2,0- щс0111ит1мапы1т длительность) 6 Ml V !

Ц J - /1/ дпитеттсть)

с(пГ) Л

с=-0,5 С-О.в

=0(Ми11ималы1ая

T2T3T4T5T6T7T8T9T10Tt,C О Г гТ ЗТ Т 5Т бГ 7Т вТ 9Т 10Tt,C а) Б)

Рис. 9.53.Реакции системы на ступенчатый и линейный входные сигналы

При единичном линейном входном сигаале апериодическая реакция достигается, если замкнутая система имеет передаточную функцию (см. табл. 9.2)

M(z) = 2z-l-z-2 (9-207)

Реакции такой системы на единичные ступенчатый и линейный сигналы при с =0 изображены на рис. 9.53,с и б соответственно. ,

Заметим, что реакция системы на линейный сигнал устанавливается равной входному воздействию за два периода квантования. В то же время реакция на сту-. пенчатый сигнал имеет перерегулирование 100%.

Теперь воспользуемся соотношением (9-205) :

1-CZ-1 1-CZ-1 (9-208)

откуда

V , (9-209)

, (2-c)z-l-z 2

l-cz

Чтобы проиллюстрировать влияние весового коэффициента с и способствовать выбору его оптимального значения, на рис. 9.53,я и б изображены реакции системы в моменты замыкания соответственно на ступенчатый и линейный сигналы для различных значений с в диапазоне от -1 до 1. На рисунке видно, что при отрицательных значениях с у реакции системы на ступенчатый сигнал перерегулирование становится еще больше. При с = 0,8 перерегулирование составляет всего 20%, но при этом переходные процессы, вызванные и ступенчатым и линейным воздействиями, устанавда ваются очень медленно. По-видимому, в данном случае наилучшее компромиссное значение с =0,5.

9.9. СИНТЕЗ ПО ЗАДАННОМУ РАСПОЛОЖЕНИЮ ПОЛЮСОВ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО СОСТОЯНИЮ (СЛУЧАЙ ЕДИНСТВЕННОГО УПРАВЛЯЮЩЕГО СИГНАЛА)

В гл. 4 был рассмотрен метод синтеза цифровой системы управления при единственном входном воздействии с помощью обратной связи по. состоянию. Путем преобразования к канонической форме фазовой переменной было показано, что в системе

х[(к + 1)Т] = Ах(кТ) -Ь Ви(кТ) (9.210)

при формировании управляющего сигнала с помощью обратной связи по состоянию

и(кТ) =-Ск(кТ) (9-211)

где G - матрица коэффициентов обратной связи размерностью 1X и, собственные значения матрицы A-BG могут быть выбраны произвольным образом тогда и только тогда, когда пара матриц [А, В] полностью управляема. Собственно говоря, это положение справедливо и для системы с несколькими управляющими сигналами, если только она является управляемой.

В гл. 4 синтез системы по заданному расположению полюсов с помощью обратной связи по состоянию базировался на использовании канонической формы фазовой переменной. В этом параграфе предложены более общие методы решения этой задачи для систем с единственным управляющим сигналом. Сначала докажем некоторые функциональные соотношения, используемые как математический аппарат синтеза. Введем следующие определения:

То (z) = - G (zl - А) В - матрица преобразования сигнала

управления в разомкнутой системе;

(9-212)

Tc(z)=-G(zl-А+bg) в - матрица преобразования сигнала

управления в замкнутой системе;

(9-213)

T(z) = I-To(z) - разностная матрица сигнала уп-

равления; (9-214)

До (z) = I zl - АI - характеристическое уравнение мат-

рицы А (разомкнутой системы);

(9-215)

A(,(z) = zl - А + BG - характеристическое уравнение мат-

рицы А-BG (замкнутой системы);

(9-216)

A(z)=I-To(z)l = T(z). (9-217)

В этих выражениях Т обозначает единичную матрицу соответствующей размерности.

Сначала покажем, что Д (Z)

Для этого запишем

zl - А -ь bg = (zl ~ А)[1 + (zl - A)-1bG] (9-219)

Вычисляя определители обеих частей последнего уравнения, получим

\{z)= Izl-А-Ь bg= Ap(z)II-H (zl-A)-1bG (9-220)

Поскольку

II + (zl - A)-lBGl = II + BG(zI - A)-l I = il G(zl - A)-B\ (9-221) где единичные матрицы имеют различные размерности, выражение (9-220) принимает вид

AJz) = До(г)Д(г) (9-222)

Таким образом, соотношение (9-218) доказано.

Важную роль играет следующее функциональное соотношение:

Tq(z) = T{z)T(z) (9-223)

G(zl - A)-B = [1 G(zl - A)-B]G(zI - A + BG) В (9-224)

Применяя операцию обращешя матриц к обеим частям уравнения (9-219), получим

(zI-A+BG)-= [1+(zl-A)-BG]-l(zI-А)-1 (9-225)

Умножение обеих частей уравнения (9-225) слева на I + (zi - A)~*BG дает

[I-Ь (zl - A)-1bG](zI - А+ BG)- = (zl - A)-l (9-226)

Теперь умножая обе части (9-226) слева на G и справа на В, получим

G[I + (zl- A)-BG](zI- А + BG)-- = G(zl- A)-B (9-227)

Последнее выражение запишем иначе:

[I + G(zl - A)-1B]G(zI - а + BG)-B = G(zl - АуЧ (9-228)

Таким образом, соотношение (9-223) доказано.

Последнее необходимое нам соотношение получим, используя выражения (9-218) и (9-225). Запишем (9-214) в виде

вд=..С.1-л,-в = ,.сММгА)в

где Adj (zl-А) - матрица, присоединенная к матрице zl-А. Пусть

k(z) = [Adj(zl - А)]В (п X 1) Тогда (9-229) примет вид

(9-230)

A (z) + Gk(z)

(-)- A,(z) =(-) (9-231)

откуда следует, что T(z) есть скалярная функция.

Используя выражение (9-218), приведем последнее соотношение к виду

Gk(z) = A(z) - Ao(z) (9-232)

Таким образом, если известны k(z), А. (z) и (z), то из (9-232) мы можем найти решение для матрицы коэффициентов обратной связи G в слу-. чае, когда пара матриц [А, В] полностью управляема.

Из уравнения (9-232) можно получить два выражения для матрицы G. Положим