стремясь л1Жвядировать первоначально возникшие отклонения х. В этом случае при каждом очередном возврате х к нулю под j\q\i-ствпем управляющего устройства кривая х будет пересекать ось абсцисс все с большей скоростью и процесс в целом будет расходящимся.

В случае устойчивой, системы (рис. 4-1,6) переходный процесс, вызванный как>ш-лпбо воздействием, со временем затухает, и система вновь возвращается в установпвп1ееся состояние.

Таким образом, устойчивую систему можно определить также как систему, переходные процессы в которой являются затухающими.

Приведенное понятие устойчивости определяет у с т о п ч н -в о с т ь установившегося режима систедп.!. Однако система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействий, когда устаповивнпптся режим вбобще отсутствует. С учетом таких условий работы можпо дать следующее, более общее определение устойчивости: [сштема устойчива, если ее выходная величина остается ограниченной в условиях действия на систему ограничетшх по величине возмущений.

Нетрудно показать, что если переходный процесс в системе является затухающим, то система будет удовлетворять и последнему определению. Формальное доказательство этого будет дано в следующей главе.,

Рассмотрим, от чего зависит устойчивость системы, чем она определяется. Обратимся для этого к уравнеипю динамики системы:

x=W,{p)f,

WfxiP) .

W, (р) =

1 + W (р)

(Р) ПАР) Q.p)

Освободившись от дробей в числителе и знаменателе передаточной функции, можно представить ее так:

п соответственно перейти к обычной форме записи в виде дифференциального уравнения:

D{p)xM{p)f. (4-1)

Решение этого линейного неоднородного уравнения в общем виде состоит, как известно, из двух составляющих:

х(0-х, (0-Ь(0- (4-2)

Здесь Xy.{t) - частное решение неоднородного уравнения (4-1) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса; такие ре-

;кимы были рассмотрены ранее; {t) - общее решение однородного уравнения

описывающее переходный процесс в системе, вызванный данным возмущением.

Как показано выше, система будет устойчива, если переходные процессы x {t), вызванныв любыми возмущениями, будут затухающими, т. е. если с течением времени х (t) будет стремиться кнулю.

Решение ж {t) однородного дифференциального уравнения как известно, имеет вид:

(4-3)

) = I

Здесь Cl - постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями и возмущением; - корни характеристического уравпепня

О{Х) = 0, (4-4)

где многочлен D (к) есть левая часть уравнения (4-1) динамики системы после замены оператора дифференцирования р на комплексную переменную к.

Многочлен D (Х) является зпааменателем передаточной функции (р) системы после освобождения в нем от дроби и замены р па Х. Следовательно,

D{k)=R{k) + Q{k), (4-5)

где Л (к) и Q (Я) - числитель и знаменатель передаточной функции W (р) разомкнутой системы при замене р на к.

-Таким образом, переходный процесс х (t) представляет co6oii: сумму составляющих число которых определяется числом корней ?ij характеристического уравнения (4-4), т. е. порядком уравнения системы.

В общем случае корни к являются комплексными. При этом, они образуют пары сопря;кепных корней:

где а; может быть положительной или отрицательной .величиной.

Каждая такая пара корйей дает в выражении (4-о) составляю щую переходного процесса, равную

. -C;e°i-sin(a. + 9,),

где Ci и (pj определяются через С- и С,.

Как видим, эта составляющая представляет собой синусоиду с амплитудой, изменяющейся во времени но экспоненте. При хэтом, если а; < О, эта составляющая будет затухать. Наоборот, при > О получатся расходящиеся колебания. Если - О, что

1 1 1 I

соответствует паре мнимых корней, будут незатухающие синусоидальные колебания.

Таким образом, условием затухания данной составляющей нореходного процесса является отрицательность действительной части a.j соответствующей нары сопряженных корней характеристического уравнения.

В частном случае, когда = О, имеем действительный корень Xj - ОС;. Соответствующая ему составляющая нереходпого процесса Cei представляет собой экспоненту, которая будет затухать или увеличиваться тоже в зависимости от знака а,-.

Итак, в общем случае переходный процесс в системе состоит из колебательных и апериодических составляющих. Каждая колебательная составляющая обязана своим появлением паре комплекс-пь1х сопряженных корней, а каи;дая апериодическая - действительному корню.(Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходпого процесса в целом является отрицательность действительных частей всех корней харакпгеристического уравнения системы, tn. е. всех полюсов (нулей знаменателя) передаточной- функции системы.

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся, составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой. Наличие пары сонряжен- пых чисто мнимых корней - dz/P; даст незатухающую гармоническую составляющую переходного процесса. При этом в системе установятся нёзатухающиеколебания с частотой, равной (3. Этот случай является граничным между устойчивостью и неустойчивостью - система при этом находится иа г р а н и ц е устойчивости. Такая система, очевидно, также иеработоснособна, как и неустойчивая.

Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости (рис. 4-2), то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т. е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости и.т, короче, все они должны быть левыми.

Наличие корня на мнимой осн означает, что система находится на границе устойчивости.

Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корней ее характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым

Рис. 4-2. Корни характеристического уравнения системы на комплексной плоскости.

об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.

Существуют три основных критерия устойчивости: критерий Рауса - Гурвица, критерий Михайлова и критерий Найквиста. Рассмотрим их последовательно.

§ 4-2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА - ГУРВИЦА !\

Это алгебраический критерий, по которому условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Е. Раусом и затем швейцарским математиком А. Гурвицем в конце прошлого века. Приведем без доказательства этот критерий в форме Гурвица.

Возьмем многочлен

(4-6)

где полагаем а > О, что всегда можно обеспечить умножением многочлена на -1. Составим из коэффициентов этого многочлена

определитель

О fli Яз I 5 О Оо 4 6

(4-7)

Этот определитель называется определителем Гурвица. Оп имеет п строк и п столбцов. Первая строка содерн;ит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется до положенного числа п элементов нулями. Вторая строка включает все четные коэффициенты и тоже заканчивается .нулями. Третья строка получается из. первой, а четвертая - из второй сдвигом вправо на один элемент. На освободившееся при этом слева место ставится нуль. Аналогично сдвигом вправо на элемент получаются все последующие нечетные и четные строки из предыдущих одно-июнных строк.

В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме Яо-

Условие устойчивости заключается в требовании положи-т е л ь о с т и он редел и теля Гурвица и всех его диагональных миноров.

Эти миноры отчерчены н выражении (4-7) пунктирными линиями.

Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных значений п.

Для п - 1 -

и условия устойчивости сводятся к норавеиствам:

о>0; а,уО.

Отсюда, например, звено первого порядка с передаточной функцией TFTn является устойчивым, а звено с передаточлой фухш- * к

циеп ~-J - неустойчивым. Для /2 = 2

Условия устО[1Чнвостп:

о>0; 1>0; .2>0

(к последнему неравенству сводится неравенство Д., > 0. если учесть предыдущее неравенство а, > 0).

Например, звено с передаточной функцией у ,... + i устойчиво, если перед всеми членами в знаменателе стоит знак плюс.

Для /г = 3

D (к) = ак + арс + 2 + .з; 1 3 Аз = о 2 О

О Oi Аз

Условия устойчивости:

о>0; 1>0;

о 2

С учетом условия Aj > О последнее неравенство сводится к Сз > 0. Таким образом, в целом эти условия устопчивости заключаются в положителБиости всех коэффициентов п предпоследнего мннора А..

Для п = 4

D (к) = Of,k + пк + а.,к -f- зА.4 а., О О

о 2 4 О

О a.j О

О о 2 4

Д4 =

Условия устойчивости:

о>0; Oi>0; Д2 = 0102 - о ,ч>0; О

A3 = О3Д2 - 1

= зА2 -oia4>0;

Д4 = а4Дз>0.

Таким образом условия устойчивости опять сводятся к требованию иоложительностп всех коэффициентов и предпоследнего минора A3. (Условие До > О при этом вытекает из неравенства Ау >-0 с учетом того, что > 0.)

Для д = 5 ,

D (к) = ао>.5 -1- ак,+ аЛ + а;,Г + ак +

Условия устойчивости, если действовать аналогично, сведутся здесь к положительности всех коэффициентов и двух миноров: Д2 и предпоследнего А,.

Можно показать в общ~ем случае системы п-то лорядка, что в условия устойчивости в качестве их части входит требование положительности всех коэффициентов уравнения. АпгГлиз устойчивости надо начинать с проверки этого простого, необходимого, по недостаточного условия устойчивости. При его невыполнении, естественно, отпадает надобность в составлении и проверке остальных неравенств.

Условия устойчивости, получаемые из критерия Рауса - Гурвица, как видно из изложенного, усложняются с ростом порядка системы. При этом для систем достаточно высокого порядка оказывается затруднительным выяснять влуяние на устойчивость системы значений отдельных параметров звеньев, входящих в состав коэффициентов уравнения. Это связано тем, что, как правило, одни и те же параметры одновременно входят в несколько коэффициентов уравнения системы. Поэтому критерий Рауса - Гурвица применяют только для систем невысокого порядка и прежде всего для анализа устойчивости, когда-вадо определить, устойчива ли система при известных значениях всех еЬ параметров. При решении задачи синтеза системы, когда требуется выбрать значения отдельных параметров системы, критерий Раус - Гурвица становится неудобным уже для систем выше четвёртого порядка.