г-плоскость

z-плоскосгпь

-z, У/

z-плоскость

Рис. 9.38. Варианты расположения полюса и нуля функции Gc(z), соответствующей фильтру верхних частот

ПОЛЮС В правой половине и один нуль в левой половине z-плоскости (оба внутри единичной окружности) либо и полюс, и нуль на отрицательном направлении действительной оси внутри единичной окружности, причем полюс расположен правее нуля. Однако эти ситуации не столь эффективны при стабилизации системы, как расположение типа диполь , показанное на рис. 9.37.

Аналогичным образом можно показать, что для фильтра верхних частот нуль на s-плоскости всегда находится справа от полюса на отрицательном направлении действительной оси; то же самое справедливо для относительного расположения нуля и полюса G(.(z) на z-плоскости. На рис. 9.38 изображены три возможных варианта расположения нуля и полюса функции G(. (z), соответствующей фильтру верхних частот первого порядка.

Ниже приведены примеры, иллюстрирующие синтез цифровой системы управления на z-плоскости с помощью метода корневого годографа.

Пример 9.7. Возьмем ту же задачу синтеза, что и в примере 9.6. Управляемый процесс описьшается передаточной функцией (9-96), а период квантования равен 0,5 с. Поскольку синтез должен быть выполнен на z-плоскости с помощью корневого годографа, то такие критерии качества, как запасы по модулю и по фазе или любые другие показатели, относящиеся к частотной области, уже не могут быть использованы. Пусть требования к качеству системы таковы:

коэффициент ошибки по скорости КуЪ;

относительный коэффициент затухания, определяемый доминирующими корнями f 0,707.

Перепишем еще раз передаточную функцию (9-97), соответствующую разомкнутой системе без коррекции:

0,13К(г+1,31)(г+ 0,045) 4oV ~ z(z-l)(z-0,368)

(9-122)

Характеристическое уравнение замкнутой системы получим, приравняв к нулю числитель выражения 1 + СуСр(z), т. е.

z(z - l)(z ~ 0,368) + 0,13K(z -I- l,31)(z -I- 0,045) = 0

(9.123)

Корневой годограф для этого уравнения изображен на рис. 9.39. Так как для разомкнутой системы нуль z = - 0,045 расположен очень близко от полюса z = О, то они практически компенсируют друг друга, поэтому корневой годограф определяется в основном полюсами z = 1 и z = 0,368 и нулем z = - 1,31. В примере 9.6 бьшо установлено, что для получения А: = 3 коэффициент К должен быть равен 3. Корневой годограф на рис. 9.39 показывает, что критическое значение К равно 3,3. Тогда если выбрать а; = 3, получим очень малый запас устойчивости.

Решение задачи в частотной области было весьма полезным. Полученный цифровой регулятор (9-119) обладает отставанием по фазе. Кроме того, нуль z = 0,96 и полюс Z = 0,99 расположены очень близко друг к другу, причем оба они находятся в непосредственной близости от точки z = 1. И это отнюдь не случайно. Цифровой е-

z-плоскость

менно можно бьшо бы получить = 3 и f - 0,707.

Используем регулятор с передаточной функцией

Рис. 9.39. Корневой годограф нескорректированной цифровой системы управления

гулятор с передаточной функцией (9-119) известен как диполь . Покажем, что аналогичный результат можно получить с помощью метода корневого годографа.

На рис. 9.39 изображена линия постоянного относительного коэффициента затухания для f = = 0,707. Пересечение корневого годографа с этой линией соответствует К != 0,7. Задача состоит в том, чтобы найти такой цифровой регулятор, для которого одновре-

(9-124)

(9-125)

Наиболее важным условием является то, чтобы значения zj и Pi бьши близки друг к другу и оба они бьши также очень близки к 1 (но все же менее 1). Кроме того, zj должно быть меньше Pi, что соответствует регулятору с отставанием по фазе. Выбор такого типа регулятора мотивирован следующими обстоятельствами.

