л. а. X. i? районе ,частоты среза должен быть не более 20 дб1де.к, а ширина этого участка и величина частоты среза определяются заданным значением колебательности н длительности переходно!! характеристики спстемы (см. приложение 3).

Высокочастотный конец л. а. х. не имеет существенного значения для качества переходного процесса, сказываясь только в самой начальной его части. Поэтому эту часть л. а. х. при синтезе регламентировать не следует - она уточняется в ходе реализации требуемой л. а. х. соответствующей структурной схемой.

Низкочастотная часть л. а. х., прилегающая к нулевой частоте, которая сама в логарифмических координатах отсутствует, определяет установившиеся детерминированные режимы САУ. Поэтому эту часть л. а. х. выбирают, руководствуясь требовани-ят\ к точности в этих режимах. Порядок астатизма систедгы определяет наклон низкочастотной части л. а. х.: у статических систем он равен нулю, при первом порядке астатизма наклон - 20 8б1дек, при втором порядке -40 дбЮек и т. д. Уровень этой части л. а. х. определяется требуемым коэффициентом передачи: он равен 20 Ig к у статических систем и той же величине при w = 1 у астатических. (Действительно, у интегрирующего звена L (со) - = 20 jg- к - 20 Ig (О, т. е. L (1) = 20 Ig к.)

Продлением низкочастотной части до начала ранее выбранной средаечастотной частп получают требуемую л. а. х. разомкнутой САУ.

2. Определенпе л. а. х. в а р ь и р у е м ой част и САУ. Как правило, при синтезе САУ мы не имеем полной свободы в выборе всей ее структурной схемы. Часть системы и прежде всего объект управления оказываются заданными или однозначно выбираются по другим соображениям.

Вычитая из требуелюй л. а. х., найденной выше, л. а. х. известной части системы, находят л. а. х. неизвестной пока, т. е. варьируемой, части системы. Добавка ее к известной части САУ обеспечит получение в целом требуемой л. а. х., а следовательно, и требуемо!! переходной характеристики.

3. Определение передаточной функции варьируемой части САУ. Эта функция определяется по найденной л. а. х. с помощью известных методов теории цепей [3].

Колебательность и длительность переходной характеристики могут быть определены и по действительной (со)

lurir м н и м о ii (со) ч а с т о т н ы м х а р а к т е р и с т и к а м замкнутой с и с т е мы. При этом, поскольку эти характеристики однозначно связаны не то.лько у минимально-фазовых, но и у всех устойчивых систем (см. § 2-3), точная оценка качества переходных процессов в любой устойчивой системе может быть осуществлена по любой из этих характеристик.

Как и в случае использования а. ч. х. A3 (со), колебательность п длхггельность переходного процесса зависят здесь от относительного мак(1имума и ширины частотной характеристики.

На рис. *5-2, б приведены различные фордгы характеристики t/g (со). В случае вогнутой характеристики 1 переходная характеристика не имеет перерегулирования. В случае Kpnaoii 2 (относительный лшксимум t/g. макс/з (0) - 1) величина иеререгулиро-вапия о 5 18%. Кривые 3 и 4 соответствуют колебательной переходной характеристике, причем величина перерегулирования растет с увеличением относительного макси.\гу.ма макс/з (*)-При Us. макс/з (0) °° колебания возрастают до незатухающих, т. е. система приходит на границу ycToitMUBOCTu. В случае кривой 3 при f/з. макс/з (0) = 1,2 величина о < 50% , при m,JU (0) = = 1,5 величина g:s80?o. Наличие мнинмудиг у характеристики (кривая 4 на рис. 5-2, б) также увеличивает колебательност1> переходной характеристики.

