многие другие понятия теории нелинейных волн, обладает свойствами универсальности (как это имеет место и в теории нелинейных колебаний для сосредоточенных систем различной природы).

На основании проведенного расчета можно, зная форму волны в момент времени /, построить форму волны для времени t-M. Такой процесс можно проводить только додмомента образования ударного фронта. Удобно характеризовать остановленную волну углом 0 между осью абсцисс и нашей кривой v, или коэффициентом m=tge. Будем рассматривать синусоидальную волну u=u sin((u-kx) и проводить операции с одним полуперио- х-Щ

дом синусоиды, расположенным над Рис. 3.2. Точка а на профиле осью абсцисс. Тогда начальный наклон скорости остановленной конвой волны, двигаясь со скоростью

ev, совпадает с точкой b че-

/ 0 = ди/дх = (2л/Х) рез время (время образо-

вания разрыва).

Через время волна с начальным наклоном /По приобретает вертикальный передний фронт (рис. 3.2). Отсюда

m,==tgQ, = bO/ab = v/evt, tp==l/em,. (1.17)

Следовательно, примененное построение формы волны можно проводить только для времени tt.

Выразим время образования пилообразной волны через амплитуду давления р. Из (1.16) и (1.17), учитывая, что для плоской волны Vg=pJpaCg, получим

t = kpfj2znp,. (1.18)

Расстояние, на котором образуется разрыв,

Здесь Л/= (2jxeMaJ~ - число длин волн, на протяжении которых образуется разрывный передний фронт; очевидно, N зависит от параметров среды и от величины начального возмущения, Ма= =и /с - акустическое число Маха *).

Теперь можно записать крутизну переднего фронта в зависимости от пройденного волной расстояния;

m = mj{\ - xlx). (1.20)

Отсюда видно, что если расстояние измеряется в единицах X, то искажение будет одинаковым и не будет зависеть от амплитуды давления, частоты и природы газа или жидкости.

*) Поскольку в этой главе и в дальнейшем мы в основном будем иметь дело с акустическими, или колебательными, скоростями v, везде, где это не вызывает недоразумения, мы будем опускать индекс ак у акустических чисел Маха и Рейнольдса.

Запишем уравнение римановской простой волны (I.I4) в сопровождающей системе координат. Для этого следует перейти от л; и / к новым переменным.

х = х, x=t - xlc,. (1.21)

В этих переменных

dv dv dx ,dv dx dv

dt dx dt dx dt ~~ dx

du di dx .dudx du 1 du

dx dx dx dxdx~ dx Cq dx

(1.22)

(аналогичные соотноеюния имеют место для величин р и р). Пользуясь этими выражениями, уравнение (1.14) запишем в виде

Со dt > \ > vo J dx \ с У дх 1 т

Считая, что M=w/co<:l и что ди/дх<\ (изменение профиля волны на длине волны мало), можно пренебречь членом {evCg)dvidx и получить

4,! = 0. (1.24)

дх ат

Эта запись уравнения простой волны в сопровождающей системе координат часто применяется в нелинейной акустике. Уравнение (1.24), в отличие от уравнения римановской волны (1.14), уже не является точным (в рамках предположений, положенных в основу вывода (1.13)), поскольку при его выводе использовалось лишь второе приближение. Впрочем, ценность точного решения Римана ограничена тем, что оно относится к идеализированному случаю отсутствия диссипации.

Отметим также, что в линейном случае, когда е=0, dvidx=0 и, следовательно, профиль волны не изменяется, линейная волна в рамках сделанных предположений (отсутствие затухания, волна плоская) стационарна. В нелинейном случае профиль волны меняется - волна нестационарна. Эволюция профиля простой волны в зависимости от проходимого ею расстояния (или времени распространения) может быть проанализирована и другими методами, из которых существенную роль играют методы геометрических построений, в том числе метод характеристик. Характеристиками называют траектории движения возмущений скорости v в плоскости хх. Для линейных волн характеристикой служит уравнение t-xlc- -const, и все характеристики являются параллельными линиями, поскольку профиль при распространении не меняет своей формы и волны стационарны. Для простых волн семейство характеристик в координатах х, х определяется формулой

т = т -(х/с )еМ/(1+еМ).

Искажение формы волны можно описывать и в спектральном представлении; очевидно, искажение эквивалентно образованию гармоник. При распространении синусоидальной волны с частотой со,

V = Vn sin (о

-)+-4[)%in2.(-). (1.26)

из-за нелинейных процессов в среде образуются волны с частотой 2(0, Зсо и т. д., т. е. с расстоянием х спектр волны меняется.

Рассмотрим образование гармоник в основной волне, имеющей при ж=0 синусоидальную форму. Ограничимся для простоты второй гармоникой. Имеем, разлагая в ряд выражение для v по (1.16),

(-TTi) -oSinco(- + e. -J+ ...) (1.25)

членами порядка выше vie в аргументе синуса пренебрегаем. Обозначим ф =(й(-х1с, ф1=сод:81>/Со. Разлагая (1.25) в ряд и считая, что у<с, созфхЯ:;!, 81пф1Л;;ф получим с учетом формулы для синуса суммы двух углов

u = U(,sin(o(-x/C(,) + mxe(U(,u/c) cos со ( - xjc),

откуда

Уд Sin (О (? -Х/Ср)

1 - ШХЕ (to/co) COS Ш (t - X/Co)

Разлагая далее знаменатель в ряд и ограничиваясь двумя членами разложения, имеем

Со ; 2

Таким образом, наряду с основным колебанием появилась вторая гармоника с амплитудой

и з = ((0X8/2) (VO. (1-27)

Относительная величина второй гармоники, являющаяся мерой нелинейного искажения, для звукового давления определится формулой (с учетом соотношения для плоской волны)

Po2/p i = ( e/2)(poi/p Co), (1.28)

где pi - амплитуда давления основной волны (первая гармоника) и Роз - то же для второй гармоники.

Согласно этому выражению р 2 растет пропорционально пробегу волны х, частоте (о, нелинейному параметру среды е и интенсивности звука. В действительности явление происходит сложней, чем это описывается формулой (1.28). Во-первых, амплитуда основной волны будет уменьшаться с ростом второй и более высоких гармоник, что здесь не учитывалось. Во-вторых, сама вторая гармоника Риз должна отдавать часть энергии на образование собственных высших гармоник. Все это связано с той идеализацией, которая с самого начала была положена в основу проведенного рассмотрения. Кроме того, пренебрегалось процессами диссипации.

Вернемся теперь снова к уравнению (1.12). При (л= (р-Ро)/ро= = (Р-Ро)Ро из него можно получить соотношения между параметрами в волне конечной амплитуды. Ограничиваясь величинами второго порядка малости по (х, приведем ряд соотношений, которые понадобятся нам в дальнейшем. Запишем их для простой волны, распространяющейся в положительном направлении оси х.