Нули D (q)

Яг. i+l = ( i + л) ± /Pi = - (1 i I ~ л) ± /PiV.

Они отличаются от нулей D {Ц

ТОЛЬКО уменьшением действительной части на величину 1], так как, согласно (5-13), переход от D (к) к D (q) соответствует в комплексной плоскости смещению мнимой оси влево на r\.

Применив критерий Рауса - Гурвица или Михайлова, можно аналогично, например, тому, как в §4-5 находилось критическое по устойчивости значение коэффициента передачи системы, определить критическое значение г\ как варьируемого параметра, прп котором многочлен D (q) окажется на границе устойчивости , т. е. приобретет корень па смещенной влево мнимой оси (рпс. 5-3, а). Очевидно, это значение л будет искомой величиной степенп устойчивости г) = \а

Если стоит задача синтеза, когда надо выбрать какой-либо варьируемый параметр системы с учетом его влияния на степень устойчивости ц, следует по обычной методике построения границы устойчивости построить по многочлену D-{q) зависимость предельного по устойчивости значения ц от этого варьируемого параметра в виде границы устойчивости в плоскости г) и данного варьируемого параметра.

В случае двух варьируемых параметров строятся границы устойчивости в их плоскости для ряда значений ц по многочлену D {q). Граница, соответствующая i] = О, очевидно, явяяется границей устойчивости реальной системы, соответствующей многочлену, D {Х).В результате внутри действительно! ! области устой-Ч1!вости системы получаем линии равной степени устойчивости ц (см. рис. 5-3, г, где y]i < Цо. < Цз < Цд Таким образом, для любой точки внутри области усто1!чивости можно, интерполируя, указать величи1!у У] и соответственно максимально возмоя{ную дл!!-тельность переходного процесса.

Аналогично находится степень колебательности .i и строятся лин1!и равных значениГ! При этом делается следующая замена переменной:

k = -/qeiy, (5-14)

где у = arclg х.

Если подстановка к = q - г\ означает параллельное смещение влево MHHMofi оси, то подста1!Овка (5-14) соответствует повороту

мнимой Оси против часовой стрелки на угол l-- - Yj.

Искомое значение ,и при анализе определяется значением параметра у, при котором полученныхг после подстановки (5-14) многочлен D (q) окажется на границе устойчивости , т. е. один из его корней попадет иа мнимую ось в результате поворота послед-нет!.

Как б!>тло отмечено выше, оценка длительности и колебательности переходных процессов в системе по значениям г\ и [i является оценкой сверху, т. е. действ11тельны!1 переходный процесс может иметь значительно лучшее качество. Это будет в том случае, когда составляющие про!;есса, по которым определяются значения ц и 1-1, малы по сравнению с другими составляющими, т. е. соответствующие им постоянные интегрирования в сумме (5-10) малы по сравнени!0 с постоянным!! интегрирования других составляющих.

Рассмотренная методика оце11Ки качества переход1!ЫХ процессов по расположению корней характеристического уравнения, т. е. пол!осов передаточной фупктщи, в комплексной плоскости пригодна только для систем, передаточные функции которых не имеют нуле!!, т. е. имеют вид (5-9а) (и при этом только для нулевых началы!ых условш!). В общем. случае, когда передаточная функция (5-8) !шеет 1!ули, т. е. может быть представлена в вттде (5-9), при 0!1,епке качества необходимо учитывать и эти нули или другими словами, правую часть М {р) уравнен1!я системы. Оценка качества только по полюсам передаточной функции в этом случае может дать большу!0 ошибку, причем в любую сторону, т. е. . действительный переходный процесс может быть как лучше, так и хуже.

Вместе с тем, при прочих равных условиях и в этом случае качество переходпого процесса будет тем луч!ие, чем больше ц и меньше х. Таким образом, при выборе варьируемых параметров в общем случае системы учет значе1!!1Й 1] и х имеет определенных! смысл.

