XII. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)

1. Определения и обозначения

Функциями Лежандра (или сферическими, функциями) называют решения дифференциального уравнения

V(v + l).

да = 0.

Здесь z-комплексная переменная, постоянные v, называемые инексама. также могут быть произвольными комплексными числами. Однако в дальнейшем

Рис. 88. Кривые P..(je)=const в плоскости v, х.

часто -будет предполагаться, что индексы являются действительными целым неотрицательными числами: \ - п [и - т.

В частном случае nt = 0 получается дифференциальное уравнение Лежандра

{l*)$-2-4-v(v.+ .l) -0.

Это уравнение при v = nO имеет своим решением полином P (z), который называется полиномом Лежандра первого рода п-й степени (функцией Ле--жандра первого рода или зональной гармонической сферической функцией 1-го рода).

2. функции лежандра 1-го и 2-го рода 159

Второе решение, линейно независимое от йервого, называется функцией Лежандра 2-го рода (или зональной гармонической сферической функцией 2-го рода). Она является бесконечнозначной аналитической функцией г, точками ветвления которой будут ± 1, На интервале -l<CJf<Cl действительной оси эта функция будет действительной однозначной функцией, которую дальше будем обозначать через Q (х). Далее, в комплексной плоскости, разрезанной вдоль действительной оси от - 1 до 1, она определяет однозначную функцию, которая действительна вдоль полупрямой эта ветвь функции в дальнейшем обозначается через 0 (z).

Для произвольного комплексного индекса v дифференциальное уравнение Лежандра имеет два решения P.,(z), Q,(z), которые являются аналитическими функциями от V и обращаются в P {z), Q {z) при v = п. Очевидно, P v i (г) = = (2). Функции Р,(г), Ql2) - бесконечнозначные, точками ветвления для P{z) будут -1 и оо,.Для Q{z)-±1 и оо. Рис. 88 показывает Р.,{х) для действительных v и х.

Решение при т=0 может быть выражено через решение при т = 0. В общем случае v -л, \i=:m=jO в качестве решений дифференциального уравнения получаем присоединенные функции Лежандра 1-го рода P{z) и 2-го рода

(y{z). Здесь п называется степенью, а т-порядком функции. На действительной оси между точками -1 и 1 обе функции будут действительными и обозначаются через Р (х) и (х). Подобным обр 13ом можно определить в разрезанной от - 1 до 4-1 комплексной плоскости однозначные ветви функций, действительные вдоль прямой а: > 1 действительной оси; они обозначаются через (2) и L. {Z).-

2. Функции Лежандра 1-го и 2-го рода

2.1. Полином (функция) Лежандра P {z) л-й степени может быть определен как

С помощью производящей функции [1-22Г--r*] * можно получить полиномы Лежандра из разложения (выполняющегося для \г\<Стш\г±, Уz - 11)

[\-2zr+rT=P,[z)r

или из разложения (выполняющегося для г > max z ± yz - Ц)

во

.[122гг-Ьг 1-Ь = £р (г) ii.

Разложение Р (г) по степеням г имеет вид

2(2.1 - 1) 2.4.(2л-1){2 -3)

Для действительного аргумента х = cos имеем тригонометрическое представление

Р (cosд) --= 2 2 !fГ~ Н +Т 21 ( ~2) О -Ь 1.3 п{п-1) A% . 1-3-5 п{п-\){п - 2)

+ Г:2 (2 1,(2п-3> С05(Л4) + Т:2ГЗ(2/г-Ь1)(2а-3)(2.-5) ( б> * + -

Если Л-нечетное целое число, то сумма кончается на члене с cosd; если я leTHoe -на члене, не зависящем от созв. причем этот член умножается до-

ifi ГП-!-I-1-I-I-I m I I I I i ! I I Jr% полнительно на .

Функции Лежандра низших степеней (рис. 89, 90, таблицы 38-40):

(л;) = д: = cos д,

=-(3cos2d + I),

=4(5cos3<H-3co5d),

(л;) = 4 (35jc*30x* + 3) = =i(35 cos 4* + 20 cos 2d Н-

Рис. 89. Функции Лежандра 1-го рода P (jc).

f,0 64

л () =(63:-70jc + 15) = (63 cos 5+35 cos 30 +

-1-30 COS*),

(x) = (231x* - 315д:* -f-

-I-105JC -5) =

m го 30 40 so so 70 во 90

{23\ cos 604-126 cos 4&+

-}-105 COS 2d 4-50).

2.2. Функции Лежандра 2-го рода при предположениях, сделанных выше относительно их определения, могут быть при 1 -< л <; 1 представлены в виде

=Р {х) Arth X- V7 (х) =

Рис. 90. Фу акции Лежандра 1 -го рода Р (cos Ь). 2 1 - *

а для комплексного аргумента z вне отрезка - 1 х 1 действительнее оси - в виде

G J)==/ (z) Arcthz--W? , (Z) =i Я (;г) 1п-W-..