о к a с

н о н

~. £

СП о

0.0,

5 о

ю о с

11илосовые фильтры пропускают сигналы только в определен-iioji полосе частот и ослабляют все частоты за пределами этой по-

J....... Режекторные фильтры действуют прямо противоположным

<.1,1юм, т. е. вырезают определенную полосу частот, пропуская iii I- частоты за пределами этой полосы. Типичные частотные харак-к ч1стики полосового и режекторного фильтров представлены на И1( 12.1,в и г. Здесь, как и на предыдущих графиках, сплошные .iiiiiiHi представляют идеальные кривые, а пунктирные - ре-л.н.пые.

12.1. Основная схема фильтра нижних частот

12.1.1. Введение. Схема на рис. 12.2, а представляет собой обыч-чы; ! активный фильтр нижних частот (ФНЧ). Фильтрацию выпол-ir.u-T RC-цепь, а ОУ используется как усилитель с единичным уси-лнием. Сопротивление резистора Ro.c равно сопротивлению ре-IlTopa R; оно включено в схему для компенсации сдвига по по-1 шянному току. На нулевой частоте емкостное сопротивление бес-.п!!ечно велико, а сопротивление постоянному току с обоих вход-!.1х зажимов на землю должно быть одинаково (см. разд. 9.4). Дифференциальное напряжение между выводами 2 и 3 факти-кп равно О В. Отсюда следует, что напряжение на конденсато-!> С равно выходному напряжению (7вых, поскольку данная схе-\,; является повторителем напряжения. Евх делится между R и С. Маиряжение на конденсаторе равно f/Bbix и вычисляется по фор-\!\.ле

с-

.R+ \Ц(лС

(12.1а)

!,е ш - частота Евх в радианах в секунду (о) = 2л/), а /=У-1. icpenHHiCM уравнение (12.1а) так, чтобы получить коэффициент иле}И1я по напряжению с обратной связью Ко. с- При этом мы ;еем

jf( и вых

1 + }(aRC

(12.16)

Чля того чтобы показать, что схема на рис. 12.2, а является филь-ipoM нижних частот, рассмотрим, как изменяется Ко.с в уравне-и!и (12.16) при изменении частоты. На очень низких частотах, е. при приближении со к О \Ко.с\ = 1, а на очень высоких часто-i;ix, когда со стремится к бесконечности, \Ко.с\=0. (Обратите ;1имание на то, что здесь речь идет об амплитуде Ко.с, что отра- -коно знаком модуля.)

На рис. 12.2,6 дан график зависимости \Ко.с\ от со и показа-II.), что на частотах, превышающих частоту среза соср, /Со. с уменьшается со скоростью 20 дБ/декада. Это то же самое, что ска-

fig с = JO кОм

£все

0,707

0,0 f

Наклон --20 д6/декада

- -20

0.1 wp lOojcp lOOcjp

ta

Рис. 12.2. Схема (а) и амплитудно-частотная характеристика (б) фильтра} нижних частот с крутизной спада -20 дБ/декада.

зать: коэффициент усиления но напряжению падает в 10 раз npi увеличении частоты со в 10 раз.

12.1.2. Расчет фильтра. Частота среза соср определяется как частота Ех, на которой \Ко.с\ уменьшается до 0,707 от того значения, которое она имела на низких частотах. Это важное положе-J ние будет подробно рассмотрено в разд. 12.1.3. Частоту среза вычисляют по формуле

ф=Ж=2п/ср. (12.5

/ (.>ср - частота среза в радианах в секунду, fcp -частота среза In и )цах, R - B омах, а С -в фарадах. Уравнение (12.2а) можно III 11 писать, разрешив его относительно С:

(12.26)

Пример 12.1. Пусть в схеме рис. 12.2, а /?=10 кОм, а С=0,001 мкФ. Че-

м>. >авна частота среза?

Решение. Из (12.2а)

100 000 рад/с

Р (10-103) (О,ООЫО-о)

ср~ - 6,28

= 15,9 кГц.

Пример 12.2. Для фильтра нижних частот по рис. 12.2, а с частотой среза . I ц вычислить значение С, если R=W кОм.

Решение. Из уравнения (12.26) получаем I 1

2nfcpR 6,28(2-103) (10-103)

; 0,008 мкФ,

Пример 12.3. Вычислить С для схемы рнс. 12.2, а, имеющей частоту среза ООО рад/с н R=10 кОм.

Решение. Из (12.26)

<OcpR ~ (30103)(10.]03)

; 0,0033 мкФ.

Кыводы. Расчет фильтра нижних частот, аналогичного тому, что /1 -казан на рис. 12.2, а, осуществляется в три этапа:

1. Выбираем частоту среза соср или fcp-

2. Выбираем входное сопротивление R, обычно между 10 и 5 00 кОм.

