лировало ряд исследований в области математической теории сложного поведения простых динамических систем, лишь с середины семидесятых годов оно привлекло внимание широкого круга физиков, механиков, биологов. Примерно в это же время хаос в простых системах был сопоставлен с проблемой возникновения турбулентности. Далее стохастические автоколебания были обнаружены в самых различных, порой весьма неожиданных областях, а их математический образ - странный аттрактор (strange attractor) - к настоящему времени занял заметное место в качественной теории динамических систем наряду с широко известными аттракторами - состояниями равновесия и предельными циклами. В какой мере это направление будет способствовать развитию теории перехода, пока еще не вполне ясно,

Глава 2

ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХ. РЕЛАКСАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ

§ 1. Звуковые волны бесконечно малой амплитуды в идеальной среде

В этой главе мы рассмотрим распространение звуковых волн бесконечно малой амплитуды в газах и жидкостях. Звуковыми vim акустическими волнами называются волны, существование которых обусловлено упругими силами, возникающими при деформировании среды. Бесконечно малыми принято называть возмущения, для которых с высокой степенью точности справедлив принцип суперпозиции. В классической акустике изучалось распространение именно таких возмущений. Согласно современной классификации эти вопросы составляют предмет линейной акустики. В приближении линейной акустики скорость распространения любого возмущения не зависит от величины этого возмущения.

Напомним основные соотношения линейной акустики покоящейся среды. Звуковая волна сжатия и разрежения характеризуется рядом изменяющихся во времени и пространстве параметров. Это - амплитуда избыточного, или звукового давления р=р-р, где р - давление в возмущенной среде, а р - среднее или равновесное давление. Другой величиной, характеризующей звук, является колебательная скорость частиц жидкости или газа v. Отметим, что колебательная скорость в большинстве рассматриваемых в акустике задач значительно меньше скорости распространения возмущений с (скорости звука). Даже для очень сильного звука -шума реактивного самолета - о-~10~м/с, в то время как скорость звука в воздухе с-~340 м/с. Поэтому акустическое число Маха Мак=у/с обычно много меньше единицы. Звуковая волна сопровождается также отклонением плотности р=р~р, от ее равновесного значения р .

В этом параграфе мы будем иметь дело с идеальной средой, для которой справедливы уравнения гидродинамики идеальной жидкости (1.1.1), (1.1.2) и (1.1.11). Подставляя выражения р=ра+р, р=Ро+р и г> в эти уравнения и пренебрегая членами р, р*, и выше, получим

Ё акустике идеальных газов и жидкостей rot г-Г), и поэтому можйо ввести скалярный потенциал скорости г>=7ф. Тогда первые два уравнения (1.1) запишутся в виде

откуда, принимая во внимание третье уравнение (1.1), найдем волновое уравнение для потенциала скоростей:

d4fldP-c\ = 0, (1.3)

где по (1.1) c-=Fya/Po- Волновому уравнению вида (1.3) удовлетворяют также и другие акустические величины р, г> и р.

Простейшим видом волнового движения является плоская волна: возмущение среды в этом случае одномерно, и волновое уравнение принимает вид

d\ldt-cd\ldx0. (1.4)

Его решение представляет собой две плоские волны произвольного вида, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях:

ф = г,(х-d) + i),(x + cO. (1.5)

Форма этих волн со временем не изменяется, т. е. волны являются стационарными. Из решения (1.5) следует, что константа с имеет смысл скорости распространения этих волн, т. е. скорости звука.

Для плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, примем

ф(х, /) = ф ехр[1((о--Ь)], (1.6)

где к = а/с=2л/К-волновое число, К - длина волны. Из (1.2) получаем значение звукового давления:

р = ~-pgd(p/dt = --ipg(ii(p = p exp[i {(nt - kx)], (1.7)

где ро=-Фо®Фо - амплитуда звукового давления.

Для колебательной (акустической) скорости получим

г = ф = дср/дх = - ik(f) = о ехр [{{Ш - kx)], (1.8)

где о =-ik(f - амплитуда колебательной скорости. Из (1.7) и (1.8) види.м, что р и V совпадают по фазе и что

vplPoC (1.9)

Мы получили основное соотношение для плоской гармонической волны, связывающее между собой акустические величины р, v с акустическим сопротивлением среды роС Можно показать, что соотношение (1.9) оказывается справедливым и для любой другой формы профиля волны бесконечно малой амплитуды, а не только для волны гармонической. Хотя в действительности нет идеальных плоских волн, формулой (1.9) приходится очень часто пользоваться для проведения оценок или приближенных расчетов.

2* 35