Таблица 9.3

Входной сигнал

M(z)

Ступенчатый

Линейный

Параболический 3z - 3z~ + z~

Результаты, приведенные в табл. 9.3, показывают, что при ступенчатой входной функции минимальное время установления нулевой ошибки равно одному, при линейной функции - двум, а при параболической - трем периодам квантования.

Как бьшо показано на примере в начале этого параграфа синтез систем с апериодической реакцией основан на компенсации полюсов и нулей управляемого процесса нулями и полюсами цифрового регулятора и добавлении новыХ полюсов и нулей в соответствующих местах z-плоскости. Здесь может возникнуть одно затруднение, когда G(z) имеет один нуль или большее число нулей, расположенных на единичной окружности или вне ее, и для компенсации этих нулей потребуется неустойчивый регулятор. Другое затруднение возникает при использовании формулы (9-163), когда M(z) имеет какое-либо из выражений, представленных в табл. 9.3. Поскольку Ф1ен наивысшей степени в М(z) равен z~, то M(z)/[ 1-M(z) ] всегда будет иметь число полюсов на единицу больше, чем число нулей. Тогда, чтобы Gf. (z) бьша физически реализуемой передаточной функцией, число полюсов G(z) не должно превышать числа ее нулей более, чем на единицу. Само собой разумеется, функция G{z) не может иметь нулей больше, чем полюсов. Например, при ступенчатом входном сигнале M(z) = =z~* и в результате (9-163) на основании (9-163) имеем

Отсюда легко получается приведенное выше ограничение на G (z). Итак, мы приходим к выводу, что если G(z) имеет один нуль или более на единичной окружности z = 1 (или вне ее) или если число ее полюсов более чем на единицу превышает число нулей, то F{z) не может просто равняться 1. Следующий пример как раз иллюстрирует тот случай, когда у G (z) число полюсов превышает число нулей более чем на единицу.

Пример 9.10. Пусть в цифровой системе, изображенной на рис. 9.51, управляемый процесс описьшается передаточной функцией

< )-7~n;:i (9-177)

Требуется спроектировать цифровой регулятор, обеспечивающий апериодический переходный процесс при входном сигнале типа единичной ступенчатой функции.

Поскольку передаточная функция G(z) имеет полюсов на два больше, чем нулей, мы не можем выбрать М(z) = г , так как это приведет к физически нереализуемой функции Gciz). Попробуем взятьМ(z) =z~. Тогда из (9-163) имеем

z2- i-,-2 i ,-2 (9-178)

что соответствует физичеада реализуемой передаточной фун1сции. В данном случае функция F{z) определяется выражением

р(2) = 1- -Ц = 1 +(9-179) 1 - Z

Можно показать, что в общем случае при заданном входном воздействии, определяющем значение. jV, минимальное число периодов квантования, необходимое для установления нулевой ошибки, равно jV + М, где М + 1 есть разность между числом полюсов и числом нулей передаточной функции управляемого процесса С(г).

Синтез систем с апериодической ркцией при наличии полюсов или нулей управляемого процесса на единичной окружносш или вне ее. Мы установили, что синтез цифровых систем управления с апериодической реакцией основан на компенсации полюсов и нулей управляемого процесса нулями и полюсами регулятора. Однако если управляемый процесс имеет полюсы или нули, которые находятся на z-плоскости на единичной окружности или вне ее, то неидеа.льная компенсация, весьма вероятная на практике, будет приводить к неустойчивости замкнутой системы. Поэтому в подобных случаях и не пытаются прибегать к такой компенсации, а просто накладывают дополнительные ограничения на передаточную функцию замкнутой системы М (z).

njCTb передаточная функция управляемого процесса, представленного на рис. 9.51, имеет вид

nd-ZjZ-i)

G(z) = ----Ag(z) (9-180)

П (l-PjZ-)

