Теперь получим три независимых уравнения относительно трех неизвестных Mj, Мг и ci-Подстановка (9-185) в (9-186) дает следующее уравнение:

MjZ-l + (2,78Mi + M2)z + глтг- = (2 - Ci)z- + (2ci - Dz -az-.

(9-187)

Приравнивая коэффиЩ1енты при соотвегствуюшдх членах в обеих частях последнего уравнения, получим

М, = 2-а, (9-188)

2,78М-I-Mg = 2aj - 1 (9-189)

2,78М2 = -а (9-10)

Решение этих уравнений дает следующие коэффициенты: Mj = 0,723; М2 = - 0,46; С1 = 1,277.

Замкнутая система имеет передаточную функцию

M(z) = 0.723z-l-Hl,554z-2-l.277z-3 = 0,723z2-H,554z - 1.277 (g.g

При линейной входной функции с единичным наклоном z-преобразование выходного сигнала имеет вид

C(z) = M(z) = 0,05(0,723z-2 + Sz -t- 4z- + Sz + ...)

(1 2-1)2 (9-192)

Реакция на выходе системы в моменты замыкания показана на рис. 9.52,я. Если на вход подана единичная ступенчатая функция, то z-преобразование выходного сигнала имеет вид

C(z) = М(2) - = 0,723z- -I- 2,277z-2 Н- z + z Н-... (9-193)

1 -z

Таким образом, переходная функция системы имеет максимальное перерегулирование 127,7%, как показано на рис. 9.52,6.

Подстановка выражений (9-191) и (9-184) в (9-163) дает передаточную функцию цифрового регулятора

1840(l-0,286z~) (l-0,636z )

(1-Ю,22 ) (H-l,277z *) (9-194)

Примечания к синтезу систем с апериодическим переходным процессом. Хотя при синтезе системы с апериодическим переходным процессом мы получаем систему, обладающую идеальной реакцией на определенный тип входного сигнала, в действительности она оказывается настроенной исключительно на этот сигнал, а по отношению к входным сигналам иного вида будет иметь гораздо худшее или неприемлемое качество. Так, в примере 9.11 система проектировалась в расчете на линейно меняющийся входной сигнал. Выходной сигнал становится равен входному и затем отслеживает его без ошибки спустя три периода квантования. Однако если на ту же самую систему действует единичная ступенчатая функция, то максимальное значение выходного сигнала равно 2,277, т. е. перерегулирование достигает 127,7%.

Другая проблема возникает в связи с наличием кратного полюса у передаточной функции замкнутой системы М(z), поскольку характеристическое уравнение имеет вид = 0. Можно показать, что чувствительность кратного корня характеристического уравнения к изменению ка-

Gc(z) =

о 7 2J л 4т FT ет7т ВТ ST ют а)

r(t)j

с(пТ) \

О Т 2Т ЗТ иТ 5Т бТ ТТ вТ 9Т t,C б)

Рис. 9.52. Реакции системы на линейную и ступенчатую функции приТ = 0,05 с

*к - dk/k

кого-либо параметра системы теоретически равна бесконечности. Чувствительность корней характеристического уравнения цифровой системы управления по отношению к малому изменению параметра системы к определяется как

dz/z dzk dk Z

Пусть характеристическое уравнение имеет вид

P(z) + k(5(z) = О (9-196)

где к - произвольный параметр системы; P(z) и С(z)-полиномы отz, причем параметр к в них не входит. Если к получает малое приращение Ак, то уравнение (9-196) будет иметь вид

P(z) + (к -ь Ak)Q(z) = О (9-197)

Разделив обе части последнего уравнения наР(г) + kQ{z), получим

AkQ(z) P(z) + kQ(z)

1 + AkB(z) = О

B(z) = Si

P(z) + kQ(z)

(9-198) (9-199) (9-200)

Заметим, что знаменатель B(z) представляет собой исходное характеристическое уравнение. Предположим, что уравнение (9-196) имеет корень Zf кратности и > 1. Раскладывая B{z) на элементарные дроби в окрестности Z/, имеем , А- А. -

B(z) г --=-4г (9-201)

(z-Zj) {Azf ,

Подстановка (9-201) в (9-199) дает ДкА.

1 +-is О

(Аг) откуда получаем

Дк -(Az)

(9-202) .

,n-l

(9-203) .

Далее, переходя в обеих частях выражения (9-203) к пределу при Ак--О и Az О, имеем

Х7-? = - ==0 (9-204)

дг-.0 Дг- 0

Таким образом, мы показали, что в случае кратного корня характеристического уравнения dk/dz = О, а это по формуле (9-195) соответствует S = О . Полученный результат говорит о том, что система с апериодическим переходным процессом очень чувствительна к изменению параметров.

Синтез с использованием специального весового коэффициента. Как уже подчеркивалось, система, синтезируемая для получения апериодической реакции на определенный входной сигнал, не обладает удовлетворительным качеством при других типах входного сигнала. Можно воспользоваться таким общим методом синтеза, который приводил бы к системе с достаточно хорошей реакцией на различные типы входного сигнала. Конечно, ни одна из этих реакций уже не будет апериодической, и метод, в основе которого лежит идея об апериодическом характере переходного процесса, используется здесь лишь благодаря хорошо отработанной процедуре синтеза.

Синтез осуществляется путем введения весового коэффициента с в желаемую передаточную функцию замкнутой системы M(z). Модифицируем функцию 1 - M(z), разделив ее на (1 - cz~):

1 M(z) = ---

1 - CZ-1 (9-205)

Так как с теперь является полюсом функции Мц, (z), то следует ограничить область его значений диапазоном от - 1 до + 1, чтобы Mj, (z) соответствовала устойчивой системе. Когда в знаменатель функции 1 - M(z) вводится весовой коэффициент с, характеристическое уравнение скорректированной системы уже не может иметь вид z = О, и ошибка не будет сводиться к нулю за конечное время. Однако при использовании весового коэффициента достигаются лучшие показатели качества по отношению сразу к нескольким входным сигналам разного вида, а чувствительность характеристик системы к изменению параметров уменьшается. Выбором необходимого значения с можно уменьшить максимальное перерегулирование при отработке системой ступенчатого воздействия, если эта система проектировалась в расчете на линейный входной сигнал, и при этом обеспечить вхождение переходного процесса в зону допустимых отклонений за приемлемый интервал времени. Использование весового коэффициента при синтезе цифровых систем управления иллюстрируется следующим примером.

Пример 9.12. Управляемый процесс задан передаточной функцией Р/ 0.005z-4l-0.9z-)

(l-z-l)(l-0,905z-l) (9-206)