Если число n = 2v-1 нечетно, то приближенные значения для собственных значений а., и при больших q (для qnjS) получают из выражений

-а I А л/ТГ , + 1 I л п* + 3 , 5п* + 34п Н-9 , ЗЗп* + 410п + 405 ,

63n+1260n*+2943n + 486 2108п + в2468п*+276 004 166 428 + -.

При больших положительных q четырем функциям

се,д-1(;г, ). 8е, ,(г:, -), se. (2:, ), se (A -)

принадлежит почти одно и то же значение а; это же утверждение справедливо для четырех функций

се, (г:, г), се, (г, -г), se, +(2, </), се., (г, - ).

Для функций се и se имеется а = 0 при следующих значениях q:

л= О 1 2 п велико ==0,11 0,94 2,66 0,109 (2л+1)*

3. Разложение в ряды Фурье Справедливы следующие разложения в ряды Фурье:

CD CD

<je ix) = 2 cos 2rx, ce, +,( ) = S cos 2г -f 1) x,

set. W= S tr sin 2rx, se+, {x}= S B, . .. sin (2r 1) x.

На каждом действительном интервале длины 2л произведение двух различных функций Матье, соответствующих одному и тому же значению параметра q, имеет среднее значение нуль.

В предположениях, сделанных выше, при q->-0 имеем:

4а -да, 4р --и* (/в = 0, 1, 2, ...), се,(г, (?)-сед,(г, д)-►cos/иг, se ( , д)-sinmr (i =l,2, ...).

2. Представления для собственных значении

Если заменить z на я/2 - z ид на -9, то дифференциальное уравнение Матье не изменится и для зшчения параметра -q получаем решения:

-?) = (-1)се.п(-.). , .,(г, -) = {~l) se,+,(г,) ,

5е,Лг. - 7) = (-nse, (-;г,4г), se, +,(. -4) = (~1) се, .,(-г.) .

Таким образом, достаточно вычислить функции для положительных значений q. Представления для первых собственных значений при мальк q таковы:

4a. = 2Y + 2.7-2 .f 94-..., 4= 1 Т8?-8д±8 -- 9*Т .... 4p. = 4-:9* + 9-...,4a. = 4+f9-?.lO&.g*4-.... 4; = 9 + 49. Т8Ч-9*+...,

Ряды сходятся тем слабее, чем больше д. Для коэффициентов А, В справедливы следующие рекуррентные формулы:

a) для се (х):

494. ,о + (1- ). ,.4-29Л, =.0,

b) для seJid):

{\-а)В, ,+2дВ, , = 0, 2?5. . .г-. + (*- ).*, + 2?В, ,.,+, = 0 (/ >1);

c) для се. +, {X):

2, +ь + (т ) 1 + 29Л, +,., = О,

d) для se, +,(x):

Из условия нормировки следует при любом д, любом номере функции и любом первом индексе; . , , .

2Al-\-Al-\-Al+...=Bl + Bl+...=Ai + Al-\-...=Bt-i-Bti-.., = l; для CQ(x) первая сумма равна 2.

4. Нули

€e,(jc)>0; se fey = se, +,fe = ce, +j/f+ 1) jt = 0 (*-целое). Каждая из четырех функций

имеет п действительных нулей строго между х~0 и д: =; эти нули прибли-

жаются к Y Р возрастании д.

5. Функциональные уравнения. Присоединенные функции Матье Функции Матье удовлетворяют интегральному уравнению

ф(г)=Я еsin

Если в дифференциальном уравнении Матье сделать замену независимой переменной t = t[z), то получим;

U) . + 5p- + 4(a-49COs2z).e.=0.

в частности.

t=cos2z: t=cosz:

Если положить t= ±iz, то функции будут решениями дифференциального уравне-

(а-4cb20w = 0.

Полученные аким образом функции Се, (г:) = се, (/гг),

Называются присоединенными функциями Матье. Они действительны для действительных значений аргумента z=X.

О функциях Матье с чисто мнимым q см. Рис. 189. Параметр a = a + ai рнс. 189-191. , ,я=0, 2, при (J чисто мнимом.

0 0.8

0.Б 0,5 0,4 0,3 0.2 O.f О

7 6 5 4

г 1 о

f.5 2.0

Рис. 190 и 191. Параметр a = a + a f, п=0, 2, как функция ~ при чисто мнимом.