(9-20) W{p) = Wn{p)WHn{p) находим зависимости A(Xo) и (Oa(Xo). Подставив их в выражение для Уо(Д, tOa, Х), получим нелинейную зависимость Yq{X<,) только от Хо- Подставив ее в урав-. нение (9-34) или (9-35), будем иметь нелинейное уравнение, содержащее только искомую переменную Х. Решение этого уравнения облегчается тем, что входящая в него нелинейная зависимость Уд от Хо обычно оказывается весьма плавной даже для релейных исходных характеристик У(Х) нелинейного звена и допускает обычную линеаризацию. Это означает, что в значительном диапазоне изменения Xq коэффициент fero = Уо

о можно считать постоянным. В результате уравнение (9-34) или (9-35) получается i линейным, и решение его не составляет труда.

Указанное явление сглаживания нелинейных характеристик колебательной составляющей сигнала называется вибрационной лине а,р и 3 а ц и е й. Эта линеаризация имеет ту же природу, что и описанная в § 8-3, п. Г линеаризация высокочастотным стационарным случайным сигналом. Благодаря этому эффекту при наличии автоколебаний даже релейная САУ может вести себя по отношению к мед.ленно меняющемуся внешнему воздействию как линейная система непрерывного действия. В свою очередь, это внешнее воздействие влияет на параметры автоколебаний вплоть до того, что при определенных его значениях автоколебания могут вообще пропадать. В этой взаимосвязи, т. е. отсутствии суперпозиции, -проявляется нелинейность системы.

Д. Совместная статистическая и гармоническая линеаризация

Если на САУ, в которой существуют автоколебания, подается случайное воздействие

F{t) = mp{t)+F\ сигнал на входе нелинейного звена будет иметь вид:

X (t) = тх (t) Ч- Х (t) -f Л sin ©3, (9-36)

где mx{t) = Хо(0. (Автоколебания предполагаем по-прежнему синусоида.льными.) В этом случае при исследовании прохождения любой из входящих сюда трех составляющих необходимо в си.лу неприменимости принципа суперпозиции учитывать наличие всех составляюпщх. Для этого надо осуществлять совместную статистическую и гармоническую линеаризацию. В результате сигнал на выходе не.линейного звена может быть представлен так:

р) Asmaat + K.гlX>{t), (9-37)

fee. г1-коэффициенты совместной статистической и гармонической линеаризации.

В случае симметричной нелинейной статистической характеристики постоянную составляющую my(t), т. е. Yq, можно записать в виде: ту{1) =кс.готх.

где Ас .г, и

Величина ту и коэффициенты передачи /Сс.го Асг с.г сп отдельных составляющих входного сигнала нелинейного звена оп-(еделяются по приведенным ранее формулам гармонической статистической линеаризации с той, однако, разницей, что рассматриваемом случае все эти величины являются функциями же четырех неизвестных: тх, Ох, А и (Оа-

В приложении б для ряда типовых нелинейностей приведены ыражения для кт и /Ссп при тх = 0.

, Искомые йелй.чины тх, ох, Л и сОа определяются совместным ешением уравнения для автоколебательной составляющей, содер-Еащего коэффициенты /Ссг и йёр, уравнения для ау случайной вставляющей, содержащего ксп, и уравнения для постоянной оставля19щей ту, содержащего тх или ftc.ro-

Применяя совместную статистическую и гармоническую линеаризацию, можно исследовать влияние внешних случайных воздействий на параметры возможных автоколебаний в САУ, выражая Ш и (Оа как функции тх и ох- При иной постановке задачи этот шетод позволяет исследовать точность САУ в случайных режимах при на.личии в системе гармонических колебаний, т. е. выразить

и Ojj, как функции А и Юа- В зак.лючение укажем еще на следующие возможности метода гармонической линеаризации. Во-первых, этот метод позволяет после определения параметров основной гармоники автоколеба-, НИИ принять во внимание отброшенные ранее высшие гармоники , и путем последовательных приближений уточ-] нить значения найденных параметров путем учета высших гар- МОНИК [18].

i Во-вторых, как уже упоминалось, метод гармонической лине-гариэации может быть применен для исследования не только авто- колебательных режимов, ноивынужденных колебаний нелинейных систем, создаваемых внешним периодическим воздействием.

Наконец, метод гармонической линеаризации может быть при-

кменен и для приближенной оценки качества переходных процессов в нелинейных системах, о чем будет сказано в следующей главе.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ

КАЧЕСТВО ПЕРЕХОДНЫХ ПЮЦЕССОВ И КОРРЕКЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

§ 10-1. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Качество переходных процессов и нелинейных САУ оценивается теми же известными нам показателями, что и в .линейных системах, т. е. прежде всего временем переходного процесса ta,

максимальным отклонением, колебательностью. Однако в отличие от линейных систем эти показатели в нелинейных системах зависят от величины внешнего воздействия, вызвавшего переходный процесс.

