оптимальное управление будет обязательно релейным. Например, когда критерием оптимальности является экономичность (минимум расхода горючего на единицу пути и т. п.), наоборот, предельные режимы работы объекта, его максимальная форсировка, как правило, неоптимальны. .

В. Пример синтеза оптимальной по быстродействию САУ

На рис. 13-9, а показана схема позиционной следящей системы непрерывного действия, состоящая из двигателя Д, усилителя У, потенциометра обратной связи П и элемента сравнения. При отсутствии каких-либо ограничений, считая систему линейной, можно обеспечить любое требуемое качество переходных про-

й-L . pgjjg Объект

Реле

ной по быстродействию САУ.

цессов, например, с помощью обычных линейных корректирующих звеньев (см. седьмую главу). Учтем тейерь ограничение.величины напряжения U на входе двигателя и рассмотрим, каково должно быть управляющее устройство, обеспечивающее минимум длительности переходных процессов (рис. 13-9, б).

Объект, т. е. двигатель, опишем следующими уравнениями:

fx = kl]\ (13-27)

Внешнее воздействие представим ступенчатым изменением Аз произвольной величины при произвольных начальных условиях.

Из изложенного выше (см. теорему об п интервалах) следует, что в данном случае на выходе управляющего устройства должно стоять двухпозиционное поляризованное реле, выдающее сигнал -£/ = ± С/др. Поэтому схему системы можно представить так, как это сделано на рис. 13-9, в. Здесь ВУ - вычислительное устройство, оператор которого подлежит определению.

Поскольку в данном случае уравнение- объекта имеет рсего второй порядок, синтез ВУ проведем для наглядности с помощью фазовой плоскости.

Подставив выражение (13-28) как равенство в уравнение

13-27), получим уравнение процесса управления в следующем ие:

рх = ±В, (13-29)

це В = Лг/щ,; х = Хз-Х. Решение уравнения представим так:

(13-30)

( Со, с - постоянные интегрирования, зависящие от начальных Еловий. S Введем обозначение

У=ш-

, Согласно уравнению (13-30),

y = ±B{t-Cp). - (13-31)

(Исключив ИЭ уравнений (13-30) и (13-31) время, получим равнение фазовых траекторий оптимального процесса управле-я, которые являются параболами:

(13-32)

Соответствуюпщй фазовый портрет приведен на рис. 13-10, а. пошными линиями (отмечены значком -) изображены траекто-для В <iO, т. е. для 17= - U а пунктирными линиями печены значком -f) - для В > О, Ч. е. для U = + U p. яСтыми линиями показаны два конкретных процесса управле-для Хз <Z0 (траектория ММО) и для Хз> Q (траектория fO) в случае, когда при t = О значение у = dx/dt = 0. Точки и М соответствуют моменту переключения реле, т. е. моменту зменения знака £7. При любом значении Хз оптимальная траек-Ьрйя состоит из двух отрезков парабол. Первая парабола зависит t- начального рассогласования Хз, а участок второй параболы егда принадлежит линии АОА. Эта линия является линией [е р е к л ю ч е н и я. По ней изображающая точка движется шачало координат. Процесс управления, соответственно, состоит I двух -интервалов. Второй интервал начинается в момент попа--ня изображающей точки на линию переключения АОА, гда происходит переключение реле и, соответственно, изменение ка и.

общем случае, когда в начальный момент у = dx/dt ф О, зовая траектория может начинаться в любой точке фазового остранства (например, в точках М, М ). В частности, если t начальный момент точка окажется на линии переключения рЛ, оптимальный процесс управления будет состоять всего из ного интервала.

.1.

Из изложенного следует, что алгоритм работы вычислительного устройства ВУ, обеспечивающий максимальное быстродействие рассматриваемой следящей системы, сводится к тому, чтобы сигнал на его выходе был положителен, когда изображающая точка находится ниже линии переключения АО А или на ее участке О А, и отрицателен, когда она выше зтой линии или лежит на ее

участке АО. Сказанное иллюстрируется на рис. 13-10, б.

