c(t) W

Задертка

-ГУдер

о г 1 6 в W t,c

Рис. 9.34. Непосредственная цнфрова i Рис. 9.33. Переходная функция синтези- программа для регулятора Gc(z) с ш-рованной системы л .........п-. Л

редаточной функцией (9-106)

--1 300 Н Gd(S) -Ч ЗПО К

П(5)

ЮмкФ

122-Ом

П(8)/3

Рис. 935. Реализация GCz) по передаточной функции (9-106) в виде последовательного импульсного фильтра

Рис. 9.36. Реализация Gc(z) по передаточной функции (9-106) в виде импульсного фильтра в цепи обратной связи

либо из методов, описанных в п. 9.4. На рис. 9.34 показана реализация Gf.{z) в виде непосредственной цифровой программы. Подставляя (9-106) в (9-55), получим

0.25(1

0.96z-)

- v-lui -

0,99z-l)

0.75

1-0.99Z-1

Определяя обратное z-преобразование от обеих частей последнего уравнения и разрешая его относительно Grf(s), находим

G .,4 = 1 + 12,58 d**) 1-1-50s

(9-109)

что соответствует реализахдаи Gq(z) в виде последовательного импульсного фильтра. Воспользовавшись выражением (9-64), можно реализовать (z) в виде импульсного фильтра в цепи обратной связи. Для этого случая получим

~ S -Ь 0,0816

(9-110)

На рис. 9.35 показана реализация Gq(z) в виде последовательного импульсного фильтра, а на рис. 9.36 - в виде импульсного фильтра в цепи обратной связи.

9.6. СИНТЕЗ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОРНЕВЫХ ГОДОГРАФОВ НА Z-ПЛОСКОСТИ

В гл. 6 бьш рассмотрен метод корневого годографа применительно к анализу цифровых систем управления. Было показано, что корневые годографы на z-плоскости строятся по тем же самым правилам, что и корне-.

Ьые годографы непрерывных систем на s-плоскости. Однако границей устойчивости на z-плоскосги является единичная окружность z = 1, и это Необходимо соответствующим образом учитывать при суждении о качест-те системы, властности об относительной устойчивости, по корням ее ха-J актеристического уравнения.

Синтез системы управления методом корневого годографа можно рас-(матривать, как задачу о размещении ее полюсов на z-плоскости, решае-11ую экспериментально путем подбора. Иными словами, синтез с помощью 1Сорневого годографа по существу состоит в определении параметров системы и регулятора таким образом, чтобы корни характеристического Уравнения занимали желаемое положение. Для систем, порядок которых выше третьего, вообш.е очень трудно установить связь между параметрами регулятора и корнями характеристического уравнения. Кроме того, обычный корневой годограф допускает одновременное изменение только одного параметра. Именно поэтому синтез цифровой системы управления с помощью корневого годографа на z-плоскости является методом подбора. Иначе говоря, проектировщик может поручить ЭВМ вычертить большое количество корневых годографов путем перебора в широком диапазоне возможных значений параметров регулятора, а затем выбрать наилучшее решение. Однако опытный проектировщик может разумным образом сделать первоначальные прикидки так, чтобы свести к минимуму количество проб. Позтому будет полезно исследовать влияние расположения полюсов и нулей цифрового регулятора на качество всей системы и корни ее характеристического уравнения.

Регуляторы с опережением и с отставанием по фазе. Рассмотрим регулятор, описываемый передаточной функцией первого порядка

Ge()=Ke (9-111)

где Zl - действительный нуль; pi - действительный полюс. Если цифровой регулятор не должен влиять на качество установившегося режима системы, то полагаем

limGj2)=l - (9-112)

Z-.1

Тота Кс в выражении (9-111) принимает значение

К, 4 <9- )

В зависимости от соотношения величин Zj и Pi можно классифицировать Gc (z) как регулятор типа фильтра нижних частот или типа фильтра верхних частот. Подставляя z = е* в (9-111), получим

G*(s) = -,j,s (9-114)

Очевидно, что Gg(s) имеет бесконечное число полюсов и нулей. Однако если рассматривать только полюсы и нули, расположенные в основной полосе s-плоскости, то нуль Gg(s)

s=ln(2,) (9-115)

а полюс

где Zl и Pi - действительные числа. Выражение (9-114) в основной полос s-плоскости аппроксимируется следующей рациональной функцией: j

s-bin(zi)

G*(s) = -1-- . (9-117):

s -I- ln(pj)

Иной подход состоит в аппроксимации е первыми двумя членами разложения экспоненты в степенной ряд. Тогда запишем (9-114) в виде

Ts + 1 - Z,

с*( > стГТТ (9-118)

Этот вариант предпочтительнее, поскольку выражение (9-117) не допускает отрицательных значений Pi и Zj. В качестве иллюстрации рассмотрим передаточную функцию цифрового регулятора (9-106):

Используя (9-117), имеем

c( ) 025iT (Т=0,5 с) (9-120)

а формула (9-118) дает

G*(s)0,25f- (Т=0,5 с) (9-121)

Таким образом, G*(s) можно рассматривать как фильтр нижних частот, поскольку полюс этой функции расположен на s-шюскости, правее ее нуля. Поэтому передаточная функция Gp(z), определяемая выражением (9-119), соответствует регулятору с характеристикой типа фильтра нижних частот. Расположение полюсов и нулей функций (9-121) и (9-119) показано/на рис. 9.37, при этом рис. 931,6 можно рассматривать как типичную картину для цифрового регулятора первого порадка с отставанием по фазе. Необходимо подчеркнуть, что аппроксимация G(,(z) выражением G(s) сделана исключительно с той целью, чтобы определить, к какому типу относится характеристика фильтра с передаточной функцией Сс(г).

В общем случае регулятор с отставанием по фазе может иметь один

S-плоскость

-0,0д~0.02 О 7г

z-плостсть

0,99

Рис. 9.37. Расположение полюсов и нулей: 1 а - функции G*(s) для регулятора с отста-

0.96 ванием по фазе (9-121); б - функции ,1 д. Gf.(z) для регулятора с отставанием по

° фазе (9-119)