Длительность переходной характеристики в первом приближении оценивается нпрнной характеристики (со), определяемой значением частоты а , при котором положительная часть f/g (о)) становится меньше 0,2 (0). Величину со называют интервалом положительности (со). При этом всегда длительность переходной характеристики

. (5-5)

В случае характеристики (о)) в виде кривой 1 нарис 5-2, б

.(5-6)

Для кривой 2 на рис. 5-2, б

(5-7)

Для кривых 3 и 4 на рис. 5-2, б -ноже связано с со обратно пропорциональной зависимостью, аналогичной (5-7). Однако значение коэффициента пропорциональности в этом случае завпснт от величины относительного максимума характеристики (со), увеличиваясь вместе с ним. При этом оно может быть значительно больше величины, стоящей в (57).

Более детальные п точные зависилшсти, связывающие показатели переходной характеристики системы с ее характеристикой

(со), а также с V- (oj), имеются в работах [4; 10].

В целом характеристики 17 (оз) и (oj) позволяют наиболее точно оценить качество переходного процесса, хотя и требуют бблыией трудоемкости, чем, например, при применении л. а. х. С их помощью можно также графическим способом построить, весь переходный процесс х (t). Последнее будет показано в следующей главе.

. Решение задачи синтеза САУ на заданное качество нереходно--го процесса с помощью действительной или мнй.мой характеристик начинается, как н в случае применения л. а. х., с построения

требуемой характеристики. После этого выбирают передаточную функцию варьируемой части системы, которая обеспечивает получение требуемой в целом характеристики. Для нахожденпя варьируемой части системы, особенно в случае минимально-фазовых систем, удобно использовать л. а. х., переходя к ним с помощью номограмм (см. § 1-5).

Выше рассматривалась связь частотных характеристик системы с качеством ее переходной характеристики. Изложенные методы можно распространить па случай оценки качества переходного процесса, вызванного не единичным ступенчатым, а произвольным воздействием, путем предварительного преобразования структурной схемы системы с произвольным воздействием в эквивалентную ей схему с воздействием в виде единичной ступеньки. Для частотных характеристик это вводится к переходу к так называемым обобщенным частотным характеристикам, которые будут введены в следующей главе.

§ 5-3. КОРНЕВЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ Р/ ПРОЦЕССОВ , Ь .

Эта группа критериев основана на оценке качества переходных процессов по значениям полюсов и нулей передаточной функции системы, т. е. по корням ее знаменателя и числителя.

Передаточная функция системы, связывающая выходную величину хс каким-либо воздействием /,

ь(Р) l+W{p)-D{p). D ip) = а,р -f -f... + a j/j -f а,-

. М ip) = b,y -Ь +... + Ь , ,р -f & ,.

. (5-8)

Разложив многочлены в числителе и знаменателе на множители, передаточную функцию системы можно представить в виде:

> h\l{p-%oj)

(5-9)

где X,; - полюсы передаточной функции; - нули передаточной функции, зависящие от места приложения воздействия. Отсюда видно, что полюсы и нули с точностью до постоянного коэффициента bja определяют передаточную функцию системы. Следовательно, изучая их расположение в комплексной плоскости, можно судить о качестве переходных процессов в системе.

Напомним попутно, что при исследовании устойчивости нас интересовали только полюсы передаточной функции, а здесь при рассмотрении качества оказывается необходимым учитывать и ее

нули. Только в частном случае, когда передаточная функция не имеет нулей, т. е.

И(р)=--;° (5-9Й)

Оо 11 {Р - U)

качество переходных процессов тоже определяется только полюсами передаточной функции.

Начнем с этого частного случая, т. е. рассмотрим, как качество переходных процессов в системе зависит от полюсов ее передаточной функции.

В общем виде переходный процесс в системе, описываемой передаточной функцией (5-8), т. е. уравнением

D{p)x = M ip) /,

имеет вид (4-3):

n(o=i;c/

i = l

(5-10)

где по-прежнему - корни характеристического уравнения, т. е: полюсы передаточной функции, а - постоянные интегрирования, зависящие для данной системы от места приложения и-величины воздействия /, а также от начальных условий.

