Описанный кратко спектральный метод исследования нелинейных искажений формы волны представляет собой весьма чувствительный метод. Используя его, можно производить измерения также амплитуды третьей и более высоких гармоник. Отметим, что при измерениях, например, в воде не требуется иметь дело с особенно большими интенсивностями. Так, при подаче на кварцевую пластинку около 100 В она излучает в воду звук с интенсивностью около 10~ Вт/м При этом можно работать с усилителем, имеющим коэффициент усиления не более 10.

Другой метод изучения нелинейных искажений состоит в наблюдении формы волны при помощи широкополосной аппаратуры - приемника и усилителя. Так, при измерениях в воде на ультразвуковой частоте 1 МГц желательно иметь собственную частоту приемной кварцевой пластины не менее 10 МГц и усилитель, пропускающий частоты в полосе до 10 МГц. На рис. 3.5 приведены осциллограммы формы плоской ультразвуковой волны в воде на частоте 1 МГц синусоидальной у излучателя (х=0) (интенсивность волны 5-10 Вт/м). При удалении приемной кварцевой пластинки от излучателя видно, как волна принимает пилообразную форму. Следует обратить внимание, рассматривая эти осциллограммы (фотографии получены с экрана катодного осциллографа), что пилообразная волна несимметрична; нижняя ее половина несколько меньше по амплитуде и более плавная. Кроме того, имеются небольшие осцилляции в верхней части осциллограммы; они вызваны, по-видимому, либо недостаточной шириной полосы пропускания приемного тракта, либо явлением дисперсии, обусловленной наличием пузырьков газа в воде ([1], с. 97). Заметим, что на больших расстояниях (>20 см) амплитуда волны заметно убывает.

Объяснение причины несимметричности формы пилообразной волны, по-видимому, также может быть связано с образованием кавитационных пузырьков в воде при прохождении интенсивной ультразвуковой волны и с явлением

дисперсии, вызванной наличием этих пузырьков газа в воде, либо, наконец, с особенностями распространения ограниченного пучка волн конечной амплитуды. Отметим, что продолжительность ультразвукового импульса, или время экспозиции было порядка секунды.

Измерения поглощения волн конечной амплитуды показали, что коэффициент поглощения не является величиной постоянной. Напомним, что в линейной акустике коэффициент поглощения оп-

20s;,£M

Рис. 3.6. Зависимость коэффициента поглощения по энергии и относительной амплитуды второй гармоники плоской синусоидальной волны конечной амплитуды от расстояния от излучающей кварцевой пластинки при условиях, соответствующих рис. 3.5.

ределяется из выражения для амплитуды А=Аа ехр(-адх) и ao=const. На рис. 3.6 показано поведение коэффициента поглощения по энергии плоской синусоидальной (у излучателя) волны конечной амплитуды 2а в зависимости от расстояния, измеренного в дистиллированной воде на частоте ультразвука 1 МГц и при интенсивности 5-10 Вт/м [16]. Из этого графика видно, что при увеличении X величина 2а увеличивается от значения 2а(, соответствующего коэффициенту поглощения волны малой амплитуды, до максимального значения при x?k12 см, а затем падает, стремясь вновь к значению 2ад. На нижнем рисунке показано отношение амплитуд второй и первой гармоник (в процентах относительно амплитуды волны основной частоты) в зависимости от расстояния от излучающей кварцевой пластинки. В приведенном эксперименте поглощение ультразвуковых волн более чем в 100 раз превышает поглощение волн малой амплитуды. Видно, что максимум поглощения совпадает с максимумом амплитуды второй гармоники, т. е. примерно с областью наибольших искажений формы волны (расстояние стабилизации волны конечной амплитуды). Из сказанного следует, что благодаря нелинейному поглощению не имеет смысла использовать слишком большие мощности излучения (верхним пределом служит также порог образования кавитации, если только продолжительность ультразвукового импульса не мала).

Измерение а при интенсивных ультразвуковых волнах можно проводить различными методами (калориметрический, оптический и другие [2J).

§ 3. Плоская нелинейная волна в среде с диссипацией

Мы обсудили, как проявляется диссипация в экспериментах по искажению звуковых волн и по нелинейному поглощению. Рассмотрим теперь кратко теорию распространения волны конечной амплитуды в среде с диссипацией. В такой среде процессы зависят уже от двух безразмерных чисел - Маха и Рейнольдса. Нелинейные эффекты для плоской волны обычно проявляются при числе Рейнольдса, не слишком малом, таком, чтобы диссипация не могла помешать развитию нелинейности, определяемой числом Маха. Особенно существенны искажение формы плоских синусоидальных волн и генерация гармоник в маловязких жидкостях на ультразвуковых частотах при Re>l. При распространении плоской волны в жидкости, обладающей диссипативными свойствами, процесс укру-чения будет происходить иначе, чем в среде, где диссипация отсутствует. При искажении волны, благодаря квадратичной зависимости поглощения от частоты, более высокие гармоники затухают сильнее и процесс искажения тормозится потерями. Ясно, что поглощение в такой волне должно быть значительно больше, чем для волны малой амплитуды.

Точного решения задачи о распространении плоской нелинейной волны в средес диссипацией, в отличие от случая идеальной среды, не найдено. Поэтому приходится прибегать к приближенным

методам. Ограничиваясь членами второго порядка малости, полагая v=v+v , р=Ро+рЧ-р (квадратичное приближение), можно найти решение задачи непосредственно методом возмущений. Однако такие решения применимы обычно на расстояниях, малых по сравнению с длиной образования разрыва.

Имеются также приближенные решения уравнений гидродинамики вязкой теплопроводящей сжимаемой жидкости, представляющие аналог простых волн, бегущих в одном направлении. Такие волны называют квазипростыми. Уравнения для них можно получить, если учесть нелинейные члены второго порядка малости, а коэффициенты вязкости и теплопроводности считать членами первого порядка малости. Линейные диссипативные члены будут тогда второго порядка малости, а нелинейные диссипативные члены - третьего порядка малости, которые можно опустить. В рамках такого приближения эволюция слабозатухающей нелинейной волны описывается уравнением (1.14), правая часть которого уже не нуль, как для простой волны в среде без диссипации, а содержит член, учитывающий потери: (6/2ро) d-vfdx. Выпишем это уравнение полностью (более подробно о его выводе см. в [II):

a7 + (c + et;)gj=2. (3.1)

В сопровождающей системе координат (х, т) это уравнение записывается в виде

Если диссипация отсутствует, то правые части (3.1), (3.2) обращаются в нуль и мы приходим опять к уравнениям для простой волны. Уравнение (3.2), описывающее поведение квазипростой волны, носит название уравнения Бюргерса [181. Оно обладает замечательным свойством: при помощи подстановки Хопфа - Коула [19]

= lf P() (3-3)

его удается преобразовать в линейное уравнение типа теплопроводности:

которое, как известно, имеет точное решение. Уравнение Бюргерса приближенное; оно в принципе дает возможность детально (во втором приближении) проследить за эволюцией плоской нелинейной волны в среде с диссипацией.

Так, на основе уравнений (3.1) или (3.2) могут быть решены задачи об эволюции профиля исходной синусоидальной или непериодической волны по мере ее распространения и даны ответы на вопросы, какова ширина фронта возникающей слабой ударной волны, каково добавочное (нелинейное) затухание и т. д.