где Zj (i = 1, 2, /с) и р/ {]= 1, 2,L) есть соответственно нули и полюсы G (г), лежащие на единичкой окружности или вне ее, Ag (z) - рациональная функция от z *, полюсы и нули которой расположены только внутри единичной окружности. Подстановка (9-180) в (9-163) дает

nd-PjZ-

Gc(-) = ¥-------aTzFi

nd-zz-l) i=l

Поскольку G(.{z) не может иметь pj и Zj в качестве своих нулей и полюсов, необходимо предусмотреть их сокращение за счет соответствующих нулей и полюсов функций 1 - M(z) и Af (z). Иными словами, М(z) должна содержать член

П (1- Zjz-M i=l

а 1 - M{z) должна содержать \ n(l-PjZ-

в общем случае М (z) и 1 - М (z) имеют следующий вид:

M(z) = П (1 - ZjZ-KM z- * + Mi z- -! + ...) (9-182)

1-M(z)= n(l-p=z-l)(l-z-l)N(l+a, z-i + a z-2+...) (9-183) j=l 1

где m должно быть больще или равно низшей степени z~ в разложении G(z) в ряд, а целое число зависит от порядка входного сигнала. Заметим, что если G(z) имеет полюсы z = 1, то сомножитель (1 - ) в выражении 1 - M(z) возводится в степень, равную либо порядку полюсов входного сигнала, либо порядку полюсов z = 1 функции G (z) в зависимости от того, какой из них выше.

Приведенный ниже пример иллюстрирует синтез цифровой системы, в которой управляемый процесс имеет полюсы или нули вне единичной окружности или на ней.

Пример. 9.11. В системе, изображенной на рис. 9.51, передаточная функция управляемого процесса имеет вид

, o.OOOaOaz-d + 2.78z-)(l + 0.2z-)

(l-)2(l-0,286z-l) - >

Требуется спроектировать цифровой регулятор, который при линейном входном воздействии обеспечивал бы минималмое время переходного процесса и нулевую установившуюся ошибку.

Поскольку G(z) имеет нуль z = - 2,78 вне единичной ок[зужности и два полюса Z = 1 на единичной окружности, то M(z) и 1 - M(z) должны быть выбраны в виде (9-182) и (9-183) соответственно. Таким образом,

M(z) = (1 Н- 2,78z-)(Mz-l + MgZ-) (9-185)

Так как первый член разложения G(z) в ряд равен 0,000392 z~*, то первый член разложения M{z) в ряд должен быть вида Miz~, где Mj - коэффициент, подлежащий определению. В случае хинейной входной функции выражение 1 - M(z) должно содержать множитель (1 - z~i) 2, а также множитель, соответствующий всем полюсам G (z), расположенным на единичной окружности или вне ее. Так как G (z) имеет два полюса z =1, то наличие члена (1 - z~*) в выpaжeaffl 1 - M(z) достаточно, чтобы удовлетворить обоим требованиям. Поэтому 1 - М(z) следует выбрать в виде

1 - M(z) = (1 - z-1)2f(z) = (1 - z-l)2(l + HjZ-) (9-186)

где для получения апериодической реакции и одновременно физически реализуемой функции G(z) в выражении 1 - M(z) должен присутствовать постоянный член, равный 1, ибо cj =50. Поскольку M(z) теперь имеет минимальный порядок, равный 3, то переходный процесс будет заканчиваться за три периода квантования, что для данной системы является наименьшим возможным временем установления. Из табл. 9.3 следует, что есш бы функция G (z) не имела полюсов или нулей на единичной окружности или вне ее, то минимальное время установления при линейном входном сигнале бьшо бы равно двум периодам квантования. Из-за наличия у G(z) нуля z =- 2,78 функцию F(z) уже нельзя выбирать равной 1, и время установления увеличивается на один период квантования. Вообще, чем больше нулей и полюсов C(z) находится на единичной окружности или вне ее, тем больше будет митамальное время установления апериодического переходного процесса.