Это соответствует неограниченному возрастанию комплексного сопротивления Z(/a)) при росте частоты ю-оо:

Zij4i)-joiao/bo=j(i>L (3.17)

где L3-эквивалентная индуктивность входного сопротивления на высокой частоте.

Таким образом, необходимым условием для создания режима работы без пауз тока является индуктивный характер входного сопротивления схемы включения со стороны лампы при неограниченном возрастании частоты. В многоконтурных схемах это означает, что любой контур, содержащий разрядную лампу, должен содержать по крайней мере одно индуктивное сопротивление. В схеме одноконтурных ПРА для этого достаточно включить последовательно с лампой один дроссель.

Из (3.12) следует, что при перезажигании скорость нарастания тока не должна изменяться больше чем на определенное значение

di (-0)/dt-di,{ + 0)/dt =

Это значит, что индуктивная составляющая входного сопротивления L3 должна быть больше некоторого минимального значения

L3 = flo/>(t/;+t/2)/K(-0)/). (3.19)

Условие (3.19) можно представить и в другом виде. Для синусоидального тока

di {-0)/dt = col . (3.20)

Тогда

4Ю1.3 = [/3 > t/L3 ; = (+ f/2 ) / V2 (3.21)

f/3>f/3m., (3.22)

где f/з - напряжение на последовательно включенных лампе и дросселе (рис. 3.3).

Условия (3.21) и (3.22) справедливы и для несинусоидального тока лампы, но при этом иты и Uin будут иметь иные значения.

Как видно из изложенного, условия работы без пауз тока накладывают жесткие ограничения на вид схемы ПРА. Схема однолампового ПРА может быть приведена к виду, показанному на рис. 3.3, где активный двухполюсник имеет входное операторное сопротивление

Z,{p) = Z{p)-paJbo. (3.23)

Аналогично многоламповые схемы можно приводить к эквивалентному активному многополюснику, к которому через эквивалентные дроссели подключают разрядные лампы (рис. 3.4).

Здесь необходимо сделать одно замечание. В линейных схемах выделение эквивалентной индуктивности не представляет сложности. В нелинейных многоконтурных схемах оно может быть произведено на основе теоремы о нелинейном эквивалентном генераторе [3.1]. При этом в общем случае результирующая индуктивность может быть не только нелинейной, но и модулированной во времени. Однако в первом приближении при расчете по первым гармоникам нелинейная эквивалентная индуктивность от времени не зависит.

Общий метод расчета установившихся режимов цепей с разрядными лампами. В качестве общего метода анализа установившегося режима электрических цепей с разрядными лампами можно применять специально разработанный итеративный метод расчета, основанный на решении уравнений переменных состояний при алгебраической аппроксимации вольт-секундных характеристик ламп.

Для линейных цепей с разрядными лампами уравнения переменных состояния имеют вид

X = A-X--Ai -V, где X-вектор переменных состояния размером (т-\-п\:

L Qj J

(3.24)

(3.25)

В вектор X входят т потокосцеплений 4*; индуктивных элементов (г=1, 2, т)к п зарядов Qj 0=1, 2, п) на конденсаторах; X-вектор размером (т-\-п) производных потокосцепления и заряда по времени:

dildt L dQidt J

(3.26)

V-вектор размером р питающих напряжений и напряжений на лампах; А - квадратная матрица постоянных коэффициентов размером (т+п) х {т+п); Ai-прямоугольная матрица постоянных коэффициентов размером {т+п) х р.

Элементы матриц А и А; определяются топологией и параметрами схемы.

При всех линейных элементах (Л, L, С) определение установившегося режима не представляет труда, например оно может быть найдено операторным методом с выделением только периодических составляющих.

При наличии некоторого количества нелинейных элементов, таких, как нелинейные дроссели и конденсаторы, нелинейные резисторы, уравнения переменных состояния могут быть записаны в виде

X = F(X;V), (3.27)

Рис. 3.3. Расчетная схема однолампового ПРА, обеспечивающего режим работы без пауз тока

Рис. 3.4. Расчетная схема многолампового ПРА, обеспечивающего режим работы без пауз тока

где F-столбцевая матрица нелинейных функций вида

F, = (X;V). (3.28)

Характерно, что в нелинейные функции РДХ; V) в качестве независимых переменных входят только злементы векторов X и V, а в качестве нелинейных коэффициентов-переменные коэффициенты нелинейного дросселя, конденсатора и резисторов.

Сделаем одно замечание. Систему нелинейных дифференциальных уравнений легко привести к виду (3.27), если размерность вектора X больще или равна числу определяющих параметров г (токов, напряжений, потокосцеплений, зарядов и т. д.), т. е.

(3.29)

Для цепей с разрядными лампами условие (3.29), как правило, выполняется. Однако, если т+п<г, то к вектору X можно добавить г-(т+п) элементов с напряжениями или токами нелинейных (линейных) резисторов.

Рещение системы (3.27) удобно производить методом гармонического баланса. Ищем значения искомых параметров в виде суммы ряда основной и нескольких высщих гармоник:

X aiCosfflr-fbiSinffl/-f (a,cosffl/-f b,sinffl/).

(3.30)

где ai, bi, а Ь,-столбцовые матрицы размером (,пЧ-и)х 1. Равенство (3.30) можно записать в сокращенном виде:

х х,+ х X,.

9 = 2

(3.31)

Расчет ведем методом последовательных приближений и при каждом приближении полагаем, что переменные коэффициенты имеют постоянное значение. 44

1. Расчет первого приближения проводим при значениях переменных коэффициентов, соответствующих синусоидальным воздействиям в виде ряда последовательных щагов.

