Реальный импульсный элемент с выходными импульсами произвольной формы можно представить в виде последовательного соединения идеального импульсного элемента, выдающего на выходе идеальные мгновенные импульсы, и формирующего элемента (формирователя), преобразующего эти импульсы в импульсы, соответствующие выходным импульсам реального импульсного элемента (рис. 12-4, б). Идеальными мгновенными импульсами будем считать импульсы бесконечно малой ширины и бесконечно большой величины, площадь которых, однако, конечна и численно равна входному сигналу х в начале периода повторения. Иными словами, это б-импульсы (см. § 1-3,п.А), но не единичной, а неременной площади, которая является мерой входного сигнала в дискретные моменты времени. Эти идеальные б-импульсы условно показаны на рис. 12-4, б стрелками, длина которых представляет собой величину площади импульса. В дальнейшем такой сигнал на выходе идеального импульсного элемента будем называть иде- .

альной импульсной

К. р

Рис. 12-5. Структурная схема формирующего элемента в случае прялюугольной формы импульсов.

функцией.

Передаточная функция формирующего элемента легко находится как изображение Лапласа от выражения для формы импульса на выходе реального импульсного элемента.

гГн~г - деГствЙ nLflt

(12-2)

где уп(1) - выражение для импульса единичной высоты на выходе импульсного элемента.

Рассмотрим, например, импульсный элемент с выходными импульсами прямоугольной формы и ширины Та- Такой импульс можно представить в виде разности положительной и отрицательной единичных функций, сдвинутых на время Та, т. е. здесь

Уи(0 = А [1(0-1( -7 )]. Отсюда, согласно (11-2),

*H(l-e-V)

(12-3)

функциГс%ук Гсхема Гп передаточной

в данном ГучаГф

ное звено непрерывного действия и может быть отнесен к не-!рывной части системы.

При наличии в импульсном элементе запаздывания оно учиты-iBTCfl отдельным последовательным звеном запаздывания и тоже вносится в состав передаточной функции,непрерывной части си-стелш.

Перенос внешнего воздействия на вход импульсного элемента осуществляется обычным пересчетом, как показано на рис. 12-4, в. В результате двух указанных выше преобразований схема импульсной САУ с произвольной формой импульсов и внешним воздействием, приложенным в произвольной точке, приводится к типовой схеме, показанной на рис. 12-4, в. Это позволяет при исследовании различных реальных импульсных систем пользоваться

х[пТ ] Щ

О 1 7 3 <f S 6 7

О Т 2Т ЗГ Т 5Т 6Т 7Т Рис. 12-6. Решетчатая функция.

1ым математическим описанием и соответственно общей методой.

Для общности на рис. 12-4,в в качестве выходной величины I, связь которой с внешним воздействием / в виде нередаточной )ункции или частотной характеристики нам требуется найти в результате математического онисания системы, показана величина произвольной точке непрерывной части системы. Третье преобразование схемы заключается в замене действую-Ах В непрерывной части системы непрерывных сигналов на фик-вные дискретные сигналы. В результате получается система, в которой существуют только дискретные неременные. Это су-цественно упрощает математическое описание импульсной САУ Путем применения вместо обычных дифференциальных уравнений азностных уравнений и, соответственно, вместо обычного пре-5разования Лапласа дискретного преобразования Лапласа.

Возможность такой замены основана на том, что выходной сиг-1ал импульсного элемента определяется значениями входного агнала x{t} в дискретные моменты времени в начале каждого не-яода Та повторения импульсов. Поэтому в работе импульсного элемента ничего не изменится, если заменим непрерывную функцию x{t) на его входе дискретной функцией, значения которой в начале каждого периода, т. е. в моменты пТц, где п = 1, 2, совпадают со значениями непрерывной функции, а в остальное

время равны нулю. Такая дискретная функция называется р е-шетчатой функцией (рис. 12-6, а и б). Непрерывная функция xif) является, очевидно, огибающей решетчатой функции з\пТ, При рассмотрении дискретной функции удобно переходить к относительному времени

о-----

Рис. 12-7. Первая разность Лж [п] решетчатой функции х[п].

t = tITa, Т. е. измерять время числом периодов Тд. В этом случае относительный период повторения = 1 и решетчатая функция обозначается в виде х[п\, где п = 1, 2, ... (рис. 12-6, в). Это запись ее в нормированной форме.

Аналогами производных непрерывной функции для решетчатой функции являются разности. Первая разность (разность первого порядка) характеризует скорость изменения решетчатой функции и представляет собой аналог первой производной непрерывной функции:

x[n] = x[nЦ - x[n\ (12-4)

(рис. 12-7).

Вторая разность (аналог второй производной)

x[n]=x{n-\-\\-x{n]. (12-5)

С учетом (12-4)

x{п]х[п + 2\ - 2х[п-\- Ц+х{п\. (12-6)

В общем виде т-я разность x [п] == -Ч [п -f 1] - A-ia; [п] =

где СТ = г,

Y,i-fCfx[n + mi],

f - коэффициенты бинома Ньютона.