Рис. 9.39 показывает, что требуемое значение относительного коэффициента затухания можно получить, если выбрать К - 0,7. Это означает, что мы должны, не изменяя формы корневого годографа, изменить только коэффициент усиления системы. Но мы не можем просто уменьшить величину К. Следовательно, необходим такой регулятор, который эффективно увеличивал бы коэффициент усиления разомкнутой системы и в то же время несущественно изменял бы расположеше полюсов и нулей замкнутой системы. Всем этим требованиям удовлетворяет регулятор с передаточной функцией (9-124). Поскольку Zj и Pi очень близки, то отношение (.z-Zi)l{z-pi) практически равно единице. Таким образом, основной целью G(.iz) является внесение ослабления Кс:= (1-Pi)/(1-Zi). После того как это установлено, синтез становится чрезвычайно простым, ибо все, что мы должны сделать, - это принять К(. равным отношению 0,7/3,0, т. е. отношению (коэффициент усиления, необходимый для получения f = 0,707) / (коэффициент усиления, необходимый для получения АГу = 3). Итак,

~Pl 0.7 3,0

с=1-.

(9-126)

Однако мы получили одно уравнеше с двумя неизвестными. Тогда можно воспользоваться условием Pi яг Zl 1 и Zl <pi < 1. Выбрав произвольным образом Pi = - 0,99 в выражении (9-126), находим Zi =0,957. Тогда (9-124) принимает вид

Ge(z) = 0,233

(9-127)

Так как диполь расположен очень близко от точки z = 1, то на достаточном удалении от нее корневой годограф практически не изменяет формы, и эффект от

Z-nnocnocmb CC k=n.n HC h=3,3 -h=3,0

Рис. 9.40, Корневые годографы нескорректированной (НС) и скорректированной (СС) цифровых систем управления

введения диполя состоит только в изменении коэффициента усиления системы за счет К(.. На рис. 9.40 показана существенная часть корневых годографов скорректированной и нескорректированной систем. Важно подчеркнуть, что абсолютные величины Pl и Zl не имеют значения, поскольку они очень близки к единице. Однако отношение (1 - Pi)/(1 -- Zj) является существенным и должно выбираться исходя из величины ослабления, необходимой для получения требуемого затухания. В принципе картина здесь та же самая, что и при синтезе регулятора с отставанием по фазе в примере 9.6, где правый излом амплитудной характеристики регулятора помещался на частоте, намного меньшей желаемой новой частоты среза. Точные значения частот, соответствующих изломам амплитудной характеристики регулятора, не имеют значения, тогда как их отношение равно ослаблению, необходимому для получения требуемого запаса по фазе или по модулю. Следовательно, в этом примере мы могли бы, например, выбрать pi = 0,98, тогда соответствующее значеше Zl было бы равно 0,9143, а корневой годограф, изображенный на рис. 9.40, не претерпел бы значительных изменений. Передаточная функция цифрового регулятора имела бы вид

G,(z) = 0,233 f (9-128)

где К(, сохраняет прежнее значение.

Пример 9.8. Структурная схема цифровой системы управления изображена на рис. 9.41. Управляемый процесс описывается передаточной функцией

(9-129)

которая может соответствовать чисто инерционной нагрузке. Передаточная функция разомкнутой системы без коррекции

KT(Z + 1)

2{z-l)

(9-130)

Поскольку Т входит множителем в передаточную функцию разомкнутой системы, в данном частном случае метод корневого годографа можно применить для исследования влияния одновременного изменения параметров АГ и Г. На рис. 9.42 изображен корневой годограф системы с передаточной функцией (9-130). Варьируемым параметром является к КТ. Очевидно, что без регулятора замкнутая система неустойчива при любых значениях АГ.

Так как GfjQGp (z) имеет два полюса z = 1, то регулятор с отставанием по фазе.

B(z)

Gp(s)

Рис. 9.41. Цифровая система управления