- Задавать любое желаемое расположение всех корней характеристического уравнения и соответственно выбирать все коэффициенты уравнения (5-16), как предполагалось выше, можпо только при наличии достаточно большого количества независимых варьируемых параметров. Однако очень часто при синтезе САУ получается так, что только часть коэффициентов характеристического уравнения может быть изменена. Остальные коэффициенты оказываются фиксированными, т. е. не содержат варьируемых параметров. В этом случае свобода выбора расположения корней в комплексной плоскости ограничивается и приходится располагать их следующим образом. Из всех корней характеристического уравнения выделяют два или три основных корня, которые должны определять качество переходного процесса. Остальные корпи задвигаются в глубь левой комплексной полуплоскости путем наложения соответствующего требования на величины их действительных частей по сравнению с действительными частями основных Kopneii. Отношение мнимой и действительной частей этих корней не регламентируется, поскольку в силу быстроты затухания определяемых ими составляющих переходного процесса они скажутся только на самом начале процесса.

Основные корни выбираются в зависимости от желаемого вида переходной характеристики. Для получения апериодического процесса, а также при наличии нулей у передаточной функции замкнутой системы основные корпи берутся действительными кратными. Однако чаще в качестве оптимальной переходной характеристики принимают характеристику с одним перерегулированием. В этом случае выбирают пару комплексных сопряженных основных корней и для снижения перерегулирования еще один действительный корень, равный действительной части -комплексных корней. Отношение мнимой и действительной частей комплексного корпя рекомендуется брать равным я/2, что соответствует колебательности данной составляюще!! в2% (за один период колебаний амплитуда затухает на 98--о). Удалить остальные корни от мнимой оси можно, располагая действительные части всех корней по геометрической или арифметической прогрессии, начиная с основных корней, или любым другим способом.

Если задать такие требования к расположению корней характеристического уравнения, то этим определится только часть коэффициентов уравнения (5-16), остальные же могут иметь любое значение, т. е. не быть варьируемыми. Так решается задача определения значений коэффициентов характеристического уравнения, содержащих варьируемые параметры. Разумеется качество переходного процесса при этом получается хуже, чем в случае свободного выбора всех коэффициентов характеристического уравнения.

Таким образом, общий порядок синтеза изложенным способом состоит в задании распределения корней характеристического уравнения в комплексной плоскости, определении соответствующих

значений коэффициентов характеристического уравнения (5-16) и, далее, в выборе значений входящих в эти коэффициенты варьируемых параметров системы (коэффициентов передачи и постоянных времени отдельных звеньев), обеспечивающих требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения.

Описанная методика синтеза с выделением двух или трех основных корней основана, как мы видим, па общей идее оценки качества переходного процесса по степени устойчивости ц и степени колебательности Подробнее об этом варианте синтеза при ограниченном числе варьируемых параметров см. в работе [121.

Кроме описанных аналитических корневых критериев качества переходного процесса, существует графоаналитический метод корневого го до графа [3], который позволяет строить траектории полюсов и нулей передаточной функции, т. е. их годографы, при изменении каких-либо варьируемых параметров спстемы и таким образом связывать значения этих параметров с качеством переходных процессов.

§ 5-4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ- КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ :

Косвенной оценкой качества могут служить следующие интегралы:

,2 у2

сН j J

(5-17) (5-18) (5-19)

Здесь Д (ж) = ж (оо) - X {t) - отклонение выходной величины х от нового установившегося значения х (оо), которое будет после окончания переходного процесса.

Целесообразность применения этих критериев заключается в том, что существуют готовые формулы, выражающие их через коэффициенты передаточной функции системы [8; И],

Первый интеграл геометрически представляет собой заштрихованную на рис. 5-4, а шшщадь. (Первый переходный процесс на рис. 5-4, а вызван возмущением, второй - изменением задающего воздействия.) Чем меньше эта площадь, тем предпочтительнее переходный процесс.

Этот и все остальные иптегральпые критерии качества используются для определения оптимальных значений варьируемых параметров. Само по себе абсолютное значение интеграла Д при

этом роли не играет. Используя готовые выражения для /, через коэффициенты передаточной функции систедгы, в конечном счете получают выражение для этого интеграла через варьируемые параметры системы. Затем обычным образом можно найти оптимальные значения этих варьируемых параметров, соответствующие минимуму 1у.

Интегральный критерий Д применим только к системам, о которых заведомо известно, что у них переходные процессы монотонны, т. е. X (оо) - х (t) пе меняет знака. Это резко ограничивает возможность данного критерия. Если переходный процесс колебателен, то величина Д не может служить мерой его качества, так

Рпс. 5-4. Интегральные t критерии качества пе-реходны.х процессов.

как площади разного знака под кривой переходного процесса будут вычитаться друг из друга. Например, ухудшение качества переходного процесса прп переходе к незатухающим колебаниям (рис. 5-4, б) будет сопровождаться уменьшением Д до нуля. Поэтому в случае возможности колебательного переходного процесса следует применять квадратичный интегральный критерий /2 (5-18), в котором знаки площади не принимаются во внимание.

Выбор варьируемых параметров по минимуму 1, как показывает опыт, дает колебательный переходный процесс обычно с довольно большой колебательностью. Поэтому в тех случаях, когда такой процесс неприемлем, переходят к интегральному критерию 7з (5-19).