Чтобы пояснить характер влххяния нулей передаточной функции па качество переходхюго процесса, представим формально

М (р)

показано

С!!стему с передаточной функцией , рис.5-3,5,в виде последовательного соединения зве1!а с передаточнохг функцией j., не имеющей нулей, и звена с передаточной функ-

D(p)

циеи

М (р) = боР + ЬгР - +... + Ъ ,р -V Ъ,

дающего на выходе сумму вход!Хого возде11ствия и его т пропз-водных. Оценка качества переходного процесса с помощью т] и ц справедлива для кр!хвой переходного процесса величины у на выходе первого звена. На выходе второго звена кривая у {t) будет дополне1!а составляющими, представляющими собой производные у (t). В результате члены М (р) с положительным!! коэффициентами bi приведут к повышению колебательности xi убы-стреншо переходного процесса, а отрицательные члены, наоборот, - к затягивапхно процесса х {t) на выходе по сравненпхо с процессом-г/ (t).

Сказанное иллхострцруется на рис. 5-3, е на примере произвольной кривой у (t) для М (р) = Ьор -Ь х- Кривая 1 соответствует

5 Е. !1. Юревич

feo > о, а кривая 2 - bo < О (принято = 1). На том же рпс. 5-3, е приведены вторая у и третья у производные у, которые следует прибавить к кривой у (t) (или вычесть из нее) при М (р) соответственно второго и третьего порядков.

Таким образом, действительно, наличие пулей у передаточной функции, т. е. наличие в ее числителе М (р) членов с р, может существенно влиять на качество переходного процесса в направлении, определяемом знаками этих членов.

Например, в случае системы автоматического регулирования, изображенной на рис. 1-19, переходный процесс, вызванный возмущением в виде изменения нагрузки, описывается передаточной функцией (1-95), имеющей три левых нуля, а переходный процесс прп изменении уставки регулятора определяется передаточной функцией (1-96) с одним левым нулем. Соответственно процесс регулирования при изменении нагрузки будет существенно более колебательным, чем при изменении уставки.

Заметим, что аналогично влияют на переходный процесс и ненулевые начальные условия, т. е. непулевые значения производных выходной величины х в начале переходного процесса. Это очевидно, если вспомнить, что решение неоднородного дифференциального уравнения, т. е. уравнения с правой частью, эквивалентно решению однородного уравнения при соответственно измененных начальных условиях.

Рассмотрим теперь другой корневой метод, предназначенный для синтеза САУ на заданное качество переходного процесса и основанный на использовании формул Виетта, которые выражают корни уравнения через его коэффициенты [5]. Все сказанное выше об ограниченности корневых критериев относится и к* этому методу.

Пусть имеем характеристическое уравнение системы: оГ + а,Г- + ... + а ,1 а = 0.

Коэффициенты уравнения определяются параметрами системы, которые надо выбрать по условию обеспечения требуемого качества переходного процесса.

Разделив это уравнение на а, перепишем, его в другой форме:

Я + а[Г- + а.;Г-2 +... + ап-у1 + < - 0. (5-15)

Как известно, по формулам Виетта коэффициенты уравнения (5-15) можно выразить через его корни: а\ = ЪХ, ak = аз равен сумме произведений трех корней и т. д., а,) = Wk.

Если теперь, исходя из требуемого качества переходного процесса, задаться расположением корней характеристического уравнения в комплексной плоскости, т. е. действительными частями корней, определяющими длительность составляющих переходного процесса, и отношениями мнимых и действительных частей, определяющих колебательность этих составляющих, то по формулам Виетта можно найти значения коэффициентов характеристического

уравнения пли соотношения между ними, из которых определятся искомые зпачепия варьируемых параметров системы.

Обратим прежде всего особое внимание па последний коэффициент йп- Так как он равен произведению всех корней характеристического уравнения, то чем больше его величина, тем при прочих равных условиях будут больше действительные части корней и, следовательно, короче переходный процесс в системе. В частности, если все корни действительные и кратные, то они равны

а = - i/й;, .

Уравнение (5-15) удобно привести к такому виду:

Г -f A.Qk- + AQiK- +... -f /1д 1Г + Щ = 0. (5-16)

Здесь коэффициент - У - так называемый среднегеометрический корень. В комплексной плоскости он определяет точку па действительной оси, являющуюся геометрическим центром всех корней характеристического уравнения. В случае кратных действительных корней Qq - -а, т. е. определяет этот корень.

