гидродинамики вязкой теп-лопроводящей жидкости в координатах Эйлера, отметим, что уравнение непрерывности для этого случая не изменяется. Уравнение Эйлера переходит в так называемое уравнение Навье - Стокса, в котором учитываются силы вязкости. Это уравнение в векторной форме имеет вид

!L + ()= ly;, + 3 v. + l(yii + v)vVt +/. (2.1)