и вообще

С {Z) (1 (1 -3-*) ..: (1 ~~р-) = 1 +Х ix>\)

где Произведение в левой части р1Спрострзнено на все простые числа, не превосходящие р, а 2 означает суммирование только по тем значениям п>-р, у которых все простые множители больше р.

-а -5 -4 -3 -г -I

4 5 -

Рис. 36. Карта горизонталей рельефа лзета-функцин Рнмана (г).

[Эта функция аналитически продолжается на всю плоскость комплексного переменного z (рис. 35-37). Вдоль действительной оси функция (д:> принимает действительные значения (таблица 26).] При jc>0 справедливо представлен1е

:-б -5 -и 3 -г -1 Q } г 3 k

Рис. 37. Продолжение рис. 36 вверх.

При особенно удобен для вычисления следующий ряд:

jL L

1 г( + 1)(г+2) 720 П?

I г(2Ч-1)...(г+4)

30 240

I 2(2 + 1) ...(2+6) ,

1 209 600 +

1 2(2 + 1) ... (2+8)

47 900 160

7* +

Если положим для краткости zif ==2и, то функция

будет четной относительно i и имеет действительные коэффициенты в разложении по возрастающим степеням Р. Нетривиальные нули -функции, расположенные на прямой х = , являются действительными корнями для функции E(i) (таблица 25).

2. Частные значения С(2л) = (-1У -2 -

С (1 -2я)

2п V

(2п)!*

(л = 1.2,3. ...).

С (6) =

9450

В точке z-\ дзета-функция имеет Полюс]

3. Функциональные уравнения

Ziz I ivUz+2)S(l-2) : . . Таблица 25. Нули +/ап Дзета-фуыкцин Рнмана g (дс)