Таким образом, Qq характеризует среднюю длительность всех составляющих переходного процесса, т. е. является мерой длительности всего переходного процесса.

Если задаться отношением мнимой и действительной чаете!! корней, что определит колебательность соответствующих составляющих переходного процесса, а также отношением действительных частей, что определит отношение длительностей соответствующих составляющих переходного процесса, это однозначно определит безразмерные коэффициенты А уравнения (5-16). Выбор же коэффициента Qq при этом дает абсолютные значения действительных корней и, следовательно, длительность процесса. Иными словами, коэффициенты А; определяют взаимное расположение корней в комплексной плоскости, а коэффициент Qo - расстояние всей группы корней от мнимой оси. При этом коэффициенты А; определяют кривую переходного процесса в относительном времени Qt, а величина Qq - масштаб времени.

В связи с введением величины Qq попутно заметим, что в а = aja входит коэффициент а , который зависит от коэффициента передачи системы: у статических систем оп равен 1 -- /с, а у астатических - просто к. Отсюда следует уже известный нам факт, что с ростом коэффициента-передачи системы должно расти ее быстродействие. Таким образом, через коэффициент Qq связ1>1вается быстродействие системы с зависящей от коэфф1щиента передачи точностью в установившихся режимах.

Если принять в качестве оптимального переходного процесса процесс с одним перерегулированием (он быстрее монотонного процесса и вместе с тем по существу еще не является колебательным), то для него можно указать следующие оптимальные

расположения корней в комплексной плоскости и соответствующие значения коэффициентов характеристического уравнения (5-16), обеспечивающие максимальное быстродействие в безразмерном времени или, другими словами, при неизменном значении Qq [11]. Все корпи имеют одинаковую действительную часть ц. Мнимые их части образуют арифметическую прогрессию, т. е. р.. = -\-у, причем (3i = у. Для каждого порядка характеристического урав-иепня имеется определенное оптимальное отношение у/ц, обеспечивающее максимальное быстродействие. Оптимальные значения коэффициентов характеристического уравнения (5-16) для урав-. нешпг до восьмого порядка даны в табл 5-1.

Таблица 5-1

Оптимальные значения коэффициентов характерпстпческого уравнения

Еслп указанные в табл. 5-1 значения коэффициентов реализовать трудно, можно в качестве оптимального взять несколько более медленный переходный процесс, соответствующий кратным комплексным корням с отношением р/а = 0,66. (В этом слае при нечетном порядке уравнения один корень будет действительным.) Соответствующие значения коэффициентов уравнения (5-16) даны в табл. 5-2,

Таблица 5-2

Значения коэффициентов характеристического уравнения при кратных комплекс1п>1х корнях

Если передаточная функция замкнутой системы имеет нули, они вызовут, как было показано выше, увеличение колебательности переходной характеристики. В результате переходная

характеристика системы, корни характеристического уравнения которой соответствуют табл. 5-1 и 5-2, будет иметь большое перерегулирование. Поэтому в данном случае рекомендуется переходить к чисто действительным корням, образующим арифметическую прогрессию.. Соответствующие значения коэффициентов уравнения (5-16) приведены в табл. 5-3.

Таблица 5-3

Значсипя коэффициентов характерпстпческого ураппенпя в случае действительных корней, образующих арифметическую нрогрессню

Такие же значения коэффициентов рекомендуются для астатических систем с астатпзмом первого порядка. Для этого случая в табл. 5-3 приведены значения добротности по скорости. Кроме того, в таблице указаны значения перерегулирования а.

Для систем с астатизмом второго порядка рекомендуется располагать действительные корни по геометрической прогрессрш. Соответствующие значения коэффициентов уравнения даны в табл. 5-4. Здесь же приведены значения добротности по ускорешпо.

Таблица, 5-4

Значенпя коэффициентов характеристического уравнения в случае децствнтелыи.1х корней, образующих геометрическую прогрессию

а[%]