Вернемся теперь к линейному объекту. В этом случае уравнения (13-15) принимают вид:

(13-20)

i = l, 2, П. Согласно (13-12), сопряженные уравнения будут

t = l, 2, .... п.

Действительно, в соответствии с (13-20)

dvh d (dXh\

(13-21)

dXi dXi

Если характеристическое уравнение объекта, соответствующее дифференциальным уравнениям (13-20) при С/ = О, имеет все корни действительные и отрицательные, то же справедливо и в отношении характеристического уравнения для сопряженных уравнений (13-21) [29]. Это значит, что решение уравнений (13-21) имеет вид суммы экспоненциальных составляющих:

(13-22)

где a,j - отрицательные действительные числа, а - постоянные интегрирования. Следовательно, согласно (13-19),

и = и sign 2 = пр sign 2 (13-23)

г= 1 = 1 j = 1

г = 1

Сумма п экспонент, входящая в (13-23), как известно, может переходить через нуль не более {п - 1) раз. Следовательно, число интервалов постоянства знака U {t) будет не более п, что и требовалось доказать.

В случае, если ограничена не только входная переменная U, а еще и любое число промежуточных переменных уравнения объекта, число интервалов оптимального управления будет больше. Можно показать, что оно будет равно

к = [(п-т) + Ц{(т-1) + Ц ...-1,

(13-24)

п - порядок уравнения объекта, связывающего X с U, а I, ... - порядок уравнений, связывающих X с другими огра-енными по величине переменными [31]. Например, если в случае объекта, изображенного на рис. 13-6, а, ограничена помимо U [еще и величина Xi, число интервалов управления, согласно -(13-24), будет ft = (2 - 1 + 1) (1 - О -Ы) - 1 = 3.

В этом случае U тоже изменяется скачком от одного предель-вого значения до другого. Однако, если в каком-либо интервале одна из других ограниченных переменных достигает своего пре-, дельного значения, U должно изменяться таким образом, чтобы га переменная не превосходила данного предела до очередного кюмента изменения знака U, после чего данная переменная начнет лениться в другом направле-. Таким образом, при огра-ении наряду с U еще и промежуточных переменных объекта оптимальный переходный оцесс состоит из интервалов, каждом из которых U или я-либо другая ограниченная гичина имеет предельное зна-ение.

На рис. 13-7 показан припер оптимального управления случае объекта второго порядка (см. рис. 13-6, а) с огра-ачением U и Х. Ограничение создает новый (средний) ин-ервал, на протяжении которого леньшается форсирующий си-ал и до величины ХШ для того, чтобы величина Х не ышла за допустимый предел Х. В результате переходный про-;есс получается более длительным, чем при отсутствии ограни-[ения Xi (см. рис. 13-6, б).

Мы рассмотрели оптимальное по быстродействию управление случае задачи быстрейшего изменения состояния объекта в соот-етствии с заданием. Все сказанное полностью справедливо и для ереходных процессов, вызванных возмущающими воздействиями, огда речь идет об управлении, обеспечивающем быстрейший Возврат объекта к исходному невозмущенному режиму.

Если внешнее воздействие - задающее или возмущающее - [зменяется не скачком, как предполагалось выше, а по произ-ьной кривой, эту кривую можно представить на основе инте-ала Дюамеля (см. § 1-3) как результат наложения элементарных скачков. Отсюда следует, что и в этом общем случае оптимальное £р быстродействию управление будет релейным. Моменты переклю-я предельных значений входного сигнала будут определяться этом кривой внешнего воздействия.

Рис. 13-7. Пример оптимального по быстродействию управления объектом второго порядка при ограничении V и Xj.

Б. Синтез оптимальных по быстродействию САУ

Выше мы уяснили общий характер оптимального по быстродействию управления. Кривые оптимального управления U (t) и самого оптимального процесса X (t) на выходе объекта определяются с помощью вариационных методов, рассмотренных в § 13-2, обычно с использованием вычислительных машин.

После нахождения U (t) ъ X {t) для заданного закона изменения внешнего воздействия F {t) встает задача реализации найденного оптимального процесса управления, т. е. синтеза управляющего устройства, обеспечивающего найденный оптимальный процесс. Принципиально здесь, как и вообще

в системах автоматического управления, возможны два типа САУ - разомкнутые и замкнутые.

