Настоящее издание заново тщательно переработано. Вследствие широкого

распространения и исключительного одобрения, которые эта книга нашла повсюду, переработка была произведена с чувством глубокой ответственности. Я старался не изменять характера книги, но, с другой стороны, стремился расширить ее и облегчить, насколько возможно, пользование ею.

С этой целью я часто располагал материал по-новому. Объяснению функций и обозначений отведено гораздо больше места, чем это было раньше. При выборе обозначений, которые в области специальных функций все еще не являются едиными, я отдавал предпочтение тем, которые в настоящее время наиболее употребительны в литературе *).

Все таблицы тш,ате.1ьио пересмотрены с целью обеспечить их надежность. В помощь вычислителю большая часть таблиц снабжена разностями, которые позволяют удобным образом производить линейную или квадратичную интерполяцию.

Обновленная библиография находится в конце книги. Так как число учебников и собраний формул и таблиц специальных функций значительно увеличилось за последние десятилетия, то при их перечислении пришлось ограничиться только наиболее значительными работами **).

Выбор материала в прежних изданиях оказался настолько хорошим, что его можно было бы сохранить целиком. Однако значение, которое новые классы специальных функций приобретают в приложениях, было принято во внимание, и поэтому сделаны многочисленные расширения и добавления. Это касается почти всех разделов книги; ниже перечислены только наиболее существенные изменения.

1. Для интеграла ошибок и его производной, чаще всего применяемых в теории вероятности и в статистике, добавлены новые таблицы.

2. Расширены таблицы интегралов Френеля.

3. В разделе об эллиптических функциях приведена таблица для 1п , в которой использованы десятые доли градуса, К таблице тэта-функций, по пред-ложению Ф. Трякоми***), добавлена вспомогательная таблица, которая позво-

ляет удобно получать значения функций вплоть до окрестности а = 90°.

4. Изложения полиномов Лагерра и Эрмита, которые были разбросаны в различных местах, собраны в расширенном виде в разделе об ортогональных полиномах и дополнены изложением полиномов Чебышева.

*) В настоящем русском издании все обозначения величин и функций приведены

по возможности в соответствие с обозначениями, установившимися в отечественной ли1-е-ратуре. Для биномиальных коэффициентов сохранено обозначение () вместо распространенной у нас записи С. - Прим. ред.

**) В настоящем русском издании в список литературы добавлены многочисленные отечественные книги, справочники и таблицы, более доступные советскому читате--лю. - Прим. ред.

***) Имеется в виду книга F. G. Tricomi, Funzioni Ellittiche, Bologna, 1951.- Прим. ред.

) Имеется в виду книга F.j. Tricomi, Funzioni ipergeometriche confluemi, Roma, 1954. Cm. также работу F. G. Tricomi, Mem. Sciences Math., № 140, Paris, 1959. -Прим. ред.

5. Раздел о функциях Бесселя подвергся самым многочисленным изменениям; специальный раздел посвящен модифицированным функциям Бесселя; заново вычислена таблица корней уравнения J(x)N{kx)-J{kx)N{x) - Q; таблица функций Струве, которая была выброшена в двух предыдущих изданиях, вновь включена согласно многочисленным пожеланиям.

6. Раздел о конфлюэнтных гипергеометрических функциях написан заново на основании известных работ Ф. Трнкоми *).

7. Раздел о некоторых специальных функциях физики содержит функцию излучения Планка, функцию Ланжевена и функции распространения тепла от источников, а также вновь вычисленные таблицы функций Планка-Эйнштейна и Дебая, имеющие существенное значение в физической химии.

Желание не увеличивать объем книги заставило меня компенсировать предпринятые расширения сокращениями в других местах. Так, были выброшены таблицы функций последействия и индуктивности катушек, которые могут быть взяты из соответствующей технической литературы.

Фридрих Лёш.

ЗАМЕЧАНИЯ ОБ УСТРОЙСТВЕ ТАБЛИЦ

Значения функций, содержащиеся в последующих таблицах, получены из более точных значений округлением их обычным образом, а именно: последний десятичный знак увеличен на 1, если величина последующих цифр превосходит 1/2 единицы последнего десятичного знака. Эти табличные значения, следовательно, вообще имеют ошибку самое большее в 1/2 единицы последнего десятичного знакч. Только в немногих таблицах возможна ошибка в единицу последнего десятичного знака.

Если для всех табличных значений какого-нибудь столбца (или строки) одна или несколько начальных цифр совпадают, то эти цифры отделены и поставлены жирным шрифтом сверху и снизу этого столбца (или в начале строки). Таким же образом мы поступили, когда отброшенные начальные цифры в рассматриваемом столбце отличаются только на единицу в последнем десятичном знаке. Тогда те табличные значения, для которых происходит изменение, отмечены звездочкой (*).

[В некоторых таблицах употребляются также следующие обозначения: число (-п), прибавленное в скобках после табличного значения, указывает, что это значение должно быть умножено на множитель 10~ . Например, из таблицы 37 получаем: ф (],20)= = -0,030 396, а ф.(1.3Э)=+0,092 024.]

Табличный шаг везде равен 1, 2 или 5 единицам последнего десятичного знака табличного аргумента. В большинстве случаев нужные значения функций нельзя взять непосредственно из таблицы; тогда их надо получить интерполяцией. Почти все таблицы приспособ.пены для линейной или квадрат! чаой интерполяции, причем предполагается, что при интерполяции допустима наибольшая ошибка в 2 единицы последнего десятичного знака. Разности 1-го и 2-го порядков, необходимые для интерполяции, присоединены к таблицам; их всегда надо понимать в единицах последнего десятичного знака. В некоторых случаях разности 1-го порядка снабжены предупреждающим знаком (!}; он означает, что ошибка при линейной интерполяции, возможно, превосходит 2 единицы, но ни в коем случае не 5 единиц последнего десятичного знака а для большей степени точности надо применить квадратичную интерполяцию.

Линейная интерполяция. Разности 1-го порядка, служащие для линейной интерполяции, обозначены обычным шрифтом и стоят между строками таблицы. Для удобства вычислителя они всегда приведены для табличного шага, равного 1 (в единицах последнего десятичного знака табличного аргумента). Для значения аргумента X, лежащего в табличном интервале <Сх, ху, значение функции y = f{x), следовательно, получается прибавлением к табличному значению г/,=/(х,) произведения разности аргументов х-х, (в единицах последнего знака табличного аргумента) на табличную разность, соответствующую <j:o, л:,>.

Примеры. Г). Из таблицы 38 надо получить Рэ (0,6635). Находим: лг, = 0,66, f(X(,)=-0,2713, табличная разность равна 182, х-Хд = 0,д5; отсюда

Р, (0.6635) = /(дг) =0,2713 + 0,35 185.10-* =-0,2649.

Точное значение равно -0,2650.

2). Из таблицы 69 надо получить £(3,126). Находим: д:о = 3,10, f(x) = 0,l5, таб личная разность равна 9,4, х-Х(, = 2,6; отсюда

L (3.126) .= /(X)=0,6815 + 2,6-9,4.10-* = 0,6839. Точное значение равно 0,6840.

Квадратичная интерполяция. Разности 2-го порядка, служащие для квадратичной интерполяции, напечатаны курсивом и стоят в табличных строках. Обозначив

табличные аргументы

табличные значения

разности 2-го порядка