выражение для изображения непрерывной функции получается из дифференциального уравнения с оператором дифференцирования р. Оператор сдвига у играет здесь роль, подобную оператору Р-

В частности, если совершить над разностным уравнением (12-11) дискретное преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим выражение для дискретного изображения искомой функции в виде:

X* (z) = W* (z) F* (z), (12-23)

где W*{z) = R*{z)lQ*z - дискретная передаточная функция системы, которая отличается от выражения

Хвых{Я)

Рис. 12-8. Преобразование структурной схемы импульсной САУ.

для передаточной функции В (vVQ (V) (12-12) простой заменой у на z.

Вернемся теперь к структурной схеме импульсной САУ, изображенной на рис. 12-4, в. В схеме предварительно произведены два преобразования: осуп],ествлен переход к идеальному импульсному элементу и внешнее воздействие перенесено на вход импульсного элемента. Теперь на основе изложенного выше о разностных уравнениях и дискретном преобразовании Лапласа выполним третье преобразование схемы - перейдем от непрерывных функций к решетчатым. В результате можно будет получить выражение для дискретной передаточной функции, связывающей интересующую нас выходную переменную хых со входным воздействием /.

Прежде всего перейдем от символической записи к изображениям Лапласа непрерывных функций и затем к относительному времени t = t/T . При этом схема системы примет вид, показанный на рис. 12-8, а. Переход к изображениям Лапласа сводится к замене в передаточных функциях символа дифференцирования р на комплексную переменную s и нахождению по оригиналу внешнего воздействия f(t) его изображения F{s) = Llf{t)]. Переход далее к относительному времени заключается для изображений Лапласа в замене f(s) я&р!-], где q = -~ комнлекс-

ная переменная в относительном времени. Это непосредственно следует из формулы прямого преобразования Лапласа (см..п. 4 табл. 6-1). Соответственно переход к относительному времени для передаточной функции, поскольку она является отношением изо-

кений выходной и входной величин, сводится к замене s на Уп- Например, для f{t) = i(t) изображение Лапласа F{s) = = L[1(01 = 1/* и, соответственно, в относительном времени это рображение F{q)=----~ = i-. Далее, например, для передаточ-

т функции переход к относительному времени даст вы-

кение

9 + 1 п

, т. е. сведется к выражению постоянной времени

относительном времени.

Переход от непрерывных функций к решетчатым дает вместо структурной схемы на рис. 12-8, а схему, представленную на ис. 12-8, б. Для осуществления этого перехода надо непрерывное кодное возмущение Fnp(g) заменить на дискретное FSp(z) и не-1ерывные передаточные функции - на дискретные. - Переход от Fj,(q) к Fl(z) - это определение дискретного изображения inp(z) решетчатой функции /пр[п], соответствующей непрерывной функции /пр(г), обычным изображением Лапласа которой является Fa{q). Эта операция состоит из двух этапов, перва по изображению Fnp{q) определяют оригинал /пр(0. а за-rJM после замены этой непрерывной функгщи времени на такую Ге решетчатую функцию /npfnl находят искомое дискретное изображение iSp(z) последней. При этом пользуются таблицами не-рерывного и дискретного преобразований Лапласа. Поскольку асто Fp{q) представляет собой рациональную дробь, не содержа-1УЮСЯ в таблице изображений Лапласа, ее предварительно раз-,.агают на простые дроби (см. § 6-1). Соответственно дискретная Еередаточная функция F{z) тоже получается в виде суммы простых дробей.

В частности, например, если рацисГнальнаядробь F{q)= имеет кратных полюсов, она может быть представлена в виде -14):

пр(9) = 2?/ . (12-24)

где q - нули многочлена H{q), а

~W(9i)-

ригинал fjn) = [Fm = -S Cei.

Соответствующая решетчатая функция

/.p(n)=Sc:/ .

