РИС. 9.51. Цифровая система R(z) . управления +

дить ПО поведению с (О - В общем случае, хотя с{кТ) может иметь малое перерегулирование или вообще не иметь его, действительная реакция c{t) может сопровождаться пульсациями в промежутках между моментами замыкания.

Поскольку период квантования Г=0,1 с намного меньше постоянных времени управляемого процесса, для данной системы можно ожидать, что С(г) или с(кТ) довольно хорошо совпадает с c{f). Поэтому есть надежда, что в системе с цифровым регулятором (9-158) переходная функция достигает установившегося значения, равного единице, за 0,1 с, а в промежутках между моментами замыкания пульсаций не будет или они будут малыми. Такой тип реакцди обычно назьшают апериодическим переходным процессом.

Важно подчеркнуть, что апериодический процесс можно получить только в идеальном случае, когда происходит идеальная компенсация полюсов и нулей. На практике неопределенность полюсов и нулей управляемого процесса, возникающая на стадии его описания, и ограничения в реа-лизапди передаточной функцди регулятора на ЭВМ приводят к тому, что достигнуть идеального апериодического процесса невозможно.

Подойдем теперь к синтезу систем с апериодическим переходным процессом с общих позиций. Рассмотрим структурную схему системы, изображенную на рис. 9.51, где G{z) - передаточная функция управляемого процесса, которая может включать и зкстраполятор нулевого порядка. Если мы получим критерий синтеза систем с апериодическим переходным процессом, будет ясно, что структура системы не обязательно должна быть такой, как показано на рис. 9.51.

Запишем передаточную функцию замкнутой системы:

r(z)~ H-GJz)G(z) (9-162)

Критерий синтеза характеризуется следующими условиями:

1) система должна иметь в моменты замыкания нулевую установившуюся ошибку при определенном входном сигнале;

2) длительность переходного процесса, определяемая временем достижения установившегося состояния, должна быть минимальной;

3) цифровой регулятор (z) должен быть физически реализуемым. Разрешая уравнение (9-162) относительно (z), имеем

1 M(z)

<с(>=б(ЩГ=1 (9-163)

; Запишем г-преобразование сигнала ошибки в виде

i e(z) = r(z),- C(z) = r(z)[l - M(z)l = 1 g(z!g(z) (9-164)

Представим г-преобразование входного сигнала в виде функции A(z)

~(l-z-i)N (9-165)

где N - положительное целое число; А (г) - полином от переменной г *, не имеющий нулей г = 1. Например, для единичной ступенчатой функции Л (г) = 1 и = 1; для еданичной линейной входной функции А (г) = Tz и = 2 и т. д. В общем случае выражение (9-165) соответствует входным сигналам типа . Приравняем к нулю установивщуюся ошибку:

lim е(кТ) = lim (1 - z ! )E(z) = lim (1 - z) А(г)[1 - M(z)] z-1 z-l n - 7-1

> (9-166)

Поскольку полином л (г) не содержит нулей г = 1, то необходимым условием равенства нулю установившейся ошибки является наличие множителя (1 - г *)в выражении 1 - Л/(г). Следовательно, последнее должно иметь вид

1-M(z)= (1-Z F(z) (9-167)

где F(z) - полином от переменной г . Разрешая последнее уравнение относительно М (г), получим

lV,(z)=g-(-l)F(z) (9.168)

Так как F(z) является полиномом от г~, то она имеет полюсы только г = 0. Таким образом, выражение (9-168) показывает, что характеристическое уравнение системы с нулевой установившейся охпибкой имеет вид

zP = О (9-169)

где р - положительное целое число, причем рЖ

После подстановки (9-167) в (9-164) г-преобразование ошибки принимает вид

E(z) = A(z)F(z) (9-170)

Поскольку и у4 (г) и F{z) являются полиномами от z~ *, то /(г), определяемое выражением (9-170), будет иметь конечное число членов при разложении его в ряд по отрицательным степеням г. Таким образом, если характеристическое уравнение цифровой системы управления имеет вид (9-169), т. е. все его корни нулевые, то сигнал ошибки будет сводиться к нулю за конечное число периодов квантования. В общем случае F(z) может иметь вид

где Fn{z) и F(j{z) - полиномы от г, не содержащие полюсов и нулей г = 1 и полюсов, для которых г > 1. Тогда характеристическое уравнение будет иметь вид

zPF(z) = О (9-172)

Условия физической реализуемости. Выражение (9-168) показывает, что синтез цифровой системы управления с апериодическим переходным процессом при заданном входном воздействии прежде всего связан с выбором функции F(z). Если по этому выражению установлен вид M(z), то передаточная функция цифрового регулятора находится с помощью (9-163). Однако требование физической реализуемости Gz) и тот факт, что G(z) есть передаточная функция реального физического процесса, накладывают ограничения на вид передаточной функции замкнутой системы M(z). В общем случае G(z) и M(z) могут быть представлены разложением в степенной ряд

G(z)=g z- +g z- -l+... (9.173)

M(z) = mz- + i k+i + (9-174)

где и > О и /с > 0. Подставляя два последних выражения в (9-163), получим t ,

rtiz- + m,z + ...

~ (g z- -hg ,;z- -lT:..)(l - m,z-k - m ,z-k-l

= d,. z-(- )-Hd, z-(-i)+...

(9-175)

Таким образом, чтобы функция G (z) была физически реализуемой, должно выполняться условие к > п, т. е. низшая степень разложения M(z) в ряд относительно переменной z должна быть во всяком случае не меньше аналогичной (низшей) степени полинома G(z). Тогда выбор функции F(z) при заданном входном воздействии должен производиться на основании соотношения (9-167) с учетом сформулированного требования к M(z).

Согласно Z-преобразованию входного сигнала (9-165), значение А определяется его видом, т. е. для ступенчатого сигнала Л= 1, для линейного сигнала N= 2, для параболического сигнала Л=3 и т. д. Связь между общим видом М(z) и типом входного сигнала, необходимая для получения апериодического переходного процесса, устанавливается с помощью соотношения (9-168). Эта связь отражена в табл. 9.2.

Анализ табл. 9.2 показьшает, что функция F(z) должна содержать, по крайней мере, слагаемое, равное единице, ибо, если такое слагаемое будет иметь M{z), она не будет физически реализуемой. В действительности, ничто не мешает выбрать F(z) = 1 для всех входных сигналов типа (9-165). Тогда для трех основных типов входных сигналов, рассмотренных в табл. 9.2, передаточные функции замкнутой системы с апериодическим переходным процессом будут иметь вид, представленный в табл. 9.3.

Таблица 9.2

Входная функция

M(z)

Ступенчатая Us W 1 l-U-z )F(z)

Линейная tos (О 2 1 - (1 - z ), F(>

Параболическая fUj (О 3 . l-(l-z;.) F(z)