Изменение этих коэффициентов изменяет условия устойчивости и качество переходных процессов в системе.

, Рассмотрим в качестве примера применение пропорционально-дифференцирующих звеньев для стабилизации, т. е. обеспечения устойчивости САУ с астатизмом выше первого порядка.

Передаточную функцию разомкнутой системы с порядком астатизма, равньш г, можно представить в таком виде (см. § 2-2 и 2-3):

И(р) = =.1М

где Q[p)=l при р = 0.

Соответственно левая часть дифференциального уравнения замкнутой системы

D{p) = RiP)+PQ{P)- (7-3)

Вспомни.м нолученное в § 4-2 следствие из критерия устойчивости Рауса - Гурвица, по которому необходимым условием устойчивости является положительность коэффициентов при р всех степеней от О до п, где п - порядок уравнения системы.

Если R (р) = к, т. е. нет воздействий по производным, то из общего вида выражения (7-3) следует важный вывод о том, что такие САУ с порядком астатизма г> 1 являются структурно неустойчивыми, поскольку при этом в D (р) отсутствуют члены с р в степени от 1 до г - 1.

Введем теперь в систему пропорционально-дифференцирующие звенья, дающие положительные дополнительные воздействия по производным от первого до (г - 1)-го порядка. При этом в много-ч.лене D (р) появятся недостающие члены, так как теперь

D{p) = k{k,k,p+... +K,r-i)P-) + PQ{p)- (7-4)

Следовательно, САУ становится структурно устойчивой.

Таким образом, система с астатизмом порядка г может быть сделана структурно устойчивой при введении положительных воздействий по производным от первого до {г - 1)-го порядка.

Аналогично мол<но показать, что с помощью дополнительных воздействий но производным можно сделать устойчивой систему, структурно неустойчивую из-за наличия в ней неустойчивых звеньев, которые создают в многоч.яене D (р) ч.лены с отрицательными коэффхщиентами. Применение дополнительных воздействий по производным соответствующего порядка позволяет изменить знак этих коэффициентов добавлением в них псложительных слагаемых.

Влияние пропорционально-дифференцирующего звена на качество переходных процессов продемонстрируем на примере последовательного соединения этого звена со статическим звено.м первого порядка с передаточной функцией

Передаточная функция такой цепочки (рис. 7-1, а)

(7-5)

(7-6)

ТоР + 1

Соответствующая переходная функция, согласно (6-24

h{t) = kX{t)±kJio{t),

где Л-о (t) - переходная функция одного статического звена при отсутствии пропорционально-дифференцирующего.

На рис. 7-2 приведены переходные характеристики для нескольких значений коэффициента /Сд воздействия по производной.-Характеристика 1 соответствует отрицательному воздействию по производной, а характеристика 2 - такому же, но положительному воздействию. Характеристика 3 получена при увеличенном вдвое положительном коэффициенте /Сд. Отсюда видно, что отрицательное донолш!-тельное воздействие по производной снижает быстродействие, а положительное, наоборот, повышает его.

В рассматриваемой схеме по мере увеличения этого воздействия инерционность основного статического звена компенсируется во все большей степени и, наконец, при /ьд/А; = = Гд, чему соответствует характеристика 4 на рис. 7-2, получается идеальное безынерционное звено. Это

следует непосредственно нз выражения (7-5). Действительно, согласно (7-5), при kjj/k =

Рлс. 7-2. Переходные характеристики последовательного соедпненпя статического и пропорционально-дифференцирующего зненьев.

wapWAp)-

ТоР + 1

- kJi.

В соответствии с выражением (7-6) аналогично влияет пропорционально-дифференцирующее звено и на переходную характеристику любого инерционного звена произвольного порядка. При этом, чем выше порядок инерционного звена (р), тем до более высокого порядка целесообразно использовать дополнительные производные. Так, например, для полной компенсации инерционного звена второго порядка требуются дополнительные воздействия по первой и второй производным. (Прн этом числитель произведения PF (р)Ипд (Р) будет иметь тот же порядок, что и знаменатель.) Практически применение нашли главным образом дополнительные воздействия но производным первого и второго норядо{ов. Более высокие производные используются редко в связи со сложностью их получений.