Согласно (13-32), уравнение линии АО А можно представить в виде:

x = - (s\gay)

:r4(sign2/) = 0. (13-33)

Действительно, для этой линш! в уравнении (13-32) С = О, так как при = О значение а: = 0; знак перед членом у12В обратен знаку у (см. рис. 13-10, а).

Зная уравнение линии переключения, легко определить оператор вычислительного устройства, которое управляет реле. Когда изображающая точка находится выше линии АО А и требуется £7 = - Г/щ левая часть уравнения (13-33) положительна, а когда изображающая точка лежит ниже зтой линии и требуется С/ = -f- С/др, левая часть этого уравнения отрицательна. Поэтому оператор всего управляющего устройства в целом, включая реле, может быть представлен в виде:

Рис. 13-10. Фазовый портрет оптимальной по быстродействию САУ.

£/ = - С/ р Sign Га: + (sign у)

(13-34)

Соответствующая структурная схема системы показана на рис. 13-9, г. (Здесь звено, вырабатывающее сигнал sign у, очевидно, представляет собой просто двухпозиционное реле.)

Как было ранее указано [см. выражение (13-25)], в данном случае следящей системы второго порядка синтезированное управляющее устройство будет осуществлять оптимальное по быстродействию управление не только при ступенчатых изменениях внешнего сигнала, но и при

Хз(*)=/?о + 1*.

где Во и Bi - любые постоянные в течение переходного процесса величины.

В установившемся состоянии в этой системе, как релейной вухпозиционной, будут существовать автоколебания. Если амп-1ггуда их недопустимо велика, следует принять необходимые бры, о которых говорилось в конце предыдущего пункта настоя-pjero параграфа, например, ввести в выходное реле зону нечувст-тельности и т. п.

Квазиоптимальные САУ

В рассмотренном выше простейшем примере замкнутой опти-Кальной САУ с объектом второго порядка для осуществления сального управления потребовалось выявлять производную дходной величины и осуществлять ряд математических операций см. рис. 13-9, г). В случае более сложных объектов оператор оптимального управляющего устройства получается соответст-енно более сложным для реализации, особенно в связи с необхо-юстью выявлять идеальные производные выходной величины цо (и - 1)-го порядка. Вместе с тем обычно имеется возможность существенно упростить управляющее устройство ценой практи-ски незначительного отхода от условий оптимальности. В результате получаются САУ, близкие к оптимальным, 1И квазиоптимальные. Возможны следующие два основных пути синтеза квазионти-1ьных систем: упрощение предварительно найденного строго оптимального оператора управляющего устройства и синтез амального оператора для предварительно упрощенного Ьбъекта.

Достоинством первого пути является то, что в процессе упрощения имеется возможность сравнения с точным оптимальным ароцессом и, следовательно, известно, как далеко мы от него отхо-В частности, например, в случае САУ, оптимальных по быстродействию, в результате такого упрощения практически 1ри любом порядке уравнения объекта число интервалов управ-вния сводится к двум, в редких случаях к трем. В замкнутой САУ Иля осуществления такого квазиоптимального управления оказыва-ся достаточным применить, помимо самой выходной величины вкта, сигналы по производным выходной величины не выше горого порядка (или. эквивалентных им других координат объекта). Синтез управляющего устройства при этом сводится к на-ождению нелинейной функции этих сигналов по условию мини-длительности переходного процесса. Для дальнейшего ощения задачи обычно заранее ограничиваются определенным бным для реализации видом этой функции, например в виде нелинейных статических функций от каждого из этих 1алов и т. п.

Второй путь синтеза квазиоптимальных САУ, основанный на Предварительном упрощении уравнения объекта прежде всего по-Дством возможной линеаризации или отбрасывания нелинейнос-

тей и снижения порядка уравнения до второго или максимум третьего, проще первого цути, так как позволяет с самого начала иметь дело с простым объектом. Его недостатком является отсутствие при этом общей оценки степени отхода от точного оптимального процесса. Снижение порядка уравнения объекта осуществляется отбрасыванием малых постоянных времени. Для уменьшения допускаемой при этом погрешности следует соответственно увеличить учитываемые постоянные времени или ввести \дополни-тельное временнбе запаздывание [32; 33].

