ных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих волновые процессы, которые имеют точные решения. Это уравнения для нелинейных стационарных волн огибающей [26], для трехволновых процессов (аналогичные уравнениям Эйлера для движения гироскопа [27]), уравнение синус-Гордона и некоторые другие. Разработан мощный метод решения таких уравнений - метод обратной задачи рассеяния [28], играющий в определенных случаях такую же роль для решения нелинейных уравнений в частных производных для консервативных систем (типа уравнения (4.4)),

какую играет метод Фурье при интегрировании линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами (см. подробно [29, 30]). Одно из возможных точных стационарных решений нелинейных уравнений для консервативных диспергирующих сред, в том числе (4.4), представляет собой так называемую уединенную волну, или солитон. В настоящее время специфическая волновая механика солитонов достаточно детально разработана [30J.

Одной из интересных и важных особенностей поведения солитонов служит то обстоятельство, что они локализованы в пространстве и, образовавшись, уже не меняют свою форму в нелинейной среде; именно конкуренция нелинейности и дисперсии приводит к возможности сохранения формы солитонов. Со-литоны могут образоваться при распространении периодической пилообразной ударной волны в нелинейной среде с дисперсией. Благодаря тому, что пилообразная волна имеет крутой передний фронт, т. е. богата гармониками, из-за дисперсии появляются осцилляции ее формы, возникает тенденция к рассыпанию ее на со-литоны.

Так, на рис. 3.10 показан пример распада на солитоны пилообразной волны, образовавшейся в нелинейной среде с дисперсией, приведенный в работе [311. На рис. 3.10, а показана синусоидальная волна, которая после прохождения расстояния, равного расстоянию образования разрыва Хр, изменяет свою форму (3.10, б). Благодаря тому, что волна имеет крутой передний фронт, т. е. богата гармониками, из-за дисперсии начинается ее отличие от пилы , переходящее к рассыпанию на солитоны. После того как волна проходит расстояние 3,6Хр, видна уже совокупность отдельных солитонов (рис. 3.10, в); их максимальные амплитуды лежат на одной прямой. Далее траектории солитонов пересекаются, так как солитоны с большей амплитудой движутся быстрее.

Рис. 3.10. Образование пилообразной волны в среде с дисперсией и распад ее на солитоны.

§ 5. Сферические и цилиндрические нелинейные волны

Если записать уравнения гидродинамики вязкой теплопроводящей жидкости в цилиндрических или сферических координатах, то ограничиваясь вторым приближением, можно получить нелинейное уравнение, аналогичное уравнению Бюргерса для сферических и цилиндрических волн. В сопровождающей системе координат г и т эти одномерные уравнения имеют вид

dv .nv е dv Ь дк> ,г

где г - радиальная координата и /г=0, 1, 2. При n=l это уравнение описывает нелинейную цилиндрическую волну и при п=2 - сферическую; п=0 соответствует уравнению Бюргерса для плоской волны. Проведено подробное рассмотрение эволюции профиля сферических и цилиндрических волн [32, 33], возможности образования пилообразных возмущений, динамики ширины ударного фронта, нелинейного затухания и других вопросов. Мы здесь остановимся только на некоторых важных сторонах распространения таких возмущений.

Если цилиндрические и сферические волны расходящиеся, то нелинейные эффекты проявляются значительно слабее, чем для плоской волны. Здесь вступает в силу геометрический фактор и плотность энергии волны, приходящаяся на единицу площади волнового фронта, убывает. Если произвести для сферически симметричных волн (n=2) замену u=vrlr и z=ln (/ ), а для цилиндрически симметричных волн (п=1) замену u=v{rlr и z=2{rlry\ то получаются уравнения

ди 8Го ди Ьго . дЧ г

~ 5т-1 IF (-

ди е ди Ьг ди ,г о\

Здесь / - исходный радиус волнового фронта. Отличие этих уравнений от уравнения Бюргерса для плоской волны состоит в том, что для сферических расходящихся волн как бы увеличивается (экспоненциально нарастает с z) эффективная вязкость (в сходящихся волнах эта вязкость экспоненциально убывает). В цилиндрических расходящихся волнах вязкость линейно растет с г (в сходящихся - линейно убывает с z). Такие качественные рассуждения полезны, но не совсем точны, поскольку при получении (5.2) и (5.3) мы произвели нелинейные преобразования координат. Отметим также, что для сферических и цилиндрических волн нельзя ввести число Рейнольдса так, чтобы оно не зависело от расстояния.

Рассмотрим сферическую нелинейную волну. Если число Re велико (большая интенсивность, большое е, малая диссипация), то правую часть уравнения (5.2) можно опустить, и тогда мы будем иметь дело с обычной плоской нелинейной волной, только описывае-

мой другими переменными и и г, г. В этом случае может образоваться сферическая пилообразная волиа, если только Rel вплоть до самого образования разрыва. Безразмерное расстояние в длинах образования разрыва для плоской волны определяется формулой a=kxehA. Тогда из сравнения уравнений (5.2) и dv/dx-(е/с§)у dv/dt= =0 получаем, что для сферической волны a,=kzeriu/c, и поэтому расстояние образования разрыва

Гр = Гоехр(1/(То), (5.4)

где o =ekr tA. Поскольку 0(,~У( где - амплитуда исходной волны, то отсюда следует, что при уменьшении у расстояние экспоненциально растет.

Если же число Re не слишком велико, то можно воспользоваться методом последовательных приближений. Мы здесь приведем окончательный результат: при граничных условиях у Со- 0=0 и v(г, t)= =У, sin wt при ехр z:il+z (2<1), т. е. на малых расстояниях от источника, получаем в переменных г, х решение

V = - -g In ехр [-2а, {г-г,)] sin 2сот. (5.5)

Как видим, амплитуда второй гармоники сферической нелинейной волны растет не по линейному закону, как в плоской волне, а ~1п (г/Г(,), т. е. достаточно медленно, что происходит из-за сферического расхождения волны.

Проводя подобные рассуждения для цилиндрической расходящейся волны, получим, что разрыв (при достаточном Rel) образуется на расстоянии

г, = г,{1 + 112а,у. (5.6)

Применяя метод последовательных приближений, получаем для второй гармоники слабой нелинейной цилиндрической волны, что у пропорционально Vr/r,:

v = -fy I (r l)exp[-2ao(--ro)]sin2coT. (5.7)

Подводя итог рассмотрению расходящихся сферических и цилиндрических волн, мы видим, что нелинейные эффекты для них выражены существенно слабее, чем для плоских волн.

Совсем другая ситуация будет в сходящихся сферических или цилиндрических волнах. В этом случае геометрический фактор будет действовать в направлении усиления нелинейных эффектов. С таким положением часто приходится встречаться в ультразвуковой технике и физике ультразвука при использовании фокусирующих систем. В природных условиях также могут возникать эффекты фокусировки звука, например в гидроакустических задачах.

При малых интенсивностях сферической волны в формуле (5.5) расстояние г будет уже не в числителе, а в знаменателе и при уменьшении г возникает разрыв. Применение метода последовательных приближений при рассмотрении сходящихся волн ограничено, ко-