Таблица 32. Вспомогательные функции h (Л), с (ft) ad (ft)

Если рассматривать интегралы К, Е как функции аргумента x = k*y то получим (аргументы опущены):

пК Е К

dE E-K

jKdx=2[E-(l-Jc)K] = 2x(K-0). JEdJc=-[(H-Jc)E-(l-x)K]. jDrfx= -2E, J(K + D)dx- -2(1-д;)К. j dx= [(4 + x)E + (Зх* 4-- 4)K1,

J Ex = [(9;c*-f д; 4-4)E+(3x*-I-л: - 4)K], (2л+ 3) J Kx *Vx-4(яН-1) J Kx*dx=2x* [Е-(2я4-3)(1 -л)К].

4 (л + D* J Ед? dx-(2л - 3) (2/1+5) J Ex +>rfjc =

= 2;с + {1(2л+1)-(2л+3)х]Е + (1-x)K} (л = 0. 1. 2,...),

- h t2E+(x-l)K], J-dx = - t(4 .2.)E + (.-l)K].

dx==2Yx(K-D),

dX = 2(K-4.)2xD,

l(i-x)Vx

dx = 2VxK.

2.4. K, E и D удовлетворяют гипергеомётрическим дифференциальным

уравненУ1ям [в которых принято обозначение аргумента x~k*]:

1 \ df dE\ -E = (l-x)(xj,.

1 d Г, , dxD

X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Определения и обозначения

Эллиптическими функтяма называются функции, обратные к эллиптическим интегралам.

Эллиптическая функция является двоякопериодической мероморфнои функцией комплексного переменного. Все ее периоды можно представить в виде 2OTa)j + 2n(0j (/ , п-целые числа), где 2tuj, 2a)j, называются парой основных

периодов. Отношение основных периодов т = - является комплексной величи-

ной, и можно считать, что 1тт>0.

Начиная из произвольной точки u, можно покрыть всю плоскость комплексного аргумента сеткой параллелограммов периодов, вершинами которых будут точки fl + 2mfi)j--2/z{0jj (/и, п-целые числа). В силу своей двоякоперио-дичности функция принимает одно и то же значение в соответствуюш,их (гомологических) точках всех параллелограммов периодов.

А. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ 1. Амплитуда Якоби am (я, k)

Если

-неполный эллиптический интеграл 1-го рода, то ф называется амплитудой и:

q>=am( , k).

Она является бесконечнозначной периодической функцие;Й от a~tt-+iu (рис. 60, 61) с точками ветвления*) u = 2; K+(2n-f-1)Кг(/и, л-целые числа) и с периодом 4Kt:

- am(u + 4K , At) = am (и, k).

Далее, имеют место свойства

am(tt + 2K, А5) = я4-ат( , Л), am( 4-2Ki, .am(tt, k),

am(-а, А)==-am(tt, ky,

при u близких к нулю верно представление

am (/К-/ы, &)f=a/ln.

*) Здесь К означает полный эллиптический интеграл 1-го рода К = К {k),KЩ(к), гже k=:zVl-k* .- Прим. ред.

5К -4Н -ЗИ 2Н -К

Рис. 60. Рельеф амплитуды Якоби am (ы, А) при А = 0,8. Четыре заштрихованные поверхности слева означают линии ветвления.

Рис. 61. Карта горизонталей рел1,ефа амплитуды Якоби у-\-щ==Ы!п{и, k) при А = 0,8 (К = 2,00, К= 1,75). Обратите внимание на линии ветвления!