3. Вычисляем значение С из уравнения (12.26).

12.1.3. Частотная характеристика фильтра. Значение Ко.с на !,1стоте Иср находят, положив в уравнении (12.16) (oi?C=l:

1 1

о.с- /+ 1 - -

: 0,707/5 .

Итак, амплитуда Ко.с на частоте соср

/(о.,1= 0,707=-ЗдБ.

: сдвиг по фазе (выхода относительно входа) составляет -45°.

Таблица 12.1

Значения модуля коэффициента передачи и фазового сдвига фильтра нижних частот по схеме рис. 12.2, а

е, град

0,1 ер 0,25 Шс

0,5 Мер

2 Вер 4 Шср 10 Шф

0,97

0,89

0,707

0,445

0,25

Сплошная кривая на рис. 12.2,6 показывает, чем амплитуда реальной частотной характеристики отличается от прямолинейной! аппроксимации (показанной пунктиром) в окрестности частоты! юср. На частоте 0,1соср jKo.с1 = 1 (О дБ), а на частоте Юсоср] Ко.с=0,1 (-20 дБ). Б табл. 12.1 даны амплитуда и сдвиг по фазе при различных значениях ю в диапазоне от 0,1соср до 10©ср.

Во многих случаях требуется более крутой спад характеристики выше частоты среза. Одной из широко известных конфигураций, которая дает такой спад, является фильтр Баттерворта.

12.2. Первое знакомство с фильтром Баттерворта

Во многих применениях фильтров нижних частот необходимо, чтобы коэффициент усиления с обратной связью в пределах полосы пропускания был как можно ближе к 1. Для случаев такого рода как нельзя лучше подходит фильтр Баттерворта. Этот фильтр называют также фильтром с максимально плоской характеристикой; все фильтры, которые мы будем рассматривать в этой главе, баттервортовского типа. На рис. 12.3 показаны идеальная (сплошная линия) и реальные (пунктирные линии) частотные характеристики трех типов фильтра Баттерворта. По мере увеличения крутизны спада эти характеристики все больше приближаются к характеристике идеального фильтра.

Для получения спада в -40 дБ/декада можно включить последовательно два активных фильтра, собранных по схеме рис. 12.2, а. Это будет не самое экономное решение вопроса, поскольку здесь требуется два ОУ. В разд. 12.3.1 показано, как можно на одном ОУ построить фильтр Баттерворта, обеспечивающий спад -40 дБ/декада. В разд. 12.4 такой фильтр будет включен последовательно с фильтром, имеющим характеристику со спадом -20 дБ/декада; при этом мы получим спад -60 дБ/декада.

Фильтры Баттерворта не рассчитаны на поддержание посто-

о дБ 1,0 3 дБ 0,707

-20 дБ 0,1

Точка 0,707

Полоса

лрслустнш

-60 дБ/декада

-If-

-20 дБ/декада

-W дБ/стада

Ч1со,

СОср

Iiic. 12.3. Амплитудно-частотные характеристики трех типов фильтров нижних

частот по Баттерворту.

>иного фазового сдвига на частоте среза. Основной фильтр нижних частот со спадом - 20 дБ/декада имеет на частоте соср сдвиг но фазе -45°. Фильтр Баттерворта со спадом -40 дБ/декада имеет на частоте соср фазовый сдвиг, равный -90°, а фильтр со гпадом -60 дБ/декада - фазовый сдвиг -135 °С. Таким образом, при каждом увеличении крутизны спада на 20 дБ/декада сдвиг по фазе будет увеличиваться на -45 . Рассмотрим фильтр Баттерворта, имеющий более крутой спад характеристики, чем -20 дБ/декада.

12.3. Фильтр нижних частот по Баттерворту с наклоном -40 дБ/декада

12.3.1. Упрощенный расчет. Схема на рис. 12.4, й - одна из наиболее широко применяемых схем фильтра нижних частот. Она дает спад -40 дБ/декада, т. е. при увеличении частоты со от частоты среза до 10 соср амплитуда Ко.с уменьшается до 40 дБ. Сплошная линия на рис. 12.4, б представляет собой график фактической АЧХ, которая будет рассмотрена более детально в разд. 12.3.2.

Операционный усилитель в данной схеме включен так, что на постоянном токе он имеет единичное усиление. Резистор Ro.c обеспечивает компенсацию сдвига на нулевой частоте, как это рассматривалось в разд. 9.4.

Поскольку схему ОУ явтяется по существу повторителем напряжения (усилителем с единичным усилением), напряжение на Ci равно выходному напряжению f/вых.