В случае, когда внешнее воздействие является задающим воздействием и известно как функция времени Хз {t), оптимальное управление проще всего осуществить в виде обычной разомкнутой системы программного управления (рис. 13-8, а). Такие системы применяются, например, в металлорежущих станках с программным управлением.

Если внешнее воздействие заранее неизвестно, но его можно измерить, оптимальный процесс может быть реализован тоже в виде разомкнутой системы управления, схема которой показана на рис. 13-8, б. Здесь ЧУ - чувствительное (измерительное) устройство, ВУ - вычислительное устройство, вычисляющее закон управления U {t) по измеренному воздействию F, ИР - исполнительное реле. Показанный пунктиром канал измерения выходной величины X объекта О предназначен для ввода в вычислительное устройство данных о состоянии объекта до начала очередного процесса управления, т. е. начальных условий. Это необходимо в тех случаях, когда закон оптимального управления U {t) зависит, помимо внешнего воздействия F (f), еще и от начальных условий. Когда внешнее воздействие F является возмущением, рассматриваемая система представляет собой систему оптимального унравления по возмущению, т. е. систему автоматической компенсации, обеспечивающую максимально быстрое устранение влияния возмущения на режим объекта. Таким образом, такая истема заменяет (или дополняет) систему линейной компенсации,

Рис. 13-8. Функциональные схемы оптимальных по быстродействию САУ.

когда полная инвариантность X от F (см. § 7-4) недостижима вследствие ограничения переменных.

Примерами рассматриваемой разомкнутой системы оптималь-Гoгo управления могут служить оптимальные системы управле-[ния курсом самолета или корабля. В этих случаях в качестве рычислительного устройства используется бортовая вычисли-1ьная машина, которая обычно работает в составе управляю-дего устройства данной системы параллельно с выполнением ругих задач.

Разомкнутая система оптимального управления возможна [также и без измерения внешнего воздействия в тех случаях, когда 1.это воздействие многократно повторяется в виде одной и той же 1или малоизменяющейся функции времени. В зтом случае закон Гуправленйя U (t) может быть вычислен заранее и заложен в про-[граммное устройство [задатчик U (t)], как в схеме на рис. 13-8, а. ьПри этом необходимо только выявлять момент подачи воздей-1СТВИЯ, т. е. его начало для включения в работу этой программы.

Этот начальный момент может быть часто выявлен и без изме-j рения F, а по каким-либо косвенным признакам, например по отклонению выходной величины объекта или его производной . (если в объекте отсутствует существенное временнбе запаздывание).

Наиболее совершенным, хотя соответственно и наиболее слож-[ным типом оптимальных САУ являются замкнутые САУ с управ-►лением в функции выходной величины объекта и ее производных и как их развитие - комбинированные САУ. Преимущества этих оптимальных систем те же, что и вообще замкнутых САУ перед [разомкнутыми. Они заключаются в большей точности за счет учета L реального состояния объекта в процессе управления и возможности тем самым корректировать неизбежные отклонения от оптималь-(-ного процесса вне зависимости от вызвавших их причин.

Для каждой функции F (f) существуют определенные опти-Ьмальные функции U (t) w X (t). Исключив из двух последних {зависимостей время можно получить оптимальную зависимость W (X), выражающую управляющее воздействие U через величину \Х и ее производные.

На рис. 13-8, в показана схема соответствующей САУ. Важно Ботметить, что для широкого класса объектов и воздействий F (t) .оптимальная зависимость U {X) не зависит от конкретного вида jF (J) и начальных условие, т. е. инвариантна относительно их [29]. ьБлагодаря этому в замкнутой системе, изображенной на рис. 13-8, в, будет осуществляться оптимальное по быстродей-ктвию управление объектом вне зависимости от конкретного характера изменения воздействия F во времени, если только ?это воздействие находится, в пределах определенного класса функций.

В частности, в случае линейных объектов с ограниченным [ управляющим воздействием или ограниченными любыми промежу- точными цеременными объекта зависимость U {X) инвариантна

4

., i

относительно начальных условий и задающего воздействия, т. е. воздействия, приложенного в точке X, изменяющегося по параболическому закону

F{t) = bq + bt+...+ Btm, (13-25)

где - величины постоянные в течение отдельного переходного процесса [29]. При этом ограничение представляется в виде ограничения величины суммы производных выходной величины объекта

I (ь р +ь-V - >) XI,

и величина степени т в (13-25) должна быть меньше порядка младшей производной, т. е. ограничена неравенством

m<{n - q).

