Z-nnocnocmt)

Рис. 9.45. Контуры корней уравнения (9-136)

Синтез на основе взаимной компенсации полюсов и нулей. При синтезе систем управления на s- или z-плоскости имеет смысл попытаться скомпенсировать нежелательные полюсы и нули передаточной функции управляемого процесса полюсами и нулями регулятора и добавить новые, более подходящие, полюсы и нули, чтобы удовлетворить вьщзинутым требованиям. Подобный метод часто применяется в системах, где управляемый процесс имеет комплексные полюсы, а к устойчивости предъявляются весьма жесткие требования. На первый взгляд компенсация нежелательных полюсов и добавление новых (желаемых) - это простейший путь решения любой задачи. Однако надо иметь в виду, что для широкого класса задач синтеза коррекция путем компенсации полюсов и нулей далеко не всегда дает удовлетворительное решение. Может оказаться, что полученный регулятор будет слишком сложным или, если нежелательные полюсы процесса расположены на г-плоскости близко от единичной окружности, неидеальная компенсация (что почти всегда имеет место на практике) может сделать систему условно устойчивой. В качестве простой иллюстрации эффекта неидеальной компенсации рассмотрим корневые годографы (рис. 9.46).

На рис. 9.46,а показано расположение нулей и полюсов передаточной функции некоторой разомкнутой цифровой системы. Чтобы скомпенси-

г-ппосностч

г-ппосиость

г-плотость

а) б)

Рис. 9.46. Корневые годографы, иллюстрирующие эффект нецдеальной компенсации нежелательных полюсов:

1 - корневой годограф; 2 - единичная окружность

ровать комплексные полюсы pi и Рг и добавить новые полюсы z - я и Z = й, введем цифровой регулятор с передаточной функцией

(Z- р, )(z- Ро)

Gc(-)=K-(-=i)( (9-139)

На рис. 9.46,6 изображен случай неидеальной компенсации, когда комплексные нухш регулятора не в точности равны полюсам Pi и рг управляемого процесса. При таком относительном расположении полюсов и нулей неидеальная компенсация не оказьшает отрицательного влияния на качество системы, поскольку полюсы замкнутой системы, находящиеся около Pi и Рг, весьма близки к двум нулям регулятора и соответствуют устойчивой системе. Если же полюсы и нутш при неидеальной компенсации расположены так, как показано на рис. 9.46, в, то часть ветвей корневого годографа между ними может выйти за пределы единичной окружности. Такая система называется условно устойчивой, потому что она устойчива только при малых и больших значениях коэффициента усиления. Таким образом, применяя данный метод синтеза систем управления, надо иметь в виду, что неидеальной компенсации избежать нельзя, и быть уверенным, что это не отразится на устойчивости системы.

9.7. ЦИФРОВОЙ ПИД-РЕГУЛЯТОР

При синтезе непрерывных систем управления наиболее широко применяются пропорционально-интегрально-дифференциальные регуляторы, или ПИД-регуляторы. На рис. 9.47 изображена структурная схема непрерывного ПИД-регулятора, воздействующего на сигнал ошибки e{i). Пропорциональное управление заключается в простом умножении сигнала ошибки на константу Кр; при интегральном управлегаи образуется интеграл от e{f), который умножается на коэффициент Kj, а дифференциальное управление связано с формированием сигнала, пропорционального производной по времени от ошибки. Интегральный закон управления применяется для уменьшения установившейся ошибки, тогда как дифференциальный закон управления, обладающий упреяодающим действием, применяется для уменьшение перерегулирования. Тот же самый принцип действия ПИД-регулятора может быть использован и при Щ1фровом управлении. В цифровых системах пропсрщганальное управление реализуется по-прежнему с помощью постоянного коэффициента Кр. Интегрирование и дифференцирование в цифровой форме может быть выполнено различными методами. Например, операция интегрирования Kj/s может быть аппроксимирована в z-форме численным интегрированием по методу трапе-щш KjT(z+l)l[2(z-~l) ]. Производная в момент времиш t=T аппроксимируется выражением

deitl

e(t)

-Н fdS I-1

U(t) U(S)

Рис. 9.47. Непрерывный ПИД-регулятор Рис. 9.48. Цифровой ПИД-регулятор

G (s)

-eft)

Рис. 9.49. Цифровая система управления с цифровым регулятором

Применяя z-преобразование к обеим частям последнего уравнения, получим передаточную функцию цифрового дифференциатора

(9-141)

где K(j - постоянная дифференцирования.

Полная структурная схема цифрового ПИД-регулятора изображена на рис. 9.48.

Синтез ПИД-регулятора заключается в определении значений Кр, Kj и Kd по заданным требованиям к качеству системы. Синтез может быть выполнен любым из известных методов, рассмотренных в предыдущих параграфах. Для иллюстрации действия и свойств ПИД-регулятора рассмотрим следующий пример.

Пример 9.9. На рис. 9.49 представлена структурная схема цифровой системы управления. Цель синтеза состоит в определении передаточной функции цифрового регулятора так, чтобы система удовлетворяла требуемым критериям качества. Управляемый процесс задан передаточной функцией

г / X 10

р* ~(s+ l)(s + 2)

Разомкнутая система без коррекции имеет передаточную функцию

s(s + l)(s + 2)

0.0453(z + 0.904) (z - 0,905)(z - 0,819)

(9-142)

(9-143)

тде период квантования принят равным 0,1 с. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

C(z) 0,0453(z + 0.904) ( - l,679z + 0,782

(9-144)

Корни характеристического уравнения равны; z = 0,84 + /0,278; г = 0,84 - /0,278. Следовательно, система устойчива. Однако прн подаче на вход единичной ступенчатой функции установившаяся ошибка системы не равна нулю вследствие того, что передаточная функция разомкнутой системы GfiQGp(,z) не имеет хотя бы одного полюса z=l.