где с - скорость звука, а из (3.3) А/7ру- то Ар/р--(у/с) Таким образом, условие (Ар/р)<1, т. е. условие несжимаемости жидкости состоит ВТОМ, чтодля стационарноготечения числоМаха М=у/с<1; при у<с газ или жидкость описываются одними и теми же уравнениями.

Однако такой вывод справедлив лишь для стационарного движения жидкости. Если движение нестационарно, то в добавление к условию несжимаемости div г =0 следует учесть еще одно условие. Действительно, акустическое число Маха hA=vlc (здесь v - колебательная скорость частиц) всегда значительно меньше единицы. Тем не менее, поскольку акустические волны - это нестационарное движение жидкости, условие Мзк<1 еще не означает, что жидкость можно считать несжимаемой; в несжимаемой жидкости звук вообще не распространяется.

Дело здесь в том, что для несжимаемости при нестационарных движениях жидкости необходимо выполнение условий \dpldt\<\gAi\v\ и dvldtVpIp, которые следуют из уравнения непрерывности и из уравнения Эйлера. Но из первого неравенства следует, что Ар/т<ру/7, где Z и х - соответственно характерные пространственный и временной масштабы движения (длина волны >v и ее период Т в случае звука). Из второго приближенного равенства (уравнение Эйлера) у/7/р у/т и равенства А/?сАр, имеем Аряг:/ру/тс. Отсюда Ар/ртдаЬ/сЧ, и далее, используя неравенство Ар/т<ру , найдем хЦс. Таким образом, жидкость при ее нестационарном движении можно считать несжимаемой, если выполняются два условия: М<1 и xl/c. Последнее условие означает, что в несжимаемой жидкости распространение возмущения должно происходить с бесконечной скоростью; в акустике хотя Мак<1, но зато хтаИс.

Другой при.мер использования уравнения Бернулли относится к теории диска Рэлея, применяемого для абсолютных измерений звукового давления. Диск Рэлея представляет собой небольшой легкий слюдяной кружок (его диаметр существенно меньше длины звуковой волны), подвешенный на тонкой кварцевой нпти. Когда на диск падают звуковые волны, он поворачивается, стремясь занять положение, перпендикулярное направлению распространения этих волн. Причина этого может быть понята на основе уравнения Бернулли. На рис. 1.2 изображены линии, по которым движутся частицы воздуха при обтекании диска постоянным воздушным потоком,- линии тока; вблизи диска линии тока искривляются. Давление потока на диск в разных точках его поверхности зависит от скорости, которую в этих точках имеют частицы воздуха. Согласно уравнению (3.3) наибольшее давление будет в тех точках диска, где происходит полная остановка течения. Таких точек на диске дво. В этих точках появляются силы, показанные на рис. 1.2 стрелками, которые образуют вращающий момент, стремящийся повернуть диск лицом к потоку . По этой же причине лист бумаги, выпавший из рук, при своем падении стремится повернуться так, чтобы его поверхность стала перпендикулярной к направлению движения.

Из рис. 1.2 можно заметить, что если направление потока изменить на обратное, то благодаря симметрии картины линий тока вращающий момент не изменится; диск будет стремиться повернуться в том же направлении. Поэтому, если диск находится в переменном потоке воздуха, направление которого периодически изменяется (а такой поток имеет место при распространении звуковой волны), он будет поворачиваться так же,

как и в посюянном потоке, занимая по- Е ложение поперек потока.

Перейдем к реальной жидкости, обладающей вязкостью. Уравнения движения вязкой жидкости весьма сложны. По этой причине только небольшое число задач имеет точное решение. Такие задачи, как правило, отличаются геомет- рпческой простотой и определенными

условиями СИММетоии. Весь же ОГООМ- 2- Обтекание диска

потоком. Диск поставлен под

ныи комплекс остальных задач гидроди- углом 45° к потоку.

намики вязкой жидкости приходится решать приближенными аналитическими методами и широко применять численные методы с использованием быстродействующих ЭВМ [6]. К числу задач, которые удается решить точно, относятся такие задачи, как одномерное течение вдоль стенки, течение между двумя движущимися друг относитрльно друга параллельными плоскими стенка.ми (течение Куэтта), 1ечение в цилиндрической трубке (течение Пуазейля), стационарное течение между двумя цилиндрами, течение в расширяющейся трубе (диффузоре) и некоторые другие. Остановимся здесь лишь на гажной для физической акустики задаче о движении в вязкой несжимаемой жидкости плоской безграничной стенки, которая колеблется в своей плоскости.

Пусть неограниченная плеская поверхность (плоскость ху) соприкасается с покоящейся в целом несжимаемой вязкой жидкостью, и пусть эта поверхность совершает гармонические колебания в своей плоскости с частотой со в направлении у. Спрашивается, какое при этом возникает в жидкости (г>0) движение, если жидкость в целом покоится? Используя граничные условия, согласно которым скорость жидкости у поверхности совпадает со скоростью поверхности у=Уу=у ехр(-ico/), условие несжимаемости жидкости div v=0 и геометрию задачи, нетрудно показать, что в рассматриваемом случае {vy)v=0, /7=const и уравнение движения Навье - Стокса сводится к линейному одномерному уравнению типа уравнения теплопроводности;

Ж~ р дг (

Отыскивая периодическое решение этого уравнения в виде v~ =!: ехр[-i((i)t-в)], где - волновое число, найдем, используя граничные условия при 2=0,

= kl = vkl (3.6)

Отсюда, поскольку V t = ± (1 +получаем и

у=у ехр(-- /рг)ехр - t (со/-]/ р г) , (3.8)

где у мнимой части взят знак + , иначе скорость при г>0 возрастала бы.

Полученный результат показывает, что колеблющаяся ввязкой несжимаемой жидкости в своей плоскости пластина излучает поперечные волны с волновым числом k, которые называют вязкими или сдвиговыми волнами, иногда - волнами Стокса. Эти волны распространяются со скоростью

с =1/2 (3.9)

и имеют длину

V2n = ]/2 = l/2. (3.10)

Коэффициент затухания вязкой волны а, согласно (3.8), имеет значение

= Ксор/гт]. (3.11)

Вязкая волна практически затухает на расстоянии, равном длине волны; в некотором тонком пограничном слое, толщина которого порядка Яв, она все же распространяется.

Если на плоской поверхности жидкости и.меются периодические изменения температуры, то, подобно вязким волнам, в жидкости возникают температурные, или тепловые волны. Характерные параметры этих волн определяются одномерным уравнением теплопроводности

dT/dt = %dT/dz\ (3.12)

где Т - температура и x=K/pCj, - коэффициент те.мпературопро-водности, т. е. уравнением точно такого же вида, как и уравнение (3.5) для вязких волн.

Если на границе при г=0 Т=Тоехр(-Ш), то, по аналогии с (3.8), значение Т в зависимости от г, со, % будет иметь вид

Г = Г ехр УЩг г) ехр [- i {fst-VzSX (3.13)

Так же, как и вязкие волны, тепловые волны распространяются в глубь среды со скоростью = экспоненциально затухая

и образуя тонкий тепловой пограничный слой. Эти волны также имеют сильную дисперсию.

Длина тепловой волны выражается формулой

V2n = 2. (3.14)