Совершая прямое дискретное преобразование Лапласа и пользуясь приведенной выше таблицей дискретных изображений Лапласа, находим

1с,еП} = 1Цс,}-1-: (12-

Выражение (12-25) представляет собой обш,ую формулу для нахождения F{z) непосредственно по /пр(д) в виде рациональной дроби при отсутствии у последней кратных полюсов. Аналогичная формула суш,ествует и при наличии кратных полюсов [26].

Подобным образом находятся и дискретные передаточные функции, соответствующие непрерывным передаточным функциям 1пр{ч) и Wz{q) на рис. 12-8, а, путем такого же предварительного разложения их на простые дроби.

Изображенная на рис. 12-8, б структурная схема является окончательным математическим описанием импульсной САУ. По этой схеме может быть получена искомая передаточная функция замкнутой системы, связывающая выходную величину системы с входным воздействием:

Xtu (z) = Wt (z) FSp (z). (12-26)

Здесь дискретная передаточная функция замкнутой системы

(12-27)

Выражение (12-27) аналогично выражению (1-89) для передаточной функции замкнутой системы непрерывного действия. Здесь Wfnp(z) - дискретная передаточная функция части системы, заключенной между входом импульсного элемента, где приложено приведенное внешнее воздействие Fgp(z), и местом нахождения искомой выходной величины Хых (z). Дискретная передаточ-; ная функция

W*{z)=Wrr{z)Wt{z). (12-28)

Это дискретная передаточная функция разомкнутой системы, равная произведению дискретных передаточных функций всех звеньев, образуюпщх контур системы.

Выше при математическом описании импульсной системы мы предварительно сводили ее к системе с идеальным импульсным элементом путем разложения реального импульсного элемента на идеальный импульсный элемент и формирующий элемент. В качестве идеального импульсного элемента был принят импульсный элемент с мгновенными-импульсами типа б-импульсов, площадь которых является мерой сигнала на входе импульсного элемента.

Иногда более просто применить идеальный импульсный элемент с прямоугольными импульсами конечной ширины. Это особенно удобно, когда выходные импульсы реального импульсного элемента с достаточной точностью могут быть заменены идеально прямоугольными. В этом случае не потребуется усложнять непре-

дую часть системы введением формирующего элемента, пре-разующего идеальные импульсы в реальные. Выведем выражение для дискретной передаточной функции ртопульсной системы с импульсным элементом, выходные импульсы которого имеют прямоугольную форму, ширину Та и высоту, со-асно (12-1), равную К, без перех,ода к мгновенным импульсам. гу Такой прямоугольный импульс единичной высоты можно, пред-авить в виде разности двух сдвинутых ступенчатых функций:

Y = TJT - относительная ширина импульса. Соответственно реакция непрерывной части системы на такой улье, поступаюпщй в момент t - т,

(jtm) = h(t-m)-h(t - m~y), (12-29)

через h обозначена переходная функция приведенной непрерывной части системы, т. е. ее реакция на единичное ступенча-ое воздействие. (Здесь, как всегда, положено, что функции и; в Л не существуют при t <0.) Отсюда на основании принципа суперпозиции сигнал жых на выходе непрерывной части разомкнутой системы, являющийся реакцией на последовательность импульсов с выхода импульсного элемента, можно выразить через значения х{т\ сигнала на входе импульсного элемента в дискрет-яе моменты времени m = О, 1, 2, п следующим образом:

- т)кпх\т\.

(12-30)

Уравнение (12-30) является линейным, поскольку w {t - т) I зависит от входного сигнала а\т\. Переходя к решетчатым акциям, имеем:

{п\ ==КЪЛп- т]х [т]. (12-31)

рПодвергнув зто уравнение z-преобразованию, получим Z{x,An]} = Z{kwM\Z{x[n]}.

прршенена так называемая теорема свертки, аналогичная яоименной теореме для непрерывного преобразования Лапласа а. п. 7 табл. 6-1). Окончательный вид зтого равенства:

Xt,iz) = W*{z)X*(z). -W*{z) = Z {kWa Ы S [п] Z- (12-32)

искомое выражение для дискретной передаточной функции ра-лкнутой импульсной системы.

