амплитудно-фазовую частотную характеристику, можно по этим точкам построить характеристики А (со) и ф (w).

Амплитудно-фазовую частотную характеристику можно строить и в прямоугольной системе координат - в комплексной плоскости. При этом координатами будут показанные на рис. 1-6, г проекции и и V вектора А на соответствующие оси. Зависимости С/ (со) и У (со) называются соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками.

В дальнейшем для краткости будем в названии различных частотных характеристик опускать слово частотная , говоря просто об амплитудной характеристике, и т. д.

Аналитические выражения для рассмотренных выше частотных характеристик могут быть легко получены по передаточной функ- ции. Если в выражение передаточной функции звена W (р) подставить р = усо, то получится комплексная величина W (/со), которая представляет собой функцию со и называется амплитудно-фазовой частотной функцией. Эта функция является аналитическим выражением для амплитудно-фазовой частотной характеристики. Соответственно ее модуль представляет собой выражение для амплитудной частотной характеристики, т. е. амплитудную частотную функцию А (со), а аргумент - выражение для фазовой частотной характеристики, т. е. фазовую частотную функцию ф (со). Докажем это. Для удобства воспользуемся символической формулой записи гармонических функций, т. е. представим установившиеся колебания на входе и выходе звена в виде:

(1-33)

Согласно (1-8), уравнения звена в общем случае запишем так:

Q{p)y = R{p)x. (1-34)

Поставим задачу найти параметры установившихся вынужденных колебаний на выходе звена, т. е. их амплитуду и фазу, если известно уравнение звена (1-34) и входное воздействие х. Для этого подставим в уравнение (1-34) выранения (1-33) для х я у. Полученное таким образом, уравнение и определяет искомые значения амплитуды и фазы у как значения, удовлетворяющие этому уравнению.

При подстановке учтем следующие очевидные выражения для А;-й производной от х и у:

- ДМЖмаксе ) = (/ю)Чмаксе;

Так как слева и справа в уравнении (1-34) стоят суммы производных, то в результате подстановки (1-33) в (1-34) получим

Q (/ ) + = (/ ) макс 6

Отсюда

Д (/to) Умм}а} £iM = W(/co), а УА,

поэтому окончательно имеем

W.u(o) = А (со) eif

(1-35)

формула (1-35) определяет искомую связь передаточной функции с частотными функциями звена, указанную выше: модуль частотной функции W (/со) есть А (со), а аргумент - ф (со).

Если представить W (/со) не в показательной, как в (1-35), а в алгебраической форме, т. е.

(/со)-£7(со)-Ь/Г (со), (1-3(5)

то здесь С/ (со) № F (со) - введенные ранее действительная и .\гни-мая частотные функции, являющиеся координатами амплитудно-фазовой характеристики в комплексной плоскости.

Согласно (1-35) и (1-36), связь между приведенными выше частотными функциями следующая:

у1(со)=КC/2(co) + FMco); I 9( ) = arclgjj-, f7(to) = A((o) cos ф (со);

17((0) = А(С0)8Шф(С0).

(1-37)

(1-38)

Порядок получения выражения для перечисленных выше частотных функций по передаточной функции звена нес.ложен. После подстановки в выражение для передаточной функции р = /со получаем

Д(/(о) (ш)-Ь/Уд (ш)

И/ (/со) - - (со)

где индексами R и Q отмечены части соответствующих комплексных величин в числителе и знаменателе.

После освобождения от мнимости в знаменателе окончательно нлгеем

((0) Uq ((0) + 7r (со) 1/q (со) (со) (со) - (со) Fq (со)

uq ( ) + иь ( )

2 Е. и. Юревич 33

с/(со) F(co) = .

в. Особенности частотных характеристик устойчивых и минимально-фазовых звеньев

В общем случае исчерпывающее описание звена с помощью частотных функций требует знания амплитудно-фазовой частотной функции W (/со) либо, согласно (1-35) и (1-36), любой пары функций: А (со) и ф (со) или С/ (со) и У (со).

Однако оказывается, что для некоторого класса звеньев существует однозначная связь между образующими эти пары функциями, и поэтому для полного описания таких звеньев достаточно иметь только одну из них.

Остановимся вначале на связи между действительной U (со) и дшимоп V (со) частотными функциями. Доказано [2], что в случае устойчивых звеньев эти функции однозначно связаны, т. е. по любой из них можно найти другую. Устойчивым звеном называется звено, все полюсы передаточной функции которого [нули ее знаменателя Q (р) или корни уравнения Q (р) = 0] имеют отрицательные действительные части. Смысл самого названия будет ясен из следующего параграфа. Таким образом, устойчивые звенья полностью описываются любой из двух характеристик: и (со) или У (со).

Теперь обратимся к определению связи между амплитудной А (со) и фазовой ф (со) частотными функциями. Доказано [2], что эти функции однозначно связаны у минимально-фазовых звеньев. Минцмально-фазовым звеном называется звено, у которого все полюсы и нули передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю действительные части. Свое название минимально-фазовые звенья получили в связи с тем, что они дают минимальный фазовый сдвиг ф по сравнению с любыми звеньялит,-имеющими такую же амплитудную функцию Л (со), но у которых указанное выше условие в отношении полюсов и нулей передаточной функции не выполняется. Чтобы проиллюстрировать последнее, рассмотрим звено с уже знакомой нам передаточной функцией

Согласно определению, это звено является минимально-фазовым, так как его единственный полюс равен - 1/Т, т. е. отрицательный действительный, а нулей вообще нет. Амплитудно-фазовая с)ункция этого звена

и, следовательно, амплитудная функция (со)-f/Mco)-f F2(co) =

а фазовая

Y1 + 72(02

Ф1 (со) arctg -[ = - arctg Гсо.

