Рис. 2.8. Форма напряжения на лампе с одним дезактивированным катодом при синусоидальном токе лампы

лампы до нуля [2.2]. При расчете схем с металлогалогенными лампами необходимо учитывать, что даже в режиме без пауз тока напряжение перезажигания может увеличиваться до и = Ъ5() В, а в режиме с паузой 1 мс (1/20 часть периода) оно может достигать 600 В [2.2]. Для предотвращения погасания лампы в период разгорания схема ПРА должна обеспечивать ее устойчивое перезажигание во всех этих режимах.

И, наконец, в люминесцентных лампах напряжение горения не остается постоянным и релаксирует на 6-10 В с частотой несколько килогерц (рис. 2.3) [2.2]. В силу небольшой амплитуды и сравнительно высокой частоты эти колебания не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на электрические параметры ПРА. Однако обусловленные этим напряжением высокочастотные токи заметно влияют на спектр шума дросселей ПРА, что будет подробно рассмотрено ниже.

Таким образом, разрядная лампа как нелинейный элемент электрической цепи в соответствии с принятой алгебраической аппроксимацией характеризуется четырьмя параметрами: гср~л 8 и и. Все указанные параметры мало зависят от электрического режима при работе лампы без пауз тока. Пауза тока влияет прежде всего на U, однако при этом несколько изменяются и остальные параметры: U, р и 5. В дальнейшем под параметрами f/ 5 и р будем понимать их значения при работе лампы в режиме без пауз тока. Режимы с паузами тока будем рассматривать с учетом зависимости U от длительности паузы и используя параметры f/ р и 5 в режимах без пауз тока.

2.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ РАЗРЯДНЫХ ЛАМП

Алгебраическая аппроксимация обеспечивает удовлетворительное приближение при расчете режимов без пауз тока и в ограниченной области частот. Учет йауз тока приводит, как

правило, к существенному усложнению аппроксимирующего выражения и снижению точности расчетов. Расчеты при широкой вариации частоты, анализ электрических режимов с импульсными полупроводниковыми стабилизирующими устройствами вообще не могут выполняться с применением указанных алгебраических аппроксимаций.

Сравнительно узкая область применения алгебраической аппроксимации определяется рядом ее особенностей. Во-первых, такая аппроксимация связывает функционально лишь значения величин в определенные моменты времени и не позволяет учесть их предысторию, во-вторых, не учитывается инерционность процессов, происходящих в газовом разряде.

От этих ограничений свободны аппроксимации электрических параметров разрядных ламп дифференциальными уравнениями, образующими так называемую дифференциальную математическую модель электрических параметров разрядных ламп. Модель позволяет учесть предысторию процесса заданием начальных условий и его инерционность введением соответствующих производных по времени. Интерес к модели в последние годы усилился в связи с появлением ряда импульсных полупроводниковых ПРА, расчет которых традиционными методами на основе алгебраической аппроксимации невозможен.

Какие же требования должны быть предъявлены к дифференциальной модели разрядной лампы? Во-первых, модель должна обеспечивать достаточную точность расчета при широкой вариации режимов работы лампы. На постоянном токе она должна соответствовать статической ВАХ. При работе в цепях промышленной частоты анпроксимация должна быть пригодна как для расчета режимов без пауз тока, так и режимов со значительной паузой, а на высоких частотах правильно описывать динамическую характеристику u = R i, в импульсных режимах - вольт-секундную Мд(0 и ампер-секундную i(t) характеристики лампы. Во-вторых, дифференциальнйе уравнения, входящие в модель, не должны быть очень сложными, чтобы не затруднять их применение для проведения электротехнических расчетов. Здесь предпочтение следует отдавать уравнениям первого или второго порядка с минимальной нелинейностью.

И, в-третьих, в уравнения должны входить легко измеряемые параметры или постоянные коэффициенты, значения которых могут быть определены с достаточной точностью.

