при этом уравнений Эйлера не удовлетворяют граничным условиям, согласно которым реальная жидкость должна прилипать к стенкам, даже если она характеризуется большими числами Рейнольдса. Выход из такого положения был найден Л. Прандтлем (1904), который предположил, что при больших числах Re основное действие вязкости должно проявляться только вблизи самих стенок, в так называемом пограничном слое. Вне этого пограничного слоя движение жидкости можно считать движением идеальной жидкости.

В дальнейшем теория пограничного слоя быстро развивалась и превратилась в широкую ветвь аэрогндромеханики, имеющую большие практические применения. Эта теория была затем распространена на случай сжимаемой жидкости и для больших чисел Рейнольдса, когда движение в слое становится турбулентным. Теория пограничного слоя важна для задач приема слабых акустических сигналов приемниками звука, установленными на движущихся или обтекаемых потоком поверхностях; пульсации давления при обтекании служат источниками существенных помех.

На рис. 1.3 дана условная схема обтекания тонкой пластинки потоком несжимаемой жидкости, направленным по оси х при малых числах Re, Рассматривая порядки членсв в уравнении Навье-Стокса (2.6), для плоской задачи при /=0 можно упростить эти уравнения. Так, из физических соображений следует считать, что скорость течения V с изменением у меняется быстро, а с изменением х - значительно медленнее. Можно считать далее, что если длина пластинки равна / и толщина пограничного слоя б, то б</. Используя эти обстоятельства, а также тот факт, что при у=0 и=0, т. е. что Vy мало в слое, и принимая во внимание уравнение непрерывности для стационарного обтекания, когда dv/dt=0, членом d-v/dx можно пренебречь по сравнению с другими членами. Нелинейные инерционные члены вида vdv/dx имеют порядок v/l, а вязкие члены - порядок vvb. Такого рода оценки дают возможность сформулировать основные уравнения теории пограничного слоя, которые мы здесь не приводим.

Отношение сил вязкости к нелинейным силам инерции в пограничном слое, согласно проведенным оценкам, будет

Рис. 1.3. Пограничный слой при обтекании пластинки аЬ потоком со скоростью V.

(5.4)

Прандтль высказал гипотезу, которая далее получила подтверждение, что в пограничном слое силы инерции имеют тот же порядок величины, что и силы вязкости. Эта гипотеза сразу же позволила оценить порядок толщины пограничного слоя. Действительно, если

ReWU то

6~- KRe. (5.5)

Этой формулой часто приходится пользоваться для получения оценки величины б.

§ 6. Волны на поверхности жидкости

Любое локальное нарушение горизонтальности поверхности жидкости приводит к появлению волн, которые распространяются по поверхности и быстро затухают с глубиной. Возникновение волн происходит из-за совместного действия силы тяжести и силы инерции {гравитационные гидродинамические волны) или силы поверхностного натяжения и силы инерции {капиллярные волны).

Приведем ряд результатов по гидродинамике поверхносшого волнения жидкости, которые понадобятся нам в дальнейшем [1,2 (ч. 2), 7-10]. Можно существенно упростить задачу, если считать жидкость идеальной; учет диссипации необходим главным образом для капиллярных и коротких гравитационных волн.

Считая смещения частиц жидкости малыми, можно ограничиться линейной задачей и пренебречь в уравнении Эйлера нелинейным членом (©V)f, что соответствует малости амплитуды волны по сравнению с ее длиной X. Тогда для несжимаемой жидкости волновое движение на ее поверхности без учета сил поверхностного натяжения определяется такой системой уравнений для потенциала ф (напом-пнм, что г = Тф) fl i:

VФ = 0, (6.1)

Cl.lji) 0 (6.2)

(ось z направлена вертикально вверх и z~=0 соответствует невозмущенной поверхности жидкости).

Для неограниченной поверхности жидкости, глубина которой значительно больше длины волны, можно искать решение задачи в виде распространяющейся в положительном направлении х и за-туха!ощей с глубиной г плоской неоднородной волны:

Ф = cos {kx-со/) / (г),

где o) = 2nf - частота волны и feoiсф=-2л ?. - волновое число, где Сф - фазовая скорость. Подставляя это значение потенциала в уравнение (6.1), а также учитывая, что решения имеют смысл для г<:0, получаем выражение для потенциала:

Ф = Лехр(Й2)со5(йх-со), (6.3)

а удовлетворяя граничному условию на поверхности жидкости (6.2)- дисперсионное уравнение

o)=kg. (6.4)

Таким образом, групповая скорость распространения гравитационной волны

-.diildkimVglk, (6.5)

тогда как фазовая скорость такой волны

ь\, см/с

10 г 1

0,3 0,2 л, c-i

cVglk. (6.6)

Как видно, гравитационные волны обладают дисперсией; с увеличением длины волны их фазовая скорость Сф растет.

Интересен вопрос о том, каково распределение скоростей и частиц жидкости в волне; оно находится дифференцированием потенциала (6.3) по х и г.

Рассмотрение показывает, что частицы жидкости в волне описывают движение приблизительно по окружности (вокруг своих

равновесных точекХо,2о), радиус которых экспоненциально спадает с глубиной. На глубине, равной одной длине волны, ее амплитуда примерно в 535 раз меньше, чем вблизи поверхности. Приведенные результаты относились к волнам на глубокой воде, когда %.<h, где h - глубина жидкости. Если имеет место противоположный случай (например, волны распространяются в канале конечной, но малой глубины), то

Сф = 1/Л. (6.7)

Как видно, такие волны дисперсией не обладают.

С учетом капиллярной силы Лапласа, обусловленной поверхностным натяжением 0,

сй = (0/р)\ (6.8)

т. е., в отличие от гравитационных, скорость капиллярных волн растет с уменьшением длины волны. Сов.местное действие силы тяжести и силы поверхностного натяжения определяется таким дисперсионным уравнением (глубокая вода):

co-gfe + ((T/p)fe (6.9)

На рис. 1.4 показана зависимость фазовой скорости распространения воли на поверхности жидкости от длины волны для воды согласно выражению (6.9). Из этого рисунка видно, что прн Х=1,73 см имеет место минимум скорости поверхностных волн, являющихся смешанными гравитационно-капиллярными волнами..

Приведенные результаты относились к одномерным линейным волнам в отсутствие диссипации. Кроме того, считалось, что волны регулярные и распространяются в одном направлении. Волны, возникающие при движении корабля в спокойной воде или при подходе к мелкому берегу, действительно представляют собой

Рис. 1.4. Дисперсионная крн-вая для гравитационно-капиллярных волн на поверхности глубокой воды в области, где существенны и в, и (Т.