Рис. 202 И 203. Функция Ф (а, +J,U; х).

Имеют место следующие формулы:

(с -а)Ф(а -I, с; г) + (2а -с + г) Ф (а, с; .гг)-аФ(о-Ы, с; г) = О, c{aj-z)0(a, с; z) - (c-a)z0{a, с+1; г)-асФ(с+1, с; 2) = 0, сФ(а, с; г)-сФ(а -1, с; г)-гФ(а, c-f 1; гг)0, (а-14-г)Ф(а, с; z)H-(c-а)Ф(а -1, с; гг)-(с -1) Ф(а, с -1; z) = 0, (а с+1)ф(а, с; 2)-аФ(а+1, с; z)-{-{с - \)Ф{а, с -1; 2г) = 0, с(с -1)Ф(а, с -1; z)-c(c - l+z)0(a, с; z) + {c-a)г Ф(а, с+\; z) = Q,

-7,о

Рис. 204 и 205. Функция Ф(о, +4,0; Правило дифференцирования функции Ф(а, с; г):

Формула Куммера:

Ф(а, с; г;) = е*Ф(с-а, с; -г).

2. Функция ¥(а, г)

Если £ не есть целое число, то линейно независимым от Ф{а, с; z) решением конфлюэнтно! о дифференциального уравнения является функция

z~Ф{a-c-\-\, 2 -с; z). Вместо нее можно взять функцию

t г[а-Т+1)Ф° г-Ф(а-с+1, 2-е; Z).

Эт(1 последняя с помощью предельного перехода \Р (в, л; г) = 11тЧ(о, с; z)

с-*п

316 XV. КОНФЛЮЭНТНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

- -.-f-

может быть определена и для всех целых значений параметра с. Для п - =0, 1, 2,... получим:

Ч (а, Я4-1; )=г{ФК z)\xxz-\-

+ I ШШШ, ((.+.) (1+.) (1+ +.)1

(п-1)! (д -п)(а -п + 1).--(а -в+А-1) 2*+ Г{а) 2 (1 )(2 )...(* ) fe!

Г fzl

(t()(z)= j-y* в случае я = 0 последняя сумма должна быть отброшена)

Если с не есть целое положительное число, то представление для V(a, с; г) можно получить из следующей формулы, которая справедлива при всех значениях с:

с; 2r) = z*-F{a-с+1, 2 -с; г).

При а и с фиксированных Y (а, с; гг) является (в общем случае) бесконечнозначной аналитической функцией от z с единственной конечной точкой ветвления 2 = 0. При положительных действительных значениях аргумента z-x( эта функция имеет действительную ветвь. При Rea>0, Re > О функция {а, с\ z) допускает интегральное представление

i 1

i ур(а. с; z)=j 5 в-Ч -(1+)- -М

Асимптотическое поведение функции W (а, с; z) при Иа, zc в обла-<ти < aigz < дается формулой

(а + 1)..-(а+в -1)

V п J -

Имеют место следующие рекуррентные формулы:

W{a - l, с; z) - i2a--c+z)W{a, с; z) + a (а-c-f l)F(a+1, c,z) = 0. {a + z)W{a, с; z)-f-a(c-a -l)F(a + l, с; z)-zW{a, c + \; z) = 0,

(c a)Y(a, c; z)-zW{a, c+1; z)-\- W{a-\, c; z) = 0, {a-l+z)W(a, c; z) - W{a-\, c; z) + (a -c +l)¥(a, c\; z)=0,

F(a, c; z) -a¥(a+l, c; z) -Y(a, c-1; z) = 0, (c a l)Y{a, c -1; r)-<c-1+z)a, c; z)-f z¥(a, c + 1; z) = 0.

Правило дифференцирования функции Ч (а, с; z):

3. Функции Н

С помощью функций Ф (а, с; z) и Ч (а, с; z) можно получить такие интегралы конфлюэнтного дифференциального уравнения:

Г7Ф( . с; Z), -z-Q>{a-c-\-\, 2-е; z), F(a, с; z),

e*¥(jc-fl, с; -z)