Дифференциальная модель обычно строится на основе так называемых определяющих параметров [2.1]. Определяющие параметры связаны с совокупностью частиц, запасающих энергию: тепловую, магнитную, электрическую, энергию ионизированных атомов и т. д., существенно влияющую на электрическую проводимость лампы. В силу такой связи определяющие

параметры являются инерционными и их временные зависимости непрерывны и дифференцируемы.

в общем случае дифференциальная модель может быть представлена в виде системы дифференциальных уравнений

dOJdt=f](0,; О,; 0 В,; В ) (2.8)

и алгебраического уравнения электрической проводимости

л = Л(О0л, (2-9)

где О, - определяющие параметры; Bj-внешние воздействия, приводящие к изменению накопленной энергии; Л (О,) - электрическое сопротивление лампы, в общем случае зависящее от всех определяющих параметров; /=1; 2; ...; к, ]=]; 2: ...; п.

Наилучшие результаты при разработке дифференциальной модели дает использование математических моделей с переменной структурой, которые в процессе накопления экспериментальных результатов позволяют шаг за шагом усложнять структуру модели и уточнять коэффициенты, входящие в уравнения. При этом усложнение структуры модели производится на основе сравнительного анализа теоретических и экспериментальных параметров газового разряда, уточнения входящих в уравнения коэффициентов, осуществляемого на. базе экспериментальных результатов.

Разработка математической модели электрических параметров разрядных ламп включает следующие этапы:

1) выбор определяющего параметра и структуры дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами;

2) определение численных значений постоянных коэффициентов, входящих Б модель;

3) анализ точнбсти модели и область ее применения;

4) уточнение коэффициентов модели, определение их зависимости от режима, построения модели с переменными коэффициентами;

5) анализ точности и проверка адекватности модели;

6) выбор второго определяющего параметра и структуры модели второго порядка как развития модели первого порядка;

7) noBTOpcHfie этапов 2, 3, 4 и 5, определение необходимости разработки модели более высокого порядка и т. д.

На первом этапе выбор определяющего параметра простейшей модели с постоянными коэффициентами целесообразно провести с учетом энергии, накопленной в плазме газового разряда. В ртутных лампах как низкого, так и высокого давления основными видами энергии являются: энергия ионизированных ато.мов ртути и кинетическая энергия заряженных и нейтральных частиц (в лампах низкого давления - электронов, в лампах высокого давления - электронов, ионов и нейтральных атомов).

Энергии возбуждения и ионизации определяются средней концентрацией возбужденных атомов п, и средней концентрацией электронов п. Кинетическая энергия частиц зависит от концентрации соответствующих частиц и их средней энергии, которую при максвелЛовском распределении по скоростям можно характеризовать температурой Т. 32

Таким образом, в качестве определяющего параметра могут быть приняты: средняя концентрация возбужденных атомов п усредненная по объему и всем принимаемым во внимание уровням атома ртути, средняя концентрация электронов и температура газа Т для ртутных ламп высокого давления, температура электронов для ртутных ламп низкого давления.

Однако существенными преимуществами в качестве определяющего параметра обладает средняя концентрация электронов п, так как она существенно влияет на скорость образования возбужденных и ионизированных атомов и практически определяет электрическую проводимость газового разряда.

На основе одного определяющего параметра - средней кон-центрагщи электронов - построены математические модели электрических параметров люминесцентных ламп [2.7, 2.8]. Такие модели содержат три уравнения: одно дифференциальное и два алгебраических [2.9]:

dgJdt=g M,{u ) = F,{u ; g y, (2.10а)

G, = iJu,=gj[l+K,{K\lUo-\)]; (2.106)

o/o.н м = (л/л.н)° (2.10b)

где Uq - установившееся напряжение на лампе на постоянном токе (UqU); о.ном - номинальное . установившееся напряжение на лампе на постоянном номинальном токе

L=U

Приведенная проводимость лампы g пропорциональна средней концентрации электронов и равна проводимости лампы G при u=Uq.