Согласно выражению (5-10), как уже было показано в § 4-1, переходный процесс в устойчивой системе распадается на затухающие апериодические и колебательные составляющие. Первые определяются действительными корнялш характеристического уравнения, а вторые - парами сопряженных комплексных корней.

Если найти длительность самой длительной составляющей и величину колебательности самой колебательной составляющей, то по ним можно оценить сверху величины длительности и колебательности всего переходного процесса.

Покажем, как дюжно найти указанные величины.

Критерий длительности - степень устойчивости т]. Время затухания отдельной составляющей переходпого процесса в (5-10)

определяется величиной е° , т. е. е где Т=-.

постоян-

ная времени затухания, а - действительная часть г-го корня характеристического уравнения (см. §4-1). Можно считать, что длительность данной составляющей i- 3 Т. (Вспомним, например, переходные характеристики звеньев первого и второго порядков, рассмотренные в §1:4.) Таким образом, длительность отдельных составляющих переходпого процесса пропорциональна их постоянным времени затухания, т. е. обратно пропорциональна абсолютному значению действительной части определяющих их корней характеристического уравнения. Наиболее длительной составляющей является, следовательно, составляющая, соответствующая корню с минимальной величиной действительной части I а

мин-

Абсолютная величина а \ д, называется степенью у с-т о ii ч н в о с т и и обозначается

Л I а 1м н

При этом длительность всего, переходного процесса будет

(5-М)

Название степень устойчивости связано не с рассматриваемым здесь вопросом, а с тем, что эта величина а. \ геометри-

Рис. 5-.3. Корневые критерии качества переходных процессов.

чески представляет собой расстояние от мнимой оси до ближайшего корня и, таким образом, служит мерой удаления системы от границы устойчивости, которой в комплексной плоскости является мнимая ось.

На рис. 5-3, а дана соответствующая иллюстрация для случая, когда ближайшим к мнимой оси является действительпый корень. В равной мере это может быть и пара сопряженных комплексных корней.

KpHTepnii колебательности - степень колебательности jii. Коле-ба1ельность колебател bTioii составляющей переходного процесса (см. §4-1)

CdV з1п(Р,г + ф,)

определяется отношением соседних максимумов (рнс. 5-3, б):

Здесь, согласно рпс. 5-3, б, т,- = 2л/р, - период колебатгий дап-пон составляющей.

Таким образом, колебательность равна е или, так как

- 2я

а. < О, е . Следовательно, мерой колебательности явля-ется отношение -г-,- 1ем оно больн]е, тем больше колебательность

i Oij.l

составляюш,ей переходного процесса. Наиболее колебательной является составляющая, у KOTopoii это отношение максимально. Соответствующая величина обозначается

и называется степенью колебательное т и. Она является оценкой сверху колебательности всего переходного процесса, т. е. его колебательность

п. макс 2 и. макс 1

11 .

(5-12)

В комплексной, плоскости корень, определяющий наиболее колебательную составляющую, соответствует наибольшему значению угла y = tg между лучом, направленным через корень

из начала координат, и fleucTBHTCTbHoii осью (рпс. 5-3, в).

Значения степени устойчивости г\ и степени колебательности \х можно определить через параметры системы с помощью критериев устойчивости. Покажем, например, как это делается с помощью критериев, использующих лпюгочлеп

Z) (;.) = йоЧ-ar-i +...-f a j>vа

(критерии Рауса - Гурвица- и Миха11Л0ва).

Введем новую переменную q подстановкой в D (к)

(5-i:

где 1] - пока неизвестная положительная действительная величина.

Раскрыв скобки двучленов [q - т) по формуле бинома Ньютона, получим noBbiii многочлен

D (гу) = hW + b,q- +.... + b .q -f б ,

коэффициенты 6- которого определены через коэффициенты многочлена D {%) и неизвестный параметр rj.