автоматического управления применяются два типа таких характеристик - переходные и частотные.

Эти характеристики могут быть сняты экспериментально или построены но уравнению звена. Имеется и обратная возможность - но экспериментально полученным характеристикам составить уравнение звена. Кроме того, с помощью этих характеристик .можно определить реакцию звена на любое возмущение произвольного вида. Все это будет рассмотрено ниже.

Таким образом, переходные и частотные характеристики однозначно связаны с уравнением звена и наряду с ним яв.ляются исчерпывающим описанием динамических свойств звена.

А. Переходные характеристики

Переходная, или временная, характеристи-к а звена представляет собой график изменения во времени выходной ве.личины звена, вызванного но-дачей на его вход единичного ступенчатого воздействия. Единичное ступенчат о е воздействие - это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным. Сказанное иллюстрируется рис. 1-4, а и б. На рис. 1-4, б показаны четыре различных вида переходных характеристик, соответствующих различным типам звеньев, которые будут подробно рассмотрены в следующем параграфе.

Аналитическое выражение для переходной характеристики - переходная функция - обозначается h [t). Аналитическое выражение единичного ступенчатого воздействия - единичная ступенчатая функция - обозначается 1 {t) и может быть описана следующим равенством:

Рис. 1-4. Переходные характеристики.

1(0 =

0 нрй <.0;

1 прп tQ.

(1-23)

Таким образом, h (t) - это выражение для у (t) при х (t) ~ = 1 (t). .

Наряду с переходной характеристикой применяется импульсная переходная (временная) характеристика, представляющая собой реакцию звена на единичный импульс. Единичный импульс - это мате.матическая

деалпзация предельно короткого импульсного сигнала. Единичный импульс - это импульс, площадь которого равна единице при; длительности, равной нулю, и высоте, равной бесконечности. На рис. 1-4, в он условно показан.в виде утолщения на оси ординат.. Там же изображены и типичные формы самих импульсных переходных характеристик.

Аналитическое выражение для импульсной переходной характеристики - импульсная переходная функция, или весовая функция (функция веса), - обозначается W (t). Выражение для единичного импульса соответственно называется единичной импульсной функцией или дельт а-функцией и обозначается б (t). Таким образом, W (О - это у (О при x{t) = 6 (t).

Математически дельта-функцию можно записать так:

со ри = 0;

при t

При этом согласно определению

(1-25)

Дельта-функция просто связана с единичной ступенчатой функцией:

. , б (0=1(О- (1-26)-

Из (1-26) следует аналогичная связь между переходной й весовой функциями линейных звеньев:

w(t)h{t) (1-27).

и наоборот

h{t) = \w(l)dt.

(1-28).

Учитывая это простое соотношение между переходной и весовой функциями, ниже будем применять главным образом первую из них, имея в виду, что вторую при необходимости всегда можно, получить по формуле (1-27).

Зная переходную или весовую функцию, можно определить, реакцию звена на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях с помощью следующих формул:

y{t):=h{t)xiO) + \hit - T)xiT)dT, (1-29).

где X (0) - значение х (t) при i = 0;

y{tj = h{0)x{t) + w{t-x)x{T)dx. о-

(1-30)

На ряс. 1-5,а дана геометрическая.интерпретация выражения (1-29). Реакция звена у (t) на произвольное воздействие х (t) определена как предел суммы реакций на ступенчатые воздействия высотой .Д.з: = ж Дт, на которые можно разложить х (t), при Ат -> 0.

Выражение (1-30) для у (t) через весовую функцию w (t) геометрически интерпрет11руется на рис. 1-5, б как предел сумлш реакций на импульсы шириной Дт при Дт -> 0. Его можно представить еще в таком виде:

?/ (О = h (0)x{t) + \wir)x{t - x) dr. (1-ЗОа)

Выражения (1-29) и (1-30) легко получаются друг из друга, являясь вариантами интеграла Дюамеля, или и н т е г-

Рис. 1-5. Геометрическая интерпретация выражения для реакции звена на произвольное воздействие х ft) через . h (t) и W (t).

рала свертки. Заметим, что первое слагаемое h (0) х (t) в выражениях (1-30) и (1-ЗОа) у реальных инерционных звеньев равно нулю, так как реакция на их выходе всегда отстает от входного воздействия, т. е. h (0) = 0. Поэтому в дальнейшем выражения (1-30) и (1-ЗОа) приводятся без первого слагаемого.

В выражениях (1-29), (1-30) и (1-ЗОа) в качестве верхнего предела интеграла вместо t может стоять оо, так как при т > г, т. е. при отрицательных значениях аргумента, функции h [t - х) и-IV [t - т) равны нулю.

Б. Частотные характеристики

Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные, колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе. Рассмотрим такой режим.

Пусть на вход звена (рис. 1-6, а) подано гармоническое воздействие

где aMant; - амплитуда, а со - угловая частота этого воздействия. 28

По окончании переходного процесса на выходе звена будут тшествовать гармонические колебания с той же частотой, что и годные колебания, но отличающиеся в общем случае по амплитуде и фазе, т. е. в установившемся режиме выходная величина звена

2/ = 2/макс 8Ш(С0г-Ьф),

где Умакс - амплитуда выходных установившихся колебаний; ,р -- фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями.

