Бегущие капиллярные §олны /ieii<6 Возбудить в сосуде с воДбй при помощи легкого (алюминиевого) бойка Б (рис. 3.8) длиной несколько сантиметров (так, чтобы на длине бойка укладывалось с десяток длин волн - для получения плоской волны), имеющего се-

Рис. 3.8. Блок-схема установки для изучения нелинейных свойств капиллярных

воли.

чение в виде призмы, вершина которой касается поверхности воды. Боек прикрепляется к диффузору небольшого звукового динамика Д, возбуждаемого звуковым генератором ЗГ. Для преобразования капиллярной волны в электрический сигнал можно ис- г, Л? пользовать поляризованный электрод. В воду погружается медная пластинка Пл, а поверхности воды касается тонкая железная проволочка; на проволочку .w пластинку подается поля.\1;ющее напряжение - несколько вольт от батареи Б. При периодическом погружении проволочки под действием капиллярной волны сопротивление промежутка между электродами изменяется, в результате чего возникает переменное напряжение. Принятый сигнал пропускается через фильтр

Ф и усиливается усилителем У. Наблюдение нелинейных эффектов проводится в ближнем поле, когда волну можно считать плоской. Используются частоты 60-300 Гц и амплитуды волн ~10~2 см; однородность волнового поля легко контролировать при помощи стробоскопического освещения. Заметим, что на описанной установке легко проводить точные измерения скорости капиллярных волн по фигурам Лиссажу.

На рис. 3.9 показана зависимоть амплитуды второй гармоники 2 (при частоте первой гармоники, равной 80 Гц) от расстояния до источника волны х. Видно, что эта амплитуда испытывает прост-

4,5 X, см

Рис. 3.9. Пространственные осцилляции амплитуды второй гармоники нелинейной капиллярной волны.

рапственпые осцгшляцнп. Отметим, что фазовая скорость второй гармоники, согласно формуле c = ]/ak/p, на 26% (в воде) превышает скорость первой гармоники, т. е. дисперсионное число D= = (C(o-С2(о)/сщ=0,26 (в релаксационной теории (гл. 2) дисперсионное число т определялось несколько иначе: т= (cl,~cl)/cl; здесь - фазовая скорость основной волны и - волны второй гармоники.

Из приведенного примера видно, что именно различие в скоростях первой со и второй 2со гармоник приводит к таким осцилляциям, в отличие от случая среды без дисперсии.

Здесь уже нет синхронизма между основной волной и ее гармониками. Поэюй причине и возникают пространственные биения амплитуды второй гармоники 2©, которые видны на рис. 3.9. Можно показать [1], что пространственный период этих биений определяется выражением Л.2=2л\к2-Ai , где Ai = co/C(,j и k2=(i>C2a (величину Аз называют длиной когерентности).

Таким образом, когда имеется дисперсия, для амплитуды второй гармоники нарастающего решения в пространстве нет. Заметим при этом, что значение Аг, полученное экспериментально для капиллярных волн (рис. 3.9), совпадает с указанным теоретическим значением.

Мы уже говорили, что в акустике чаще приходится сталкиваться с более слабой дисперсией, чем в только что рассмотренном примере капиллярных волн. Слабой обычно называют такую дисперсию, влияние которой мало сказывается на изменении формы профиля волны на длине волны X или за период волны Т.

При наличии дисперсии поведение коэффициента нелинейного затухания сильно отличается от случая, когда дислерсии нет. Здесь из-за отсутствия синхронизма между различнымГ1ГдЗЬмониками нелинейное затухание уже не проявляется в такой степени, как при отсутствии дисперсии, когда волна из-за накапливания нелинейных эффектов превращается в пилообразную.

Таким образом, в случае распространения плоских нелинейных волн в среде с диссипацией и дисперсией к безразмерным числам М и Re добавляется дисперсионное число D=(C(o-Caj/c, т. е. теперь уже имеются три безразмерных числа: М, Re и D. Поправку к фазовой скорости можно определить из закона дисперсии, который мы запишем в виде

(,ikc(k). (4.1)

При k=2n/X-0 значение с (к) стремится к постоянной величине Сд, которая фигурирует в обычном волновом уравнении. Так, например, для гравитационных волн на глубокой вояе c(k) = ]/g/k (см. гл. 1), а для волн на мелкой воде при AftО = Kg-ft, где h- глубина водоема. Полное выражение для фазовой скорости имеет вид с (k)= {g/k)th kh. Следовательно, при малых kh

с (к) ]gh[\~{m) (A/i)]=c [l-(l/6) (kh)]. (4.2)

Отсюда следует, что в сопровождающей системе координат, движущейся со скоростью Гр, (и=-ckk/b. Таким образом, при малых k, учитывая только первый член разложения, закон дисперсии можно записать в виде

= c,k-pk\ (4.3)

где для рассматриваемого случая гравитационных волн p=C(,/i/6; эту величину принято называть параметром дисперсии. Для капиллярных волн, для которых с() = (/а/р, в (4.3) будем иметь знак -f (отрицательная дисперсия). Поскольку мы рассматриваем малые поправки как нелинейные, так и дисперсионные, можно считать их аддитивными, и для получения правильного закона дисперсии в уравнении простой волны (чтобы получить частоту (о= =-рз) следует добавить член с третьей производной -fidv/dx. Мы получаем, таким образом, приближенное уравнение, описывающее распространение одномерной нелинейной волны в дисперсионной среде, которое в принятых нами обозначениях имеет вид

Это уравнение впервые было получено в 1895 г. двумя голландскими гидродинамиками Кортевегом и де Вризом [25] (которые вывели его в применении к изучению волн на мелкой воде); по этой причине его принято называть уравнением Кортевега - де Вриза (КдВ).

Интерес к этому уравнению появился вновь после того, как было показано, что оно описывает нелинейные волновые процессы в нелинейной оптике, в плазме, в ряде задач нелинейной акустики. Если, кроме нелинейности и дисперсии играет роль также и диссипация, то тогда уравнение (4.4) дополняется членом, учитывающим затухание волны, и оно переходит в уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса (КдВБ):

dv 8у dv dh о р, ,лг

a-.--ai-oa-P а = 0. (4.5)

Как уравнение (4.4), так и (4.5) справедливы при М, D, аХ<1, т. е. для сред с малыми нелинейностями, дисперсией и затуханием на длине волны.

Одним из возможных применений уравнения Кортевега - де Вриза - Бюргерса в акустике служит рассмотрение задачи о распространении волны конечной амплитуды в такой слабо диспергирующей среде, как, например, среда с релаксацией. Здесь, однако, в общем случае уравнение имеет более сложный вид, поскольку поглощение в среде с релаксацией уже может не квадратично зависеть от частоты. Мы не имеем здесь возможности заниматься этими интересными вопросами. Отметим лишь, что нелинейное уравнение (4.4), как и уравнение (3.2), имеет точное решение. Есть еще ряд нелиней-