она определяется амплитудой вынуждающей силы и уменьшается с увеличением амплитуды установившихся колебаний. Указанный метод дает возможность найти также резонансные кривые нелинейного резонатора. К задачам о нелинейных колебаниях в резонаторах примыкает задача о распространении акустических волн конечной амплитуды в акустических волноводах [20]. Здесь поле удается представить как сумму полей двух нелинейных волн, 6eryi]i,HX под углом друг к другу.

Однако разработанный метод использования уравнений Бюргерса для встречных (или бегущих под углом) волн с дополнительным усреднением уравнений по быстропеременным функция.м пока что не обобщен для границ резонаторов и волноводов, имеющих произвольное значение импеданса.

§ 3. Параметрические процессы в нелинейных волнах. Параметрическая излучающая и приемная антенны

В нелинейной теории колебаний и ее приложениях (в особенности в радиотехнике) параметрические процессы при использовании достаточно интенсивных периодических изменений сосредоточенных параметров (емкости, индуктивности) позволяют осуществить усиление слабых колебаний и создать параметрические усилители и параметрические генераторы. Подобным образо.м обстоит дело в нелинейных системах с распределенными параметрами, в которых также можно осуществить параметрическое усиление и генерацию. Это с успехом делается в радиофизике и оптике. В акустике же получены менее значимые результаты.

Пожалуй, наибольшее значение имеет задача о трехчастотном параметрическом взаимодействии; вообще для параметрического усиления или генерации необходимо участие по крайней мере трех волн. Одна из этих волн - волна накачки с частотой (О3, другая - слабая волна сигнала (если речь идет о параметрическом усилении) с частотой ©I и третья-волна разностной частоты со, - так называемая холостая волна. Для этих трех волн должно выполняться соотношение

< з = < 1 + < 2. (3.1)

представляющее собой закон сохранения энергии фононов; именно отсюда следует необходимость участия в параметрическом процессе холостой волны.

Для того чтобы между этими волнами (будем считать их плоскими) происходило нелинейное взаимодействие в среде без дисперсии такой, как жидкость или газ, все эти три волны должны паспро-страняться водном и том же направлении и kski+k,- Перекачка энергии волны накачки в слабую волну (волну сигнала) представляет собой распадный процесс, в отличие от процесса слияния типа генерации второй гармоники.

На языке фононов мощная волна накачки или фонон cog распадается на два фонона - coi и соа, т. е. сОз-> coj+co, (если o:)i = = (й2=(йз/2, то этот процесс называют вырожденным).

4* 99

Направление перекачки Энергии онределяегся соотношениями Мтли - Роу (для систем без диссипации) лчежду параметрами взаимоде11Ствующих волн, выражающими закон сохранения энергии. Мы не будем подробно заниматься этими вопросами, укажем только, что параметрический процесс является пороговым; усиление начинается с определенного значения амплитуд. В этом процессе важное значение имеют также фазовые соотношения между волнами Юз, ©I, ©.J.

Если Л, Л 2, Лз - амплитуды параметрически взаимодействующих волн, то в дифференциальной форме соотношения ЛЬнли - Роу для волн с частотами ©i, ©2, ©3, распространяющихся в недиспергирующей среде с одинаковыми скоростями, имеют вид

dI Л1 (V©i =а!I Л217©2 = - d\A 7©з. (3.2)

Эти соотношения показывают, что энергия из высокочастотной волны накачки ©3 распределяется между волнами ©i и ©2 в отношении

d\AiYld\A2Y-=wJ, (3.3)

откуда следует, что преобразование частоты вверх по спектру происходит эффективнее, чем преобразование частоты вниз , и при ©i/©21 приращение энергии низкочастотной волны мало. Теория трехволнового параметрического усиления в приближении заданного поля с учетом диссипации, основанная на использовании уравнения Бюргерса, подробно изложена в [1]. Эта теория приводит к выводу о том, что амплитуды Л и Л а, т. е. амплитуды сигнала и холостой волны, при больших X будут нарастать экспоненциально, начиная с пороговой амплитуды накачки

ЛР = [aayi с11{щ(лу1 е, (3.4)

где ai и а2 - коэффициенты поглощения волн с частотами ©i и ©2. При Лз>Л5°Р амплитуды Лх и Л2 экспоненциально нарастают, и следует пользоваться теорией с учетом истощения энергии волны накачки при больших х.