Рассмотрим методы определения показателей качества переходных процессов в нелинейных системах. Наиболее простым является случай, когда можно заранее полагать, что входящие в систему нелинейности не оказывают определяющего влияния на динамику системы. В этом случае можно вначале в порядке первого приближения исследовать качество переходных процессов и строить сам процесс, исключив из рассмотрения все нелинейности, и, таким образом, исследовать систему как линейнзто. Такая ситуация возможна, например, для САУ непрерывного действия с насыщением, небольшой зоной нечувствительности, неоднозначной характеристикой с достаточно узкой петлей и т.п. После проведения такого исследования (это может быть как анализ, так и синтез системы) оценивается влияние на диналшку САУ неучтенных нелинейностей. При синтезе системы после этого в случае необходимости производится дополнительное изменение коррекции. Точный учет нелинейностей осуществляется построением переходных процессов с учетом этих нелинейностей. Для этого могут быть использованы методы численного интегрирования и, особенно, вычислительные машины (см. шестую главу).

Для приближенной оценки влияния нелинейностей можно воспользоваться идеей гармонической линеаризации. Нелинейное звено заменяется гармонически линеаризованным звеном и принимается, что его передаточная функция остается справедливой в случае произвольной формы входного сигнала X с заменой-Л на X. Выразив таким образом параметры передаточной функции через входной сигнал и определив затем, как зависит качество переходных процессов в линейной системе от значений этих параметров, можно качественно определить, как повлияет нелинейность звена на переходные процессы. Например, в случае звена с насыщением такой подх-од сводится к замене его эквивалентным звеном, коэффициент передачи которого уменьшается с ростом вход- ~ ного сигнала так же, как гармонический коэффициент передачи этого звена уменьшается с увеличением амплитуды входных колебаний.

Чтобы оценить качество процессов в подобным образом гармонически линеаризованной системе, можно применять показатель колебательности М и полосу пропускания как показатель быстродействия. В отличие, однако, от линейных систем здесь вместо одной частотной характеристики получится серия таких характеристик, как функция амплитуды А. Соответственно и качество переходных процессов будет зависеть от величины отклонения от установившегося режима.

Для нелинейных систем второго порядка качество переходных процессов полностью определяется по фазовому портрету системы (см. §8-5).

Оценка длительности переходных процессов по степени устой-чввости с помощью прямого метода Ляпунова в критерия абсо-лютной устойчивости В. М. Попова. Для нелинейных систем, устойчивость которых исследовалась с помощью прямого метода Ляпунова или критерия абсолютной,устойчивости В. М. Попова,-имеется возможность оценить длительность переходных процессов с помощью этих же методов путем введения понятия степени устойчивости т). Идея оценки заключается в том, что длительность переходных процессов Х() в нелинейной системе сравнивается с длительностью затухающего экспоненциального про-цессяГт!. Длительность последнего процесса определяется велв-чийои т] щ как известно (см. § 5-3), равна 3/т], т. е. трем постоянным времени 1/т) этой экспоненты. 1е. Предположим, что у нас есть возможность определить макси-1ое значение т], при котором для всех возможных процессов X{t) в нелинейной системе выражение X(01 ->Опри оо, а при бесконечно малом превышении этого значения г\ это условие уже не выполняется. Это значит, что переходные процессы в системе за-Ттухают не медленнее, чем экспонента Следовательно, найден-*ная величина т] может служить оценкой сверху длительности t переходных процессов в системе, т. е

Ч

Понятие степени устойчивости бьшо ранее введено для линей-.IX систем в § 5-3. Поскольку в линейной системе переходный ;)оцесс может быть представлен в виде суммы

x(f)==i:w i

где A.j - корни характеристического уравнения, умножение X{t) Рна еч эквивалентно в этом случае уменьшению на tj действительных ! корней характеристического уравнения. Таким образом., введен-li ное здесь понятие степени устойчивости в случае линейных систем совпадает с уже известной нам степенью устойчивости tj, представляющей собой величину минимальной действительной части корней характеристического уравнения системы.

В линейных системах величина степени устойчивости находится с помощью критериев устойчивости путем применения их . к так измененному уравнению системы, что это соответствует умножению решения на еч. В частности, при использовании в критерии многочлена /)(Я) для этого вводится новая перемеш нал q - К + Г].

Аналогично в общем случае нелинейной системы для нахождения величины степени устойчивости т] тоже можно использовать существующие критерии устойчивости нелинейных систем, а именно - прямой метод Ляпунова и критерий абсолютной устойчивости В. М. Попова. Для этого необходимо предварительно

в уравнении системы произвести замену переменной X(t) на X{t)e.