20lgl<n

Описанное выше влияние дополнительных воздействий по про-изводным на быстродействие понятно пз чисто физических представлений. Положительное воздействие по производной, т. е. по скорости изменения входного сигнала, увеличивает этот сигнал, когда оп растет, и, наоборот, дополнительно уменьшает его, когда он начинает уменьшаться. Таким образом, это воздействие форсирует течение переходного процесса, убыстряет его. Отрицательное воздействие действует наоборот, замедляя течение переходного процесса.

Повышение быстродействия при введении положительных воздействий по производным хорошо видно и из частотных характеристик. На рис. 7-3 показаны л. а. х. и л. ф. X. пропорционально-дпффе-ренцируюш;его звена при положительном воздействии но первой производной. Так как передаточная функция этого звена обратна передаточной функции статического звена первого порядка, то, соответственно, обратны и частотные характеристики. Пропорционально-дифференцирующее звено является фильтром верхних частот, т. е. его л.а. х. (рис. 7-3, а) растет с увеличением частоты. Поэтому введение этого звена в систему расширяет ее полосу пропу--скания, т. е. повышает быстодейг ствие.

Фазовая характеристика такого звена (рис. 7-3, б) положительна, т. е. это звено уменьшает суммарное запаздывание по фазе в системе в режиме установившегося гармонического воздействия.

Аналогично можно объяснить с помощью частотных характеристик и описанное выше влияние пропорционально-дифференцирующего звена на устойчивость САУ.

Инерционное (реальное) пропорционально-дифференцирующее звено. Практически в большинстве случаев пропорционально-дифференцирующие звенья имеют существенную инерционность, и тогда их передаточная функция приобретает вид:

п (р) = в, (7-7)

Рпс. 7-3. Логарпфмпческпе частотные характеристнкп про-порционально-дпфференцпруго-щего звена.

где Год < kjj/k, т. е. достаточно мало.

Инерционное пропорционально-дифференцирующее звено можно представить как последовательное соединение идеального пропорционально-дифференцирующего звена и обычного статического звена первого порядка. Поэтому все сказанное выше о

154

201д/<

влиянии идеального пропорционально-дифференцирующего звена на устойчивость и качество, переходного процесса справедливо и для инерционного звена такого типа с той только разницей, что последнее звено влияет слабее на быстродействие системы и соответственно на ее область устойчивости. Это влияние уменьшается до нуля с ростом постоянной времени 2\, когда Год -> kjk.

Если переходная характеристика пропорционально-дифференцирующего звена представляет собой наложение идеального импульса Аб {t) на ступеньку ki {t), то в случае инерционного, такого звена переходная характеристика при положительном воздействии по производной q, имеет вид кривой 5 на рпс. 7-2. Форсирующее действие звена происходит за счет начального всплеска этой характеристики над уровнем ступеньки 4. С уменьшением этот всплеск увеличивается, стремясь к идеальному импульсу б (t). Соответственно растет и форсировка переходного процесса.

В рассмотренном выше примере последовательного соединения пропорционально-дифференцирующего звена со статическим звеном первого порядка в случае реального, т. е. инерционного, пропорционально-дифференцирующего звена невозможно получить полную компенсацию инерционности, так как дробь

Ио(р)Ипд(р)=(,+ ,) (4. + 1)

имеет знаменатель второго порядка. При Ад/Ап = будет скомпенсирована постоянная времени Tq, но сохранится Год.

На рнс. 7--4, а и б построены соответственно л. а. х. и л. ф. х. инерционного пропорционально-дифференцирующего звена. Они-получейы как сумма характеристик идеального такого звена и инерционного звена первого порядка.