1.1. Преобразуем систему (3.27) в систему уравнений по первым гармоникам. Для всех нелинейных элементов вычисляем коэффициенты D\ и D i для синусоидальных воздействий и находим все нелинейные характеристики для первых гармоник. Вычисляем нелинейные функции Fj (Xj; Vj) при замене всех нелинейных функций на характеристики по первым гармоникам, рассчитанные с помощью коэффициентов Z)i и Z)i, и замене величин X и V на Xi и Vj. Тогда (3.27) примет вид

X,=F,(X,;V,). (3.32)

Оно дает 2[т+п) алгебраических уравнений для определения 2[т+п) элементов матриц ai и bi.

1.2. На втором щаге ищем первое приближение в виде основной и одной высщей гармоники (например третьей):

XXi-HXj. (3.33)

Считаем, что матрицы и bj нам известны из решения на первом шаге, и составляем уравнение для определения матриц Зз и Ь:

Хз = Ез(Х1;Хз;УьУз). (3.34)

Здесь F3 зависит только от интегральных коэффициентов Dy, Di. В первом приближении используем коэффициенты Оз и Di, рассчитанные для синусоидального воздействия. Тогда в соответствии с (3.3) и (3.4) третьи гармоники напряжения (тока) на нелинейных элементах составляют

u;=U,o+kU oD,; Ui = Uio+kU oDi.

(3.35)

Из (3.35) видно, что напряжения f/з и Ui содержат по два слагаемых. Первые из них изо и Uio линейно зависят от амплитуды третьей гармоники тока, а вторые только от амплитуды основной гармоники и постоянны при неизменных коэффициентах D. Отсюда следует, что (3.35) линейно относительно третьих гармоник и может быть легко решено (например, комплексным методом).

1.3. На следующих шагах аналогично определяем другие высшие гармоники для искомого первого приближения X и рассчитываем электрические режимы всех нелинейных элементов.

2. Для вычисления второго приближения рассчитываем все коэффициенты Z), при постоянном содержании высших гармоник, найденном в первом приближении.

Для найденных коэффициентов определяем нелинейные характеристики и находим второе приближение

(3.36)

q = 2

Аналогично при необходимости могут быть найдены третье, четвертое и следующие приближения.

r -vv.

Рис. 3.5. Расчетная схема индуктивного балласта без потерь

Рис. 3.6. Области горения с различными паузами тока Аф:

/-0; 2-10°; 3-20 ; 4-30°; 5-40° (область без пауз тока заштрихована)

В рассмотренном методе наиболее трудоемкими являются расчет переменных коэффициентов Z), и решение уравнений баланса по первым гармоникам. Однако обе эти операции производятся только один раз при вычислении каждого нового приближения. Расчет выспшх гармоник существенно менее трудоемок, что позволяет учитывать большое число высших гармонических составляющих. И еще одно замечание: расчет по первым гармоникам существенно упрощается применением нелинейного метода наложения и метода нелинейного эквивалентного генератора.

3.2. АНАЛИЗ ИНДУКТИВНОГО БАЛЛАСТА

Проведем анализ идеального и реального индуктивных балластов при работе с исправной лампой. Анализ аномальных режимов рассмотрен в конце настоящей главы.

Индуктивный балласт без потерь представляет собой идеальный дроссель, включенный последовательно с лампой (рис. 3.5). Расчет индуктивного балласта без потерь целесообразно провести для синусоидального напряжения и = = ,у2 [/з8ш(ш?Ч-ф), так как подобный режим реализуется в целом ряде типов ПРА и является хорошим первым приближением при расчете большинства схем [3.3]. Уравнение электрического состояния для этого случая имеет вид

d4/dt = Usm{(ot + >)-u,{t). (3.37)

Здесь угол ф учитывает сдвиг фазы питающего напряжения относительно нуля тока лампы.

Напряжение на лампе в соответствии с (2.6)

л(в)=[/л(1 + 8-25е/я).

(3.38)

Тогда

(9) = [/з / ш [ 2 cos ф - 2 cos (9-f ф)-

-9тз(1-Ь5-59/л)]. (3.39)

Условие периодичности имеет вид

Ч(0) = Ч(л) = 0. (3.40)

Подставляя в него выражение для Ч(0), находим начальную фазу

со8ф = тзЛ/2у2=1,11 Шз. (3.41)

Для режима горения без пауз тока необходимо выполнить условие перезажигания лампы

щ{Ори (3.42)

из которого получаем условие горения без пауз тока

,8Шф[/;/(У2[/з). (3.43)

при горении с паузами тока перезажигание лампы происходит при

У2[/з8Шф=[/;, (3.44)

а погасание при 0 = л -А.

Подставляя эти условия в (3.39), получим соотношение для длительности паузы тока А:

тз=[/ /[/з =

fY /я - А,sin A,)N Uj { l+cosA,

(3.45)

Критическое значение отношения т, при котором происходит переход к режиму с паузами тока.

э,кр = .

(3.46)

Области горения с паузами тока различной длительности, рассчитанные по (3.45), показаны на рис. 3.6.

По (3.39) для режима без пауз тока получены все основные соотношения для контура лампа - идеальный индуктивный балласт. Результаты расчетов приведены в табл. 3.1 и 3.2. Все фазовые углы рассчитаны относительно фазы перехода тока лампы через нуль. Тогда фаза напряжения питания равна ф. В табл. 3.2 даны общие выражения для [3.4] дросселя с нелинейной характеристикой.