(12-7)

i\{m-i)\

Аналогом интеграла для решетчатой функции является сумма

2 И-

Дифференциальные уравнения для решетчатых функций принимают форму разностных уравнений (уравнений в конечных разностях). В общем виде разностное уравнение можно представить так:

[п -Ь т] -f Яла; [п -- m - 1] -f... -f а х [n - 1] -f a a; [n] =

= Ьо/ [ + ] + V [И + -1] + + Vi/ [n - 1] -f V [П]. (12-8)

Это линейное (если коэффициенты а ш Ъ постоянны) неоднородное (с правой частью) разностное уравнение т-го порядка, вы-

ражающее функцию х[п\ через известную функцию Дп]. Уравнение (12-8) можно записать в символической форме, если ввести оператор, связывающий последующее значение решетчатой функ-с предыдущим, т. е. х[п + 1] с х{п\. Обозначив его через V, 110ЖН0 записать

a;[n-fl] = Va;[n]. (12-9)

Согласно (12-4),

V = l-fA.

Соответственно

а; [п 4- 2] = Va; [п]

т. д.:

a;[n-f т] = V a;[n]. (12-10)

Оператор V называется оператором сдвига. С его помощью уравнение (12-8) может быть представлено в виде:

Q{)x[n\ = R{)f[n], (12-И)

Q (V) = aVm + fljVm-i L... д R (У) = b,Vi + bjV-i +... + fc, iV + bi.

Это уравнение можно записать и с помощью передаточной функции:

x[n\W{\)fin-\, (12-12)

Q(V)-

Заметим, что разностное уравнение (12-8) можно записать и в другом виде через разности решетчатых функций: floAa; [м] -f aЧ [п] +... + a x [м] -f ах [м] = 1 , =Ъ,f{n] + Ъfin+... + Ъl Mn]Л-Ъlf[n]. (12-13) щ Уравнения (12-8) и (12-13) получаются одно из другого с по-Ияощью формулы (12-7).

В. Система, в которой действуют сигналы в виде решетчатых функций времени, может быть описана с помощью разностных уравнений, в том числе и передаточными функциями вида (12-12). Для решения таких уравнений можно воспользоваться методами классической теории разностных уравнений, которые аналогичны методам теории дифференциальных уравнений. Однако, как и в случае дифференциальных уравнений, значительно более просто использовать для этой цели преобразование Лапласа. Примени- тельно к разностным уравнениям оно берется в форме так называемого д и с к р е т*н ого преобразования Лапласа.

Формула дискретного преобразования Лапласа имеет вид:

(12-14)

Здесь через X*(s) обозначено дискретное изображение Лапласа функции XlnTjj], а Z) - символ зтого преобразования. В относительном времени формула (12-14) будет

D {х [п]} = X* (9) = 2 а; [п] е-<,

т1=0

(12-15)

где q = TnS - новая безразмерная комплексная переменная. Введем обозначение

z=e . (12-16)

Тогда выражение (12-15) примет такой вид:

Z{x[n]}X*{z) = f x[n]z-\ (12-17)

В последней форме дискретное преобразование Лапласа называется Z-преобразованием. Соответственно в (12-17) Z - символ этого преобразования. (Иногда применяется другое обозначение:

Дискретное преобразование Лап.часа аналогично обычному непрерывному преобразованию Лапласа (6-3) для непрерывных функций:

L[x{t)] = X(s) = I X(t)e~

с заменой интеграла на сумму в соответствий с дискретным характером оригинала. Чтобы пояснить соотношение между обоими преобразованиями Лапласа, найдем обычное изображение Лапласа идеальной импульсной функции (упр на рис. 12-4,6). Представим ее в виде:

x{t)=b{t-nTa).

Изображение Лапласа этой функции > -

оо со со оо ,

= х[пТ ]е--\ (12-18)

Это выражение совпадает с (12-14). Таким образом дискретное преобразование Лапласа решетчатой функции совпадает с обычным преобразованием Лапласа идеальной импульсной функции. В импульсных системах поэтому дискретные сигналы можно в равной мере трактовать как решетчатые функции и как идеальные импульсные функции.

Ниже в табличке указаны выражения для дискретных изображений Лапласа некоторых элементарных функций (для сравнения здесь же даны обычные изображения соответствуюш,их непрерывных функций):

Приведем без доказательств ряд формул, определяющих ос-овные свойства дискретного преобразования [26].

Формулы для предельных значений решетчатой функции, выраженных через дискретные изображения:

X Щ = lim X \п\ = lim Х* (z);

п- 0 z-*oo

(12-19) (12-20)

i X [оо] = lim X \п\ = lim [(z - 1) X* (z)].

П-.00 г - 1

Изображение решетчатой функции, смещенной в сторону опережения на т периодов: ; {а; [п -f m]} = Z {sjx [n]} = z * (z) -

-,хЩг - х\\\г--... - х\т - \\г, (12-21)

Ргде

X{€)Z{x\n\\:

Изображение решетчатой функции, смещенной в сторону за-Кйздывания на т периодов:

) Z{x[n - m]\=z-Z{x[n\\ = z-X*(z). (12-22)

Р Решение разностных уравнений с помощью дискретного пре- разования Лапласа аналогично решению дифференциального уравнения с помощью обычного преобразования, Лапласа (см. i 6-1). Вначале над обеими частями разностного уравнения совер-паем прямое преобразование Лапласа. В результате находим выражение для дискретного изображения искомой функции. Затем ао нему находим оригинал, пользуясь таблицей дискретного преобразования и разлагая предварительно полученное выражение пя изображения на простые дроби.

Заметим, что, согласно (12-), выражение для дискретного изображения Z {ух\п\) подобно выражению (6-10) для обыч-шого изображения Лапласа L[p x(t)\ производной непрерывной зшкции с заменой в первом случае и s на у и z. Поэтому выражение для дискретного изображения X*{z) получается из разностного уравнения, использующего оператор у, точно так же, как