Ограничение управляющего воздействия U всегда можно привести к указанному выше ограничению суммы производных, используя уравнение объекта Q (р) X = R (р) U. (Например, ограничение U в случае объекта с астатизмом к-то порядка при jR (р) = к эквивалентно, согласно уравнению объекта, ограничению величины Q (р) X, т. е. суммы производных порядка от п до к. Соответственно здесь будет т -< к.)

Класс воздействий (13-25) включает в себя ступенчатые воздействия [F (t) = Bq], воздействия, растущие по линейному или степенному закону до т-го порядка, и комбинацию этих воздействий.

Сформулированное выше условие независимости закона управления и (Х) от F (t) можно применить в случае возмущения F (t), приложенного в .чюбой точке объекта. Для этого надо предварительно преобразовать схему системы, перенеся это возмущение к выходу объекта, т. е. в точку X. (При этом изменяется выражение для F (t) в соответствии с передаточной функцией части системы, заключенной между местом приложения возмущения и выходом объекта.)

Оптимальная зависимость U (Х) является нелинейной, т. е. ее можно представить в виде:

и = АууХ, (13-26)

где i4yy - нелинейный оператор.

Порядок зависимости U (Х) (порядок оператора Луу) определяется порядком уравнения объекта, связывающего Z с £7, на основании которого она находится. Поэтому зависимость U (Х) включает X и ее (и - 1) производных (п - порядок объекта), совокупность которых полностью определяет состояние объекта.

Остановимся на вопросе об устойчивости оптимальных по быстродействию замкнутых САУ. В этих системах обеспечивается максимально быстрое окончание переходных процессов, однако при определении оператора управляющего устройства системы не учитываются условия

стойчивости. в результате этого система может оказаться не-1ЙЧИВОЙ в малом в заданной точке нового установившегося 1ежима. Действительно, оптимальное по быстродействию управление является релейным, и поэтому, когда оно оказывается двух-позиционным, так что управляющее воздействие может принимать Столько два своих предельных значения dzC/p, установившимся режимом после окончания оптимального переходного процесса

вмогут быть только автоколебания относительно заданной 1гочки равновесия, при которых U попеременно переключается Ь +fnp па - tnp (см. одиннадцатую главу). Конечно, эти авто-{олебания могут быть достаточно малы по амплитуде и поэтому допустимы, однако чаще всего с ними приходится особо бороться. Для этого управляющее устройство, синтезированное для обеспечения оптимального. процесса управления, необходимо дополнительно изменить пз соображений устойчивости. Здесь возможны следующие пути.

Проще всего ввести у исполнительных реле управляющего устройства зону нечувствительности, внутри которой система будет останавливаться, т. е. перейти к трехпозиционным релейным САУ (см. одиннадцатую главу). Недостатком этого способа ликвидации автоколебаний является возникновение соответствующей этой зоне нечувствительности дополнительной статической ошибки

Iсистемы, т. е. снижение точности. Если это недопустимо, систему усложняют так, чтобы в пределах зоны нечувствительности иснол-Ьительного реле она работала как система непрерывного действия, iro значит, что при подходе к новому установившемуся значению релейное управление заменяется непрерывным линейным и переходный процесс в малом заканчивается, как в системе непрерывного действия. Таким образом получается двойное управление: релейное при больших X и непрерывное при малых. В наиболее сложном случае объект снабжается двумя самостоятельными управляющими устройствами: одно осуществляет стабилизацию в малом, а второе - оптимальное управление в большом.

Оптимальные по быстродействию САУ являются о п т и -альнымии по колебательности в том смысле, о переходные процессы в этих системах протекают предельно ыстро при отсутствии колебательности и без перерегулирования с минимальным перерегулированием. Часто в этих системах обеспечивается и минимум максималь-[ого отклонения (минимакс) X, т. е. они оказываются оптималь-и в этом отношении. В большинстве случаев для этого доста-1ЧНО, чтобы интервал, в течение которого осуществляется пре-[ельная форсировка объекта, направленная на ликвидацию первоначального отклонения X, продолжался вплоть до прохождения .аксимума X.

Из изложенного об оптимальном цо быстродействию управле-линейными объектами не должно создаться впечатления, что да, т. е. при любом объекте и любом критерии оптимальности,