Наиболее существенным отличием параметрического усиления в нелинейной акустике от подобного процесса, например в нелинейной оптике, служит то обстоятельство, что в последнем случае имеется сильная дисперсия и волна накачки слабо убывает с расстоянием. В акустическом же случае мощная волна накачки при Rel (когда и должно было бы иметь место достаточное усиление) превращается в пилообразную, быстро затухает и параметрическое усиление становится все более слабым. Если считать, что процесс усиления может происходить до расстояния образования разрыва Лр, то можно оценить коэффициент усиления. Для этого отметим, что если не учитывать диссипацию и рассматривать простые волны, амплитуда колебательной скорости волны сигнала ©i* из-за взаимодействия с волной накачки на начальном этапе увеличивается согласно [\], с. 156 (рассматриваем для простоты вырожденный случай

©1=©2= з/2)

Ах W = 1 (0) ехр (есоИз (0) x/2cg). (3.5)

М а)

Рис. 4.7. Схема излучающей параметрической антенны.

Отсюда коэффициент усиления параметрического усилителя Кп. у. будет

7С . у - (Хр)/Л1 (0) = ехр К/2сОз) 1,28. (3.6)

Отметим, что наиболее эффективный режим параметрического усилителя имеет место как раз при а)1 = сй2=сйз/2; он наиболее эффективен, в частности, и по той причине, что при этом холостая волна , в которую также перекачивается энергия, является одновременно сигналом. Однако даже в этом наиболее благоприятном случае К. у. лишь немногим больше единицы.

Имеются 1ЮНЫ1КИ создать пара.метрические усилители, вводя в среду искусственную дисперсию (например, вода с пузырьками; об это.м будет идти речь в гл. 6); при волноводном распространении нелинейного звука также можно рассчитывать на создание эффективного г,а-раметрического усилителя.

Таким образом, параметрический усилитель в нелинейной акустике пока еще мало перспективен. Ситуация может измениться, если удастся создать подходящую диспергирующую среду с малым затуханием или использовать

взаимодействия акустических волн с волнами другой природы.

Перейдем теперь к анализу физических принципов работы таких интересных нелинейных систем, как параметрические излучающие и приемные антенны. В этих антеннах излучающими или приемными элементами служит сам объем нелинейной среды, в котором происходит взаимодействие волн.

К I960 г., в основном благодаря работам [2, 14, 15], было показано, что в ультразвуковом диапазоне частот даже при незначительных интенсивностях звука генерация гармоник и комбинационных частот в маловязких жидкостях (таких, например, как вода) благодаря их нелинейным свойствам проявляется весьма сильно. Это натолкнуло Вестервельта [21-24J и независимо от него В. А. Зверева 11 А. И. Калачева [25-29] на мысль о возможности создания параметрических излучающих и приемных антенн.

На рис. 4.7 показана схема излучающей параметрической антенны. Две интенсивные волны с близкими частотами coi и соа, распространяясь в одном направлении, взаимодействуют между собой. Наряду с рядом комбинационных частот возникает и разностная частота Й=сй1-cu2<cui, соа. Так, в качестве coi и соа для воды выгодно использовать частоты примерно до 100 кГц. Если, например, cui = 100 кГц, ©2=99 кГц и Й=1000 Гц, то волна частоты Й поглощается значительно слабее, чем несущие coi и соа. Эта волна может пройти значительно большее расстояние, чем волны oij и coj. Эффек-