В описываемой модели (2.10а) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка и учитывает баланс средней концентрации электронов в плазме положительного столба разряда. Уравнение (2.106) учитывает зависимость проводимости лампы от приложенного напряжения и при постоянной средней концентрации электронов (приведенной проводимости д).

Третье уравнение (2.10в) описывает статическую характеристику лампы и совпадает с (2.4).

Значения коэффициента K в дифференциальной модели для большинства люминесцентных ламп лежат в пределах 0,3 - 0,4 [2.9] и для основных типов ламп мощностью от 8 до 80 Вт его можно принимать постоянным и равным 0,35.

На рис. 2.9 - 2.11 приведены зависимости функции Afj (mJ. Как видно, функция {и ) является существенно нелинейной.

Для люминесцентных ламп по результатам измерений [2.9] проведена аппроксимация функции Mj (и,) в двух областях:

Таблица 2.4. Коэффициенты математических моделей люминесцентных ламп

Мощность лампы, Вт

15 20 30 40 65

Диаметр колбы, мм

18 26 38 26 38 38

Длина лампы, мм

Номинальное напряжение на лампе, В

300 450 600 900 1200 1500

61 54 57 104 103 ПО

Значение коэффициента К,

среднее

0,37 0,37 0,35 0,37 0,36 0,35

сред-не-квад-ратич-

ное отклонение

0,03 0,03 0,02 0,03 0,03 0,03

Значение коэффициента

5,25 3,24 3,12 3,05 2,96 2,96

а,10-

3,80 2,62 2,62 2,40 2,36 2,36

1,45

0,62

0,65

0,60

0,60

9,6 10,0 15,9

8,2 13,0 13,0

1,2 1,5 1,8 1,5 1,8

0,2 0,5 0,8 0,5 0,8 0,8

1,40 1,23 0,97 1,23 0,92 0,92

Л1( л) = ао( л/о)-а11 л1/о-Й2 при МлКо;

( л) = о{1 л1/о-1+2ехр [-6з(м, о-1)]} при ии,.

(2.11)

Такая сложная аппроксимация обусловлена тем, что вид функции в этих областях существенно различен, и единое

Рис. 2.9. Зависимость (uj от UjUg для люминесцентной лампы типа ЛБ40

Рис. 2.10. Зависимость (uj от V/Uo для люминесцентной лампы типа ЛБ20

аппроксимирующее выражение становится очень сложным. Определение коэффициентов Д;, Ь, входящих в (2.11), осуществлялось методом выбранных точек. Результаты расчетов приведены в табл. 2.4.

Адекватность математической модели ВАХ люминесцентных ламп проверялась в следующих режимах.

Во-первых, при работе на промышленной частоте с индуктивным, индуктивно-емкостным или резистивным балластом. Расчеты показали, что в самых неблагоприятных случаях, при работе со значительными паузами тока, достигающими 1/6 части периода, погрешность расчетов Р , 1 и U не превышает +4%. В режимах без пауз тока погрешность не превосходит +2% и в режимах, близких к номинальным, находится на уровне 1%.

Во вторых, в схеме с индук-

Рис. 2.11. Зависимость (uj

от VjUo для люминесцентных ламп длиной 600 (1) и 1200 (2) в колбах диаметром 38 мм (U >Uo)

тивным или емкостным балластом при изменении частоты питающего напряжения от 50 Гц до 50 кГц проводилось сравнение формы напряжения и тока лампы. Получено хорошее качественное и количественное совпадение расчетных и экспериментальных кривых. На повышенной частоте (fl кГц) напряжение и ток лампы становятся практически синусоидальными, что хорошо совпадает с результатами, полученными в [2.3]. Более того, при увеличении частоты питающего напряжения несколько снижается U , что неоднократно подтверждалось и в экспериментальных работах [2.3].

Из (2.10) следует, что на постоянном токе установившееся напряжение может быть найдено из условия

Mi(m,) = 0. (2.12)

С учетом (2.11) оно приводит к равенству u = + Uq. Для напряжения на лампе произвольной формы

л=,?оехр

(2.13)