Передаточная функция замкнутой системы находится дальше обычным образом исходя из структурной схемы системы.

Итак, мы показали, что импульсная система с линейной непрерывной частью и импульсным элементом с АИМ, имеющим линейную статическую характеристику, описывается линейными уравнениями, т. е. является линейной системой, и вывели соответствующее выражение для ее передаточной функции в виде дискретной передаточной функции.

Б. Частотные характеристики линейных систем автоматического управления с АИМ

Как и системы непрерывного действия, импульсные САУ могут описываться не только передаточными функциями, но и с помощью частотных характеристик. Последние могут быть получены по передаточным функциям или экспериментально.

-u) О

Л л

Рис. 12-9. Амплитудная частотная характеристика разомкнутой непрерывной (а) ж импульсной (б и в) систем.

Аналитическое выражение для частотных характеристик, т. е. амплитудно-фазовая частотная функция, получается подстановкой в передаточную функцию q = fa, т. е. z = ei\ где = Тп(а- относительная частота. Соответственно - это амплитуд-

но-фазовая частотная функция разомкнутой, а И(/ю) - такая же характеристика замкнутой импульсной САУ. Модуль этих комплексных величин представляет собой амплитудные, а аргумент - фазовые частотные функгщи (см. § 1-3).

Особенностью частотных характеристик импульсных систем является то, что они представляют собой периодические функции частоты. Это иллюстрируется на рис. 12-9, где показаны амплитудные частотные характеристики непрерывной системы (рис.12-9а) и импульсной системы с той же непрерывной частью и идеальным импульсным элементом для двух значений частоты Юп повторения импульсов (рис. 12-9, б и в). Здесь (Онп - полоса пропускания непрерывной части системы. Частотные характеристики импульс-

ой системы представляют собой бесконечно повторяющуюся частотой (Оп частотную характеристику непрерывной части си-ы.

Формально периодичность частотной характеристики импульс-ой системы объясняется тем, что в дискретную передаточную ункцию комплексная переменная q входит в виде функции z = е, оторая после подстановки q = /to принимает вид е/*, т. е. ста-овится периодической функцией ю.

Физически периодичность частотной характеристики импульс-[ой системы объясняется следующим образом. Выходной сигнал импульсного элемента и соответственно воздействие на непрерывную часть системы определяютЬя значением входного сигнала только в дискретные моменты времени через промежуток Т . Поэтому при гармоническом воздействии на импульсный элемент выходной сигнал системы не изменится при изменении частоты гармонического сигнала на любую величину, кратную л- В результате при снятии частотной характеристики путем неограниченного увеличения частоты сигнала на входе импульсного элемента должна получиться периодическая характеристика, показанная на рис. 12-9, б или в.

Явление периодичности частотной характеристики имнульс-X систем можно трактовать и с точки зрения процесса импульсной модуляции, происходящего в импульсном элементе [25]. При модуляции входным непрерывным сигналом последовательности импульсов образуются боковые спектры частот. Число этих спектров бесконечно, поскольку бесконечно узкий импульс содержит бесконечное число гармоник.

Периодичность частотных характеристик импульсных систем, также их симметричность относительно нулевой частоты, т. е. носительно оси ординат на рис. 12-9, означает, что для их нол-ного описания достаточно иметь частотные характеристики в диа-азоне относительных частот (о от О до +л, что соответствует лютным значениям частоты О-0,5 Юп-

В § 12-1 было сказано, что при достаточно большой частоте Юп ювторения импульсов импульсная САУ будет эквивалентна си-ме непрерывного действия. Из рассмотрения частотных ха-актеристик импульсной системы (рис. 12-9, бив) можно коли-ественно определить условие такой эквивалентности. Оно сво-тся к двум следующим неравенствам:

Юп2ю 1,

(12-33)

где - спектр (наибольшая частота) внешнего воздействия, приведенного ко входу импульсного элемента.

При выполнении первого неравенства частотные характеристики непрерывной и импульсной систем в пределах полосы пропускания непрерывной части совпадают. Поскольку боковые