Соответственно, при применении критерия абсолютной устойчивости В. М. Попова условием наличия у системы степени устойчивости не менее rj является выполнение зтого критерия для характеристики W(-т]-f-/to) вместо Ию) [16].

Как и в случае линейных САУ, при анализе качества нелинейных систем находят величину т] как значение неизвестного параметра, при котором для измененного уравнения система оказывается на границе устойчивости. При синтезе системы могут быть построены линии равных значений т] внутри области устойчивости системы в плоскости каких-либо варьируемых параметров. Сама граница области устойчивости, очевидно, соответствует т] = 0.

Определение степени устойчивости г\ с помоиц>ю гармонической линеаризации. Метод гармойической линеаризации можно применить для исследования не только гармонических колебаний, но и колебательных переходных процессов [18]. При зтом гармоническая линеаризация осуществляется д.ля сигнала на входе нелинейного звена в виде: (<) = Х (t) + Ае- sin wt. (10-1)

Коэффициенты гармонически линеаризованного уравнения нелинейного звена получаются в виде функций неизвестных параметров Хо, Ад, (О и Г] искомого решения (10-1). Результатом исследования является нахождение этих параметров, включая и величину степени устойчивости т], определяющей время переходного процесса. При синтезе САУ таким же образом может быть найдена зависимость т] от варьируемых параметров системы, например, путем построения линий, постоянных значений т] в плоскости этих параметров.

Методика здесь та же, что и для определения степени устойчивости .линейных САУ (см. §5-3), с той только разницей, что применяется она к предварительно гармонически .линеаризованной системе.

§ 10-2. ОСОБЕННОСТИ КОРРЕКЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Как и в линейных САУ, коррекция динамических свойств нелинейных систем осуществляется с помощью последовательных и параллельных корректирующих звеньев. Эти звенья могут быть линейными и нелинейными. Линейные корректирующие звенья были рассмотрены в седьмой главе. Все изложенное там о них в полной мере справедливо и в случае применения этих звеньев для коррекции не.линейных САУ.

Здесь мы остановимся на принципиально новых возможностях, которые возникают при применении с целью коррекции динамических свойств системы нелинейных звеньев.

Первым наиболее очевидным случаем, когда целесообразно использование нелинейных корректирующих звеньев, яв.ляется применение их для устранения или уменьшения отрицательного влияния на работу системы какой-либо входящей в- нее нежелательной нелинейности. Например, с помощью звена со специально подобранной нелинейной статической характеристикой может быть выровнена или вообще нужным образом деформирована статическая характеристика всей САУ в целом. Другой пример - уменьшение влияния насыщения, которое часто имеет место, особенно в исполнительных звеньях САУ. Насыщение в статических характеристиках этих звеньев приводит к сильному затягиванию переходных процессов, т. е. к снижению быстродействия системы, при больших внешних воздействиях. В этих случаях можно добиться значительного ускорения переходных процессов, если линейные корректирующие звенья, создающие форсирующие воздействия,-Заменить или дополнить нелинейными звеньями, которые затнгивали бы форсировку, задерживая испслнительный сигнал на предельно возможном с учетом насыщения значении. Ь.В одиннадцатой главе будет показано, что Для получения максимального! быстродействия при наличии ограничений переменных управление должно быть нелинейным, а именно - релейным.

При рассмотрении вопроса об устранении отрицательного влияния отдельных нелинейностей в качестве одного из способов решения этой задачи следует иметь в виду и вибрационную линеаризацию. Последняя заключается в сглаживании нелинейностей, например в устранении влияния зон нечувствительности и неоднозначности статических характеристик звеньев, с полЮщью высокочастотного сигна.ла. Существуют четыре способа вибрационной линеаризации: путем создания высокочастотных автоколебаний в системе (см § 9-3, п. Г), с помощью вынужденных колебаний, создаваемых специальным генератором детерминированных колебаний, с помощью вынужденных колебаний, создаваемых генератором случайного сигнала (см. § 8-3, п. Г), и, наконец, применением скользящих режимов (см. § 8-5).

Компенсация неже.лательных нелинейностей далеко не исчерпывает области применения нелинейной коррекции. Нелинейная коррекция в целом является более общим средством коррекции, чем линейная коррекция, которую следует рассматривать как частный случай нелинейной коррекции. Последняя позволяет повышать качество в том числе и линейных САУ, с получением результатов, совершенно недостижимых средствами линейной коррекции.

Например, с помощью нелинейной коррекции в чисто линейной САУ можно устранить известное противоречие между быстродейст-вием,и колебательностью, обеспечив возможность независимого выполнения требований по каждому из этих показателей. Если в линейной САУ для повышения быстродействия увеличивать коэффициент передачи разомкнутой системы, то предел этому