XV. КОНФЛЮЭНТНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1. Функция Ф(а, с; г)

Конфлюштными гипергеометртестма функциями называются решения конфлюэнтного дифференциального уравнения- *)

z+(c-z)-aw=0,

где а и с-произвольные комплексные постоянные. Если сО, -1, -2, то одним из решений является функция Куммера**)

W{a, с. =* -f-7-n+c(c+l) с(с+\) с+2) 3!

(Иногда ее обозначают через М(а, с; z).) Если а, с фиксированы, то она является (однозначной) целой функцией z. Для действительных значений параметров а, с и для действительных значений аргумента г = л: она действительна (рис. 192-205).

При О < Re л < Re с функция Ф (а, с; z) допускает интегральное представление

ФС. = rwrg-a) \-

кроме того, при Re л > О, Re с > О справедливо представление через функции бесселя J{z):

Асимптотическое поведение функции Куммера при <hih-

сывается формулой

~ <> / j 1 а{а-с+1) , fl(fl + l)(a-c-bl)(a-c-h2) 1

, Г (с) i 1 . (1а)(с-а) (l-s)(2-a)(c-a)(c-a + 1) 1

(-Ж arg z =n, -я < arg (-z) я).

Г (c-

*) Это уравнение называют иногда также вырожденным гипеогеометрическим уравнением.-Прим. ред.

**) Иначе: функция Похгаммера или вырожденная гипергеометричеашя функция.- Прим. ред.

55 1,5 2,0

Рис. 192. Функция Ф(а, -1.5; х).

Рис. 193. Функция (а, -0,5; х).

Рис. 194 и 195. Функция Ф(а, +0,5, х).