При фиксированной амплитуде входных колебаний амплитуда и фаза установившихся колебаний на выходе звена зависят от частоты, колебаний. Если постепенно увеличивать от нуля частоту колебаний и определять установившиеся значения амплитуды и фазы выходных колебаний для разных частот, можно получить зависимость от частоты отношения амплитуд А = Умакс/макс И СДВИГа фаз ф выходных и входных установившихся колебаний. Эти зависимости называются соответственно А (ш) - а м п л п -т у д н о й частотной характеристикой (а. ч. X.) и ф (со) - фазовой частотной характеристикой (ф. ч. X.). Примерный вид этих характеристик у обычных инерционных звеньев изображен на рис. 1-6, б и в. Как показано на этих рисунках, у таких звеньев в силу их инерционности амплитудная частотная характеристика но мере увеличения частоты в конце концов спадает до нуля. При

этом, чем менее инерционно звено, тем длиннее его амплитудная частотная характеристика, т. е. тем больше полоса пропускаемых звеном частот, и.т1и, просто, его полоса пропуска-п и я.

Теоретически частотная характеристика продолжается до бесконечности, но практически полоса пропускания оценивается значением частоты, при котором отношение амплитуд А окончательно становится меньше определенного достаточно малого конечного значения. Это значение обычно берут равным 0,05 (на этой частоте

Рис. 1-6. Частотные характеристики.

амплитуда выходных колебаний падает до 5 % амплитуды входных колебаний).

Наличие максимума у амплитудной частотной характеристики говорит о резонансных свойствах звена. Частота, соответствующая максимуму амплитудной характеристики, называется резонансной..

Фазовая характеристика у обычных инерционных звеньев, как показано на рис. 1-6, <?, отрицательна (ср <;0), т. е. выходные колебания отстают по фазе от входных, и это отставание растет с частотой.

Аналитические выражения А (со) и ф (со) называются соответственно амплитудной и фазовой частотными функциями.

При исследовании систем автоматического управления амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, благодаря тому, что в логарифмических координатах кривизна характеристик изменяется, возникает возможность в подавляющем большинстве практических случаев упрощенно изображать амплитудные частотные характеристики ломаными линиями.

Второе удобство связано с построением амплитудных частотных характеристик цепочки последовательно соединенных звеньев. Из самого определения амплитудных частотных характеристик следует, что амплитудная частотная характеристика цепочки звеньев равна произведению амплитудных частотных характеристик составляющих ее звеньев, т. е.

а .макс г . л макс п

\- --

.макс г-1 -jjajjc q

(1-31)

а макс 0. макс г-1 макс { маьх п аМПЛИТудЫ КОЛебанИЙ

на входе цепочки, входе и выходе г-го звена, выходе последнего п-го звена цепочки.

Если прологарифмировать выражение (1-31), получим

i= 1

(1-32)

т. е. в логарифмическом масштабе амплитудная частотная характеристика цепочки звеньев равна сумме амплитудных характеристик отдельных звеньев.

Амплитудная частотная характеристика в логарифмических координатах строится , в виде зависимости 20 Ig Л от Ig со, называемой .логарифмической амплитудной характеристикой (л. а. х.), а фазовая - в виде зави-

. мости Ф от Ig со, называемой логарифмической фа-?о в о й характеристикой (л. ф. х.).

Величина 20 Ig А обозначается L. В качестве едпницы изме-

еяия этой величины используется децибел, равный одной есятой бела. Б е л - это единица измерения десятичного лога-пяфма коэффициента усиления мощности сигнала, т. е. 1 бел соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 бела - в 100 раз, 2 да в 1000 раз и т. д. Так как мощность сигнала пропор-циона.льна квадрату амплитуды, а Ig 4 = 2\gA, то усиление в белах, выраженное через отношение амплитуд А, равно 2 Ig А. Соответственно, в децибелах оно равно 20\gA. При этом существуют следующие соотношения менеду значениями А и L:

При применении л. а. х. логарифмическая фазовая характеристика строится в полулогарифмических координатах, т. е. в виде зависимости ф от Ig со, чтобы обе характеристики были связаны одним масштабом на оси абсцисс. Использование логарифмического масштаба на оси ординат фазовой характеристики не имеет смысла, так как фазовый сдвиг цепочки звеньев и так получается просто в виде суммы фазовых сдвигов ка отдельных ее звеньях.

На оси абсцисс указываются либо прямо значения Ig о, либо, что практически более удобно, значения самой частоты со. В первом случае единицей приращения Ig о) является декада, соответствующая изйенению частоты в 10 раз. Применяется также деле!-ние оси абсцисс на октавы. Октава соответствует изменению частоты в два раза. (Одна октава равна 0,303 декады, так как Ig 2 = 0,303.) .

Заметим также , что, так как при использовании логарифмического масштаба точка, соответствующая = О, находится слева в бесконечности, логарифмические характеристики строятся не от нулевой частоты, а от достаточно малого, но конечного значения ©, которое и откладывается в точке пересечения координатных осей.

Обыкновенные амплитудная и фазовая частотные характеристики можно объединить в одну характеристику - амплитудно-фазовую частотную характеристику (а- ф. ч. X.), используя А (со) и ф (со) в качестве полярных координат (рис. 1-6, г). Каждая точка амплитудно-фазовой частотной характеристики соответствует определенному значению частоты ©. Значения со для конечного количества точек характеристики наносятся вдоль характеристики, как показано на рис. 1-6, г. Имея