Дзета-функция Вейерштрасса и сигма-функция era определяются как

dtjU

In аи

Рис. 69. Рельеф функций Вейерштрасса ри при (в==К = 2,00, = tK = l,75i, & = 0,8, fe=0,6, е, = 0,453= 1 -f-e = 0,093. е,= -0,546, 1.026, 5==-0,092.

Для действительных нулей ее полинома 5 возможны следующие частные случаи:

э и = - 2е + Зе cth* (УЩи),

е=е=--f

(>0)

g=bel, ©=00, %i

*s = s= 2

£в = - +/3, cth (Кзй),

, = ., д=ущг ty g- , y,sh(/3 ).

г 36j

.= 3.:. <а=.

аи -

V3eJ2

[При gj =О, g,= l получается так называемый эквиангармонический случай

эллиптических функций (рис. 70, 71). В этом случае - j-= , = ---=0,6300, /4/4

= Х7= где!, 8, е*-кубические корни из единицы. Из е=со, опреде-/4

ляется действительный полупериоД ©,= 1,52995.]

4589999

О W гО 50 40 50 60 70

80 90 too 110° 120° 150° 10° 150

О 50 100 150 200 ° 250° 200

Рис. 70 и 71. Функции Вейерштрасса как функцииг = 180° - при gj==0, g, = l.

2. Представления В окрестности и=0 справедливы разложения в степенные ряды

10 7 200 770

> 1 I g I g. * I -g I 3g2g3

** K 20 28 1200 6160

1,11 =

и 60 140 .8400

aa = u

240 840 161 280~-

sn (и Ve, -е.) = , СП (и j, -е.) =

Наоборот,

Для периодов имеем соотношения:

К , iK (д iK

Т- TTI =-тг-

С. ТЭТА-ФУНКЦИИ

1. Определение и представления

Тэта-функции для комплексного переменного v и комплексного параметра х при Rex>0 определяются посредством рядов

-О, (V, к) = 2д* (sin яг - q* sin Зях -f sin 5nv,-...) =

Л = -CO

3. функциональные уравнения ЭЛ. Формулы интегрирования:

radu = r u-~g-lu + g,a, 3,2. Дифференциальные уравнения, приводящие к функциям Вейерштрасса:

= + + л:=6*{ ; 0)-д, =

4. Соотношения между функциями Якоби и Вейерштрасса Функции Якоби, соответствующие модудю

= - (0<:&*<1 для действительных е>е>е)

могут быть выражены через