фициент к в уравнении (1-2) равен тангенсу угла наклона этой касательной относительно оси абсцисс Поэтому его величина MOHtcT быть найдена чисто графическим построением без нахон<де-ния аналитического въхражения для исходной нелинейной зависимости (р (X).

Рассмотрим теперь более общий случай, когда звено описывается нелинейным уравнением, включающим Производные по времени от входной и выходной величин:

Ф(Х, X, X , у, г, Y , ...) = 0.

(1-3)

Разложив, как и прежде, нелинехгаую функцию, находящуюся в левой части уравнения, в ряд Тейлора в точке установившегося режима, получим следующее линейное дифференциальное уравнение для приращений переменных:

АУ-Ь

(1-4)

Здесь

dXiQ-

/ 9ф \

т. д. - значения производных функции ф.

получающиеся при-подстановке значений Х , и нулевых значений производных, соответствующих установившемуся режиму.

Показанная процедура линеаризации нелинейных звеньев приводит к приближенному описанию их линейными дифференциаль-пыми уравнениями в отклонениях, или, как еще говорят, в вариациях.

Допустимость такой линеаризации ограничена следующими очевидны.ми условиями. Во-первых, она применима только для малых отклонений, т. е. полученные в результате линеаризации уравнения пригодны для приближенного исследования только таких ренимов в системах, при которых переменные величины на входе звеньев претерпевают достаточно малые отклонения от установившихся значений. При этом точность исследования растет с уменьшением отклонений.

Во-вторых, поскольку такая линеаризация основана на разложении в ряд Тейлора, она применима то.тько к непрерывно дифференцируемым нелинейностям. Поэтому такие нелинейности называются линеаризуемым и. Нелинейные звенья, не удовлетворяющие этому требованию, называются существенно нелинейным и. К существенно нелинейным звеньям, например, относятся звенья с прерывистыми характеристиками типа релейных характеристик и с неоднозначными характеристиками типа петли гистерезиса.

В теории автоматического управления приняты определенные формы записи дифференциальных линеаризованных уравнений

звеньев. При этом уравнение (1-4) (с учетом только приведенных там членов) должно записываться так:

{Tfp + Т.р + i)y (1 + к.р + к.,р) X. (1-5)

d V у АХ

Здесь р=-- символ дифференцирования по времени;

J, -приращения переменных в относительных единицах;

ЗАjo Ао. . у, К-

ал--Уо Ао

ayjo

dXJQ Jo.

аф\ у

- коэффициенты передачи;

0. т

2/ аф \

- постоянные времени.

Особенности приведенной формы записи заключаются в следующем.Во-первых, выходная величина и ее производные находятся в левой частп уравнения, а входная величина и ее производные - в правой. Во-вторых, коэффициент при приращении выходной величины равен единице [в результате деления обеих частей урав-

. В-третьих, приращения переменных выражены

нения на iv ) в относительных единицах и обозначаются строчными буквами. Правда, иногда более удобно использовать абсолютные значения приращений переменных. В этом случае выражения для коэффициентов передачи, стоящих в правой части уравнения, соответственно изменяются.

Коэффициенты левой части уравнения - постоянные времени- в обоих случаях остаются без изменения. Размерность их - секунда в степени, равной порядку производной, перед которой стоит данный коэффициент.

Другой формой записи линейных уравнений звеньев является запись с помощью передаточной функции. Уравнение (1-5) при этом принимает вид:

1 -г hp + Кр-- 7j ;2 + т.р + 1

у = W (р) X,

(1-6). (1-7)

Wip) =

h + hp~ + hp

Пр + т. р + 1

Дробь W (р) называется передаточной функцией звена. Пока будем рассматривать ее просто как удобный способ записи

дифференциальных уравнений.. Строгое определение передаточной функции будет дано в шестой главе с иомощ,ью преобразования Лапласа. /

Рассматривая выше формы записи уравнений, принятые в теории автоматического управления, мы оперировали для определенности уравнением второго порядка. Однако в общем случае в результате линеаризации различных звеньев могут быть получены уравнения любого порядка. В общем случае звено системы авто-

Рис. 1-3. Структурная схема генератора ностоянного тока.

матического управления описывается дифференциальным уравнением:

- Q{p)y=l]RAp)i

или в другом виде:

y]W,{p)x,.

Иг (/)

(1-8)

(1-9)

п); Qip) - передаточ-

пая функция звена для -гo входного воздействия.

Рассмотрим в качестве примера линеаризации вывод уравнения генератора постоянного тока, показанного на. рис. 1-3, а. Такой генератор может, например, входить в состав системы регулирования напря:кения, приведенной на рис. 1-1, в качестве элё-ктромашинного усилителя мощности..

Здесь - входные воздействия на звено (i - 1, 2, и R;{p) - полиномы относительно р; Ух{р)-

Qip)

Входной величиной генератора в данном случае является напряжение возбуждения t/j а выходной - напряжение на его зажимах и. Скорость вращения якоря Q и величину сопротивления нагрузки Пц- примем постоянными. Реакция якоря предполагается скомпенсированной и не учитывается.