§ 13-4. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Выше принималось, что задающие воздействия Хз и возмущения F являются величинами детерминированными. Однако они могут быть и случайными величинами. Пусть, например, задача оптимального управления сводится к переводу изображающе!* точки из начального положения О в заданное конечное К при условии минимизации некоторого критерия оптимальности Q (рис. 13-11). Если внешние возмущения отсутствуют или являются

детерминированными и известными, может быть найдена оптимальная траектория, приводящая в требуемую точку К (сплошная линпя на рис. 13-11). Если теперь к системе приложить случайное возмущение (помеху), траектория X (t) при этом же управлении исказится и будет случайной при каждой реализации процесса (пунктирные линии на рис. 13-11). Случайными величинами при этом окажутся критерий оптимальности и само попадание в заданную конечную точку К. Если случайным является и задающее воздействие, определяющее в данном случае конечную точку траектории (задача о попадании ракеты в подвижную цель и т. п.), случайным процессом будет и реализуемый управляющим устройством закон управления

и (О-

Случайный характер управляемого процесса требует вероятностной оценки степени оптимальности управ-чения, т. е. статистических критериев оптимальности. Рассмотрим эти критерии.

Часто в качестве таких критериев оптимальности берут среднее значение критерия оптимальности, выбранного для оценки отдельной реализации процесса и используемого при детерминированной задаче. Например, в случав оптимизации по быстродейст-

йю в качестве критерия оптимальности при наличии случайных

Рис. 13-11. Оптимальное управление, при случайных возмущениях.

среднее значение времени процесса t, т. е.

адействий берут личину М [tJ.

Если требуется минимизировать ошибку управления, в ка-втве статистического критерия оптимальности берут среднее наченис квадрата отклонения X от Хз, т. е. дисперсию. Условие имальности соответственно имеет вид:

Г М {[X (t) - Хз {ЩЦ = min. (13-35)

Этот критерий, в частности, использовался нами в § 3-2 для кождония оптимальной передаточной функции линейной САУ стационарных случайных возмущениях и задающем воздей-гвии.

В задачах, подобных задаче обнаружениясигнала, , е. определения факта его наличия, применяется критерий мини-л& вероятности ошибочного решения:

ош = л.о + п.с = тш, (13-36)

Pj, о - вероятность ложного обнаружения сигнала; . - вроятность потерн сигнала. Этот критерий оптимальности называется критерием отельникова или критерием идеального наблюдателя.

Такой критерий можно, например, применить при решении ачи на поражение цели, если существен только факт нопада-а не величина ошибки в виде отклонения от центра цели, случае промаха не имеет значения, на каком расстоянии от ИИ прошла траектория.) В ряде случаев учитываемые в формуле (13-36) две составляю-ие ошибки представляют собой существенно неодинаковую опас->сть, причем ложное обнаружение (ложная тревога) более неже-ательно. Тогда критерий (13-36) дополняют условием, что вероят-ложного обнаружения должна быть снижена до определен-

ОГО допустимого уровня Pj, .

минимума вероятности

n.cniin

= С. Получаемый критерий услов-оптимального решения имеет вид:

при Рл.о = С. (13-37)

критерием Неймана-

Этот критерий называется ?и р с о и а.

Перечисленные и другие подобные им статистические крите-~ могут быть обобщены в так называемый критерий ми-1имума среднего риска. В общем виде этот критерий И05КНО записать так:

р(А)М[1 (Хз, X)] = min. (13-38)

Uficb р (А) - так называемый средний риск. Он пред-вляет собой среднее значение некоторой функции I (Хд, X) Цання Хз и реализации X на выходе системы. Эта функция назы- ~ся функцией потерь.

/ 11 Е. И Юревич