Практически наиболее просто пропорционально-дифференцирующие звенья реализуются в электрических системах постоянного тока, где они представляют собой пассивные RC и i?L-Heno4KH. На рис. 7-5 в качестве примера приведены принципиальные схемы таких инерционных пропорционально-дифференцирующих звеньев. На рис. 7-5, а изображена схема с дифференцирующей емкостью С. В этом случае. в выражении (7-7) для передаточной функции

Рпс. 7-4. Логарифмические частотные характеристики инерционного пропорционально-дифференцирующего звена.

155.

л. a. X. такого звена показана на рис. 7-4, а пунктиром. Она лежит ниже оси абсцисс, так как здесь А-ц < 1, и при о) -*оо. функция Ипд (/со) 1. На рис. 7-5, б дана схема пропорционально-дифференцирующего звена с о) , II ,6) дифференцирующим трансфор-

матором Тр.

Б. Пропорционально-интегрирующее звено

Передаточная функция такого звена

-- ±:

Рис. 7-5. Электрические пассивные пропорциональпо-дпфференцп-рующпе четырехполюсники на постоянном токе.

Ипи(Р) =

(7-9)

г- = О

ПИ

получаем идеальное пронорционально-

В случае интегрирующее звено.

Выражение (7-9) можно представить так:

и \: i

Лр)=

1 А-и ±:

(7-10)

201дк,

.-20дб/де<

Рис. 7-6. Л. а. X. пропорционально-интегрирующего звена.

Таким образом, пропорционально-интегрирующее звено эквивалентно последовательному соединению интегрирующего звена и пропорционально-дифференцирующего звена. Поэтому такое звено применяется вместо простого интегрирующего звена для новы-шення порядка астатизма в тех случаях, когда введение интегрирующего звена требует дополнительной коррекции для

сохранения устойчивости или ; ; -20д6/ден

необходимого качества переход-

ных процессоэ.

Заметим, что знак при коэффициенте kJ воздействияпо интегралу всегда должен быть положительным, в то время как перед коэффициентом к он может быть любым. Это очевидно из выражения (7-10): коэффициент

входит в коэффициент передачи системы по интегралу в статике, а коэффициент к определяет воздействие по производной от него.

По своим частотным свойствам пропорционально-интегрирующее звено противоположно пропорционально-дифференцирующему, являясь фильтром нижних частот. Л. а. х. идеального иропорционально-интегрирующего звена (при положительном к) приведена на рис. 7-6. Пунктиром показано ее изменение при наличии инерционности.

В. Пропорцнопально-пнтегро-дифференцирующее звено

Его передаточная функция

и - Ли i- hp

(7-11)

Нетрудно показать, что это звено эквивалентно иоследователь-ному соединению интегрирующего звена п нропорционально-дифференцпрующего звена! с дополнительными воздействиями ио двум производным или, что то же самое, пропорционально-инте-грпрующему звену и пропорционально-дифференцирующему с одной производной. Таким образом, пропорционально-интегро - дифференцирующее звено повышает порядок астатизма, как и пропорционально-интегрирующее, но при этом дает более сильную коррекцию динамических свойств САУ.

Частотные характеристики этого звена получаются сложением характеристик пропорционально-интегрирующего п иропорционально-дифференцирующего звеньев. Соответственно, такое звено подчеркивает как нижние, так и верхние частоты, подавляя средние. На рис. 7-7, а изображена л. а. х. рассматриваемого звена. Пунктиром показано изменение характеристики при учете инерционности звена. В связи с этим часто называют интегро-дифферен-цирующими звенья не только с передаточной функцией (7-11), но и любые другие звенья, а. ч. х. которых имеет минимум на средних частотах и растет в сторону как низких, так и высоких частот. Такую характеристику имеет, например, звено с передаточной функцией

к {Тр -f 1) (1\р -ь 1)

л. а. X. которого приведена на рис. 7-7, б. Вообще указанные выше наименования типов последовательных корректирующих звеньев в значительной степени условны прежде всего из-за инерционности реальных корректирующих звеньев.

Рассмотренные выиге корректирующие звенья имеют в числителе передаточной функции сумму пропорционального,

Рис. 7-7. Л. а. X. пропорциона.льно-интегро-дифференцирующего звена.