При со -> оо значение ф изменяется от О до-л/2. Возьмем теперь звено с передаточной функцией

Это звено не является минимально-фазовым, так как его передаточная функция имеет полои?игельный действительный полюс ]1 i/T. (Заметим, что по этой причине данное звено является также и неустойчивым.) Амплитудно-фазовая функция этого звена

к - к - /кТы

Соответственно его амплитудная функция совпадает с амплитудной функцией первого звена, т. е. А (со) = А (со), а фазовая функция ф2 (со) = arctg Гсо - л = -[ф1 (со) 4- л]. При со оо значение ф2 изменяется от - л до - л/2. Таким образом, второе звено создает большее фазовое запаздывание, чем первое - -минимально-фазовое.

Для графического описания минимально-фазовых звеньев применяют амплитудную частотную характеристику. В случае необходимости по ней может быть построена фазовая характеристика (2. Принципиально связь между этими характеристиками такова, чта величина фазы ф растет с увеличением наклона амплитудной характеристики. При этом в случае применения логарифмической амплитудной характеристики можно приближенно считать, что участку л. а.~х. с наклоном 20 дб/дек соответствует фазовый сдвиг, близкий к л/2, а участку л, а. ,ч с наклоном 40 дб/дек - сдвиг п. Конкретно взаимосвязь между амплитудной и фазовой характеристиками можпо проследить па примере характеристик, приведенных на рис. 1-7, 1-8, 1-10. 1-11.

§ 1-4. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрим уравнения, переходные и частотные характеристики, наиболее часто встречающихся типовых звеньев.

А. Статическое звено первого порядка

Уравнение этого звена имеет вид:

(7 р + \)у = кх. Соответственно передаточная функция

(1-39) (1-40)

В установившемся статическом режиме входная и выходная величины связаны уравнением;

JoT-cT. (1-41)

Наличие такой пропорциональной зависимости между входом и выходом звена в статике и определяет его название. Иногда это звено называют еще апериодическим или инерционным звеном первого порядка.

Примером статического звена первого порядка является рассмотренный в § 1-2 генератор постоянного тока, описываемый уравнением (1-17).

Наклон-2П5б/дек1

Рнс. 1-7. Характеристики статического звена первого порядка.

Переходная функция такого звена, являющаяся решением уравнения (1-39) при ж = 1 (О, представляет собой экспоненту

Весовая функция

h{t) = k{l-e ).

(1-42) (1-43)

Соответствующие характеристики изображены на рис. 1-7, а и б. Если эти характеристики получены экспериментально, по ним можно определить значения Тик, как показано на рисунках, и, таким образом, получить уравнение звена.

Величина постоянной времени Т определяет инерционность звена: чем она больше, тем длительнее переходный процесс в звене. Хотя теоретически время нарастания экспоненты h (t) равно бесконечности, практически за длительность переходного процесса принимают время, которое прошло от начала процесса до момента,

когда выходная величина достигла 95% ее конечного установившегося значения. В случае h (t) в виде экспоненты это время равНо ЗТ.

Амплитудно-фазовая частотная функция

w с )=== +

F(co) =

(1-44)

1 + т2со2

Соответствующая амплитудно-фазовая характеристика показана на рис. 1-7, в. Она представляет собой полуокружность с радиусом к/2 и центром в точке {к/2, jO) на действительной оси.

Согласно (1-44),

/ ч V {w) Ф (со) = arctg

arctg T(i).

(1-45)

Логарифмическая амплитудная частотная функция

L (со) = 20 Ig Л (со) = 20 Ig А; - 20 Ig Kl-f Тсо. (1-46)

Она показана на рис. 1-7, г.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика рассматриваемого звена может быть приближенно представлена ломаной линией, которая показана на том же рисунке. Эта приближенная характеристика называется асимптотической л. а. X. Такое название связано с тем, что эта характеристика составлена из двух асимптот, к которым стремится л. а. х. при соО и со оо. Найдем эти асимптоты.

При малых значениях оз < 1/f в выражении (1-46)

Vl + T(ol, т. е. L{(u)20\gk.

Соответственно характеристика представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую на уровне 20 Ig к. Это есть первая асимптота, к которой стремится л. а. х. при © 0.

С другой стороны, на больших частотах, когда col/f в

(1-46),

Vl + TdiTa, т. е. L(co) = 201gA; -201grco.

В этом случае характеристика представляет собой прямую, имеющую наклон -20 дб/дек. Де11Ствительно, при увеличении со на декаду, т. е. в 10 раз,

L (со) - 20 Ig А; - 20 Ig Г 10 со = 20 Ig Л - 20 Ig Гсо - 20 Ig 10.

Таким образом, величина L (со) уменьшилась на 20 Ig 10, т. е. на 20 дб. Эта линия является второй асимптотой, к-которой стремится л. а. х. при со оо. Обе асимптоты пересекаются в точ- ке, соответствующей частоте о = 1/Т. Поэтому эта частота назы-сопрягающе!! частотой.

вается