Напряжение генератора

Здесь Е - э. д. с. генератора; - сопротивление цепи якоря генератора; /? - сопротивление нагрузки (принято чисто активным).

Э. д. с. генератора пропорциональна скорости вращения якоря и магнитному потоку, т. е.

£ = 6\ЙФ, (1-11)

где Q - угловая скорость вращения якоря; Ф - сцепляющаяся с якорем часть магнитного потока, создаваемого обмоткой возбуждения; Ci - коэффициент, постоянный для данной машины.

Поскольку скорость вращения якоря постоянна, перепишем выражение (1-11) в виде:

Е = С[Ф, (1-12)

где С[ = CiQ.

Поток Ф является функцией тока возбуждения, т. е.

Ф==Ф(/,). (1-13)

Эта .зависимость нелинейна и показана на рис. 1-3, б. В свою очередь, ток возбуждения зависит от напряжения возбуждения согласно следующему уравнению цепи возбунодения:

U=EJ + WGpФ,

(1-14)

где р - d/dt; U - напряжение возбуждения; Д - ток возбуждения; /?в -.соиротивление цепи возбуждения; w - число витков обмотки возбуждения; о - коэффициент рассеяния магнитного потока, с помощью которого полньш поток, создаваемый обмоткой возбуждения, выражается в виде оФ (а>- 1).

Уравнения (1-10), (1-12), (1-13) и (1-14) в совокуиности определяют искомую зависимость U от через промежуточные неременные Е, Ф и / . Эта зависимость нелинейна из-за нелинейности характеристики намагничивания генератора (1-13). Эта нелинейность связана с насыщением магнитной цени, а также с гистерезисом.

Линеаризовать такую нелинейность по вышеизложенной.методике путем перехода к малым приращениям переменных можно только, если пренебречь гистерезисом, т. е. ограничиться учетом основной кривой намагничивания, показанной на рис. 1-3, б сплошной линией. Предположим, что петля гистерезиса узка и ею

заведомо можно пренебречь. Тогда, переходя к приращениям неременных, получаем следующую систему линейных уравнений:

fdQn

А£,-/?,Д/з + ш(т/(Дф).

(1-15)

\dTjn определяется как тангенс угла наклона касательной

к основной кривой намагничивания в точке установившегося режима (рис. 1-3, б).

Исключив из (1-15) проме;куточные переменные АЕ, ДФ и Д/, получим искомое уравнение, связывающее At/ с AUa

{7\p + i)AU = k,AU (1-16)

где То - постоянная времени цепи возбуждения:

/Св! - коэффициент передачи генератора по возбуждению:

НА \dlJo-

Обратим внимание на то, что как Гв, так и /Свзависят от выбранной точки установившегося режима, в которой осуществляется линеаризация. ..

Если перейти к относительным единицам, уравнение (1-16) примет вид:

(Гв/ + 1) = /в2 в. (1-17)

с введением передаточной функции получим следующее выражение:

u = W{p)u, (1-18)

В структурной схеме системы, в состав которой входит рассматриваемое звено, оно должно быть изображено, как показано на рис. 1-3, в.

Выше при выводе уравнения генератора было принято, что скорость вращения якоря и нагрузка постоянны. Изменение этих величин является возмущением. Рассмотрим, как изменится уравнение генератора, если, например, учесть непостоянство скорости

вращения якоря. В этом случае в систему исходных уравнени1т генератора вместо уравнения (1-12) надо ввести уравнение (1-11):

£: = CгФ.

С учетом непостоянства скорости Q это уравнение оказывается нелинейным, поскольку включает в себя произведение переменных и Ф. Произведя линеаризацию этой нелинейности разложением в ряд Тейлора, получим следующее линейное уравнение для приращений переменных:

= СФоАЙ 4- СоАФ = СГAfl -Ь С;АФ, (1-19)

-67 = С,Фо;

Подставив уравнение (1-19) в систему (1-15) вместо уравнения д£; = бАФ и исключив, как и прежде, промежуточные переменные, получим следующее уравнение генератора вместо ранее выведенного (1-16):

{Тр + 1)Аик,Ли, + {Т,р+-)Кх (1-20)

С

Если перейти к относительным единицам, уравнение (1-20)

(1-21).

примет вид: где

{Тр + 1) а = ки + [Тр -f 1) /Сс.з ,

(0 =

C2 - -Cl tj

С использованием передаточной функции уравнение (1-21) можно представить так:

==Ив(/) в + с2 . (1-22)

Коэффициент /ъсг является, таким образом, передаточной функцией генератора по скорости вращения якоря, в то время как Wn {р) - его передаточная функция по напряжению возбуждения.

На рис. 1-3, г показано соответствующее изображение данного звена в структурной схеме системы.

Если учесть еще одпо возмущение - изменение сопротивления нагрузки генератора А/?ц, в правой части уравнения появится соответствующий третий член, а в структурной схеме - третье воздействие.

§ 1-3. ПЕРЕХОДНЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ

Динамические свойства линейных звеньев и систем автоматического управления в целом могут быть описаны уравнениями, как показано выше, и графическими характеристиками. В теории