Интеграл /3 состоит пз двух частей, т. е. может быть пред-, ставлен в виде двух интегралов. Первый является прежним интегралом /о от (Д.г-) а второй - интегралом от (] Если при

одном и том же значении площади переходного процесса, т. е. неизменной величине первого интеграла, замедлить переходный процесс во времени, то пропорционально уменьшится второй интеграл от квадрата скорости изменения х. Поэтому при вариацпи

какого-либо параметра минимум интеграла /3 по сравнению с интегралом /2 будет при более медленном, а следовательно, и менее колебательном переходном процессе. При этом степень замедления процесса определяется выбором величины коэффициента Т, определяющего относительный вес составляющих интеграла /3 от Ах dAx

Разницу между критериями 1 и /д можно пояснить еще следующим образом. В случае нереходпого процесса, показанного на втором рис. 5-4, а, идеалом, при стремлении к которому 1 -у О, является ступенька высотой х (оо). В случае же критерия /3 идеальным переходным процессом, к которому мы стремимся,

минимизируя /3, является экспонента на втором рис. 5-4, а). Действительно,

1 - е j X (00) (пунктир

со 00

- 12TAx dt==l [Ax T dt - T\Ax iO)Y.

Таким образом, /3 будет минимален при Ах-{-Т - = 0, т. е. когда Ax{t) = Ax{0)e или, так как Да; (t) = х (оо) - х (t),

когда а:(г) = \1-е )х{со).

Имеются еще более сложные интегральные критерии качества, содержащие вторую и следующие производные от Ах. Их применение приближает нереходньш процесс соответственно к кривой второго и следующих порядков.

В заключение укажем основные области применения всех рассмотренных критериев качества переходных процессов.

1. Частотные и интегральные критерии используются при исследовании качества переходных процессов, вызванных основными (главными) воздействиями. Эти критерии позволяют учесть конкретную форму воздействия и начальные условия.

2. Интегральные критерии применяются в этом же случае для определения оптимального значения какого-либо варьируемого параметра; численной оценки показателей качества они не дают.

3. Корневые критерии используются главным образом для оценки в среднем качества переходных процессов при всевозможных воздействиях и начальных условиях.

4. Для систем выше пятого порядка применяются в основном частотные критсрип, как графические.

ГЛАВА ШЕСТАЯ

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 6-1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Построение переходных процессов в САУ, вызванных основными для данной системы воздействиями, является завершающим этапом исследования системы.

Существуют три группы методов построения переходных процессов: аналитические методы, графические методы, использующие-частотные и переходные характеристики, и построение переходных процессов с помощью вычислительных машин.

Основным путем получения кривых переходного процесса явлйется применение вычислительных машин непрерывного действия и цифровых. В наиболее сложных случаях используют цифровые машины. В тех же случаях, когда может быть применена вычислительная машина непрерывного действия, стремятся использовать именно ее, поскольку здесь метод решения задачи заключается, по существу, в моделировании исследуемой САУ и поэтому как по форме, так и в методическом отношении весьма близок экснеримеитальному исследованию реальной системы вплоть до возможности подключения к машине отдельных частей реальной системы.

Другие методы (аналитические и графические) построения переходных процессов являются вспомогательными и примеяжотся в случае простых систем, а также на этапе предварительного исследования при существенном упрощенип системы.

Аналитические методы основаны на решении дифференцпаль-ного уравнения (4-1) системы

D{p)x = Mip)f. (6-1)

Искомое решение состоит из установившейся, т. е. вынужденной, и переходной составляющих и имеет вид (4-2):

x(t)Xy it) + x,it), (6-2)

где x,{t) = j;C/i\

Основная трудность нахождения этого решения заключается в определении постоянных интегрирования С; и корней характеристического уравнения к. Задача облегчается, если использовать для решения этого уравнения преобразование Лапласа. В этом случае постоянные интегрирования находятся по готовым формулам, в то время как при пепосредствепном решении дифференциального уравнения (6-1) они определяются из системы алгебраических уравнений, полученных путем мпого-

кратного дифференцирования выражения (6-2) и подстановки туда начальных условий для х и его производных.

Напомним общий порядок решения дифференциального уравнения с помощью преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа основано на двух следующих формулах: формуле прямого преобразования Лапласа

L [ X (t)] r=X{s) = \ X (t) e-dt (6-3)

и формуле обратного преобразования Лапласа

C-1-J0O

L[X{s)]=x{t) = ± Xis)e4s. (6-4)

c-j-xt

Здесь L и L- обозначения операций прямого и обратного преобразования Лапласа.

В результате прямого преобразования Лапласа некоторой функции времени х (t) получается функция X (s) комплексной переменной s = с -f /со. Эта функция называется изображением Лапласа функции х (t). В свою очередь, х (t) называется оригиналом изображения X (s).

Последовательное применение формул (6-3) и (6-4) к функции X (t) дает опять ту же функцию х (t).

Преобразование Лапласа применимо к функции х {t), если она удовлетворяет следующим условиям:

x{t) = 0 при <0 (6-.5)

и можно выбрать такое положительное число с, при котором

5 \x{t)\e-<dt<cx).

(6-6)

Минимальная велхгчина с, при которой выполняется неравенство (6-6), называется абсциссой абсолютной сходимости. В САУ мы обычно имеем дело с функциями, для которых оба условия (6-5) и (6-6) всегда выполняются.

В частности, для переходных процессов х (t) во всех устойчивых САУ абсцисса абсолютной сходимости равна нулю. В этом случае переменная s оказывается мнимой величиной, т. е. s = ;о), и преобразование Лапласа превращается в его частный случай - Одностороннее преобразование Фурье, характеризуемое формулами:

Х(/(о) = 5 x(t)e-<dt; и

{i)-=\X{j,y)